数学成才之路选修.pptx

第1页/共44页理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用第2页/共44页第3页/共44页本节重点：类比推理本节难点：类比推理的特点及应用第4页/共44页第5页/共44页第6页/共44页合情推理是指“合乎情理”的推理数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向3类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能第7页/共44页4类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上的相似性和一致性，关键是把这些相似性与一致性确切表述出来，再由一类对象具有的其它特征、特性去推断另一类对象也可能具有这种特征、特性第8页/共44页第9页/共44页1类比推理由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由到 的推理2合情推理归 纳 推 理 和 类 比 推 理 都 是 根 据 已 有 的 事 实，经 过，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理类似已知特征特殊特殊观察、分析、比较联想、归纳猜想第10页/共44页第11页/共44页例1类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质解析(1)两实数相加后，结果是一个实数；两向量相加后，结果仍是一个向量(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律即abba；abba.(ab)ca(bc)；(ab)ca(bc)第12页/共44页(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算ax0与ax0都有唯一解，xa与xa.(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a0a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a0a.第13页/共44页圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合这两个定义很相似于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质试将平面上的圆与空间中的球进行类比第14页/共44页解析圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：弦 截面圆，直径 大圆，周长 表面积，圆面积 球体积，等等于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：第15页/共44页圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径；第16页/共44页圆的性质球的性质经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长cd球的表面积Sd2圆的面积Sr2球的体积V第17页/共44页第18页/共44页第19页/共44页分析考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论第20页/共44页第21页/共44页点评根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理(简称类比)类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理，虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用，类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象第22页/共44页类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想第23页/共44页在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想解析如图，在RtABC中，第24页/共44页第25页/共44页第26页/共44页例3如图，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.第27页/共44页(1)求证：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明分析 考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高，由已知条件可得PMN为三棱柱的直截面，选取三棱柱的直截面三角形作类比对象第28页/共44页解析(1)证明：PMBB1，PNBB1，BB1平面PMN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.(2)解：在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2ABB1A1 S2BCC1B1 S2ACC1A1 2SBCC1B1SACC1A1cos.其 中 为 平 面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角第29页/共44页第30页/共44页点评本题由平面三角形的余弦定理到空间三棱柱的拓展推广，平时要注意这方面的知识积累第31页/共44页如图，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为1，2，3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想第32页/共44页第33页/共44页第34页/共44页一、选择题1类比推理和归纳推理的相同点是()A从一般到一般B前提蕴涵结论C结论都是或然的 D从个别到一般答案C解析由类比推理和归纳推理的定义可知，两者的结论都是猜测性的，其正确性有待于证明故应选C.第35页/共44页第36页/共44页答案C第37页/共44页3下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形答案C解析从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适第38页/共44页二、填空题4医药研究中，研制新药初期，常用一些动物作药性、药理试验，最后才作临床试验与应用，通过对动物的观察，得出对人应用的一些结论，所用推理为_答案类比推理解析符合类比推理的方法，故应为类比推理第39页/共44页5等差数列an中，an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等 比 数 列 bn中，若 bn0，q1，写 出 b5，b7，b4，b8的 一 个 不 等 关 系_答案b4b8b5b7解析将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4b8b5b7.第40页/共44页三、解答题6(1)定 义 集 合 A与 B的 运 算：AB x|xA，xB，且 xAB，则(AB)A_.(2)定义集合A与集合B的运算：A*Bx|xA且xB，写出含有集合运算符号“*，”对集合A和B都能成立的一个等式_.第41页/共44页解析(1)由图中可知AB如图的阴影部分所示，若ABC，我们用类比的方法可得CAB.第42页/共44页第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页