数学等差数列前n项和.pptx
复习回顾复习回顾：等差数列性质：等差数列性质：(1)(1)通项公式通项公式:(2)(2)(3)(3)若若，则，则等差数列的定义等差数列的定义：第1页/共33页(1)等差数列8，5，2，的第20项是 ；(2)等差数列-5，-9，-13，的第n项是 ；(3)已知an为等差数列，若a1=3，d=，an=21，则n=；(4)已知an为等差数列，若a10=，d=，则 a3=.-4913（5）在数列an中a1=1，an=an+1+4，则a10=.-35巩固练习巩固练习an=-4n-1第2页/共33页 德德国国古古代代著著名名数数学学家家高高斯斯10岁岁的的时时候候很很快快就就解决了这个问题：解决了这个问题：123100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？你知道高斯是怎样算出来的吗？赶快开动脑筋，想一想！高斯的算法实际上解决了求等差数列 1,2,3,4,5,6，,n,的前100项的和的问题。第3页/共33页问题问题:求和:1+2+3+4+n=?探究1：上述求解过程带给我们什么启示？这种方法能否推广到求一般等差数列的前n项的和？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。第4页/共33页问题问题1 1：一般我们称Sn为数列an的前n项和，即：Sn=a1+a2+a3+an第5页/共33页问题问题2 2：若Sn为等差数列an的前n项和，an的首 项为a1，公差为d,那么有：Sn=a1+a2+a3+an.第6页/共33页两个公式的异同两个公式的异同比一比比一比：推导等差数列的前n项和公式用了什么方法？应用了等差数列的什么性质？问一问问一问：倒序相加法第7页/共33页练一练练一练：知三求二第8页/共33页 由等差数列的前n项和公式及通项公式可知:若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余的两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程或方程组求解第9页/共33页例1设an为等差数列，Sn是其前n项和，a74，S1575，求Sn.分析欲求Sn，只需求a1，d两基本量，由a7，S15可列a1，d的方程组第10页/共33页变变 式式第11页/共33页 等差数列前n项和公式的实际应用类型二例2：第12页/共33页 一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10,最小内角为100,求边数n.变变 式式 解：由(n2)180100n 10，求得n17n720,n8或n9,当n9时,最大内角100(91)10180不合题意，舍去，n8.第13页/共33页例3在等差数列an中：(1)若a4a1720，求S20.(2)若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和为Sn286，求n.等差数列前n项和公式的灵活应用类型三第14页/共33页(1)在等差数列an中，已知a3a99200，求S101；(2)在等差数列an中，已知a15a12a9a620，求S20.变变 式式第15页/共33页思 考 探 究 一般地，如果一个数列an的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中P、q、r为常数，且p0,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？探探究究一一n若数列的前n项和Snpn2qnr(p,q,r 为常数)n当r 0时，an一定是等差数列；n当r 0时，an不是等差数列，但当n2时，所组成的数列是等差数列第16页/共33页第17页/共33页变变 式式第18页/共33页第19页/共33页探探究究二二 从二次函数的角度，怎么理解等差数列an的前n项和公式？怎样求Sn的最大值或最小值？第20页/共33页变变 式式第21页/共33页探探究究三三 等差数列an的前n项和为Sn,那么数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,(m为正整数）是等差数列吗？第22页/共33页变变 式式(1)等差数列an中，a1a2a3a430，a5a6a7a880，则a9a10a11a12_.(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其前3n项的和解析:(1)由题意知S430，S8S480，S4，S8S4，S12S8成等差数列，30、80、S12S8成等差数列S12S8130.而S12S8a9a10a11a12，a9a10a11a12130.(2)Sn25，S2n100.设S3nx 由于Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列25,10025，x100成等差 (x100)252(10025)x10025150 x225S3n225第23页/共33页探探究究四四等差数列的奇数项与偶数项和的问题例7：在等差数列an中，S12354，在这12项中S偶S奇3227，求公差d.第24页/共33页变变 式式第25页/共33页1、等差数列前n项和公式在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只要知道其只要知道其中三个元素中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法第26页/共33页2等差数列前n项和公式(1)性质1：SnAn2Bn(A、B为常数)anpnq(p、q为常数)(2)性质2：在等差数列中，间隔相等，连续等长的片段和序列仍成等差数列如：a1a2，a3a4，a5a6，a7a8，公差为4d.a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5，公差为3d.a1a3a5，a2a4a6，a3a5a7，公差为3d.等差数列依次k项之和仍是等差数列即Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k，成等差数列，且公差为k2d.第27页/共33页3等差数列的前n项和的最值的求法(1)符号转折点法（通项法）第28页/共33页 (2)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：nN*.(3)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值4、等差数列的奇数项与偶数项和n(anan1)nd nan(n1)an第29页/共33页 用倒序相加法求数列的前n项和是教材给出的方法，重视并领会这一方法很重要在新知识的学习过中，要加强过程的学习，弄清知识的形成过程及其所蕴含的思想方法附：倒序相加法第30页/共33页第31页/共33页第32页/共33页感谢您的观看。第33页/共33页
