求曲线的方程李用.pptx
8.“点点M在曲线在曲线y=|x|上上”是是“点点M到两坐到两坐标轴距离相等标轴距离相等”的的 条件。条件。9.已知已知02，点，点P(cos，sin)在曲线在曲线(x2)2+y2=3上，则上，则的值为的值为 .充分不必要充分不必要第1页/共49页求曲线的方程第2页/共49页f(x,y)=00 xy第3页/共49页2 2坐标法和解析几何的本质、基本问题坐标法和解析几何的本质、基本问题坐标法坐标法对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法。线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法。解析几何的本质解析几何的本质用代数的方法来研究几何问题。用代数的方法来研究几何问题。解析几何的两大基本问题解析几何的两大基本问题（1 1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（由曲线来求出方）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（由曲线来求出方程）程）（2 2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）第4页/共49页二、例题分析二、例题分析例、设、两点的坐标是例、设、两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线求线 段的垂直平分线方程段的垂直平分线方程.0 xyABM第5页/共49页0 xyABC曲线的方程曲线的方程解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：将上式两边平方，整理得：x+2y7=0 例例1：如果如果A,B两点的坐标是两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点，动点P到到A,B的距离相等的距离相等.你知道动点你知道动点P的轨迹是什么吗？的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？如何证明你的结论？第6页/共49页第7页/共49页我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件1 1 1 1方法小结方法小结第8页/共49页变式变式1 1：已知等腰三角形底边的两个端点是：已知等腰三角形底边的两个端点是(-1,-1)、(3,7)，求第三个顶点求第三个顶点C的轨迹方程的轨迹方程ABC0 xyx+2y7=0，且不过点（，且不过点（1,3）注：求得的轨迹方程要与动点注：求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应的轨迹一一对应,否则要否则要“多多退少补退少补”,多余的点要剔除多余的点要剔除(用用x,yx,y的取值范围来限制的取值范围来限制),),不足不足的点要补充的点要补充.第9页/共49页 求曲线方程的方法步骤是什么？求曲线方程的方法步骤是什么？（1）设（建系设点）（2）写（写等量关系）（3）列（列方程）（4）化（化简方程）（5）-M(x,y)M(x,y)-P=M|M满足的条件检验第10页/共49页1.建系设点 建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）2.寻找条件寻找条件 写出适合条件写出适合条件P的点的点M的集合的集合3.列出方程列出方程用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出列出方程方程f(x,y)=0；4.化简化简化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；5.证明证明证明以化简后的方程的解为坐标的证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。点都是曲线上的点。(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)第11页/共49页1.建系：建立适当的直角坐标系建系：建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步如果已给出，本步骤省略骤省略);.设点设点：设曲线上任意一点的坐标：设曲线上任意一点的坐标(x,y);.列式列式：根据曲线上点所适合的条件：根据曲线上点所适合的条件,写出等式写出等式;4.化简化简：用坐标：用坐标x、y表示这个等式表示这个等式,并并化方程为最简化方程为最简形式形式;.证明证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲 上的点上的点.（一般变为确定点的范围即可）（一般变为确定点的范围即可）直接法求曲线方程的一般步骤：第12页/共49页总结：总结：第13页/共49页建立适当的坐标系的原则建立适当的坐标系的原则:1.若曲线是轴对称图形若曲线是轴对称图形,则可以选它的对则可以选它的对 称轴为坐标轴称轴为坐标轴;2.可以选曲线上的特殊点作为原点可以选曲线上的特殊点作为原点;3.应充分利用条件中的定点应充分利用条件中的定点,定直线等条定直线等条 件件.第14页/共49页B第15页/共49页第16页/共49页第17页/共49页几种常见求轨迹方程的方法1直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法第18页/共49页例1求到x轴距离等于2的点的轨迹方程。分析：动点P的轨迹很容易知道就是两条平行于x轴的直线，所以根据图形的几何特点直接可以写出轨迹方程为：y=2。直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程。第19页/共49页.B练习：动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。.AM解解:如图如图,以直线以直线AB为为x轴轴,线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线为为y轴轴,建立平面直角坐标系，则建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则是轨迹上的任意一点，则由上可知，动点由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（迹上。所以，方程（1）就是动点）就是动点M的轨迹方程。的轨迹方程。第20页/共49页练练 习习 1 11.到F(2，0)和Y轴的距离相等的动点的 轨迹方程是:_2.在三角形ABC中,若|BC|=4,BC边上的中线AD的长为3,求点A的轨迹方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y0)第21页/共49页2相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法(或代换法、坐标转移法)。第22页/共49页规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题,而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法).而此法的关键是如何来表示出相关的点.第23页/共49页例、如下图，已知线段例、如下图，已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点MM的轨迹方程的轨迹方程.xoyBMA第24页/共49页解：设点解：设点M的坐标是（的坐标是（x,y),点点A的坐标是的坐标是 ，由，由于点于点B的坐标是（的坐标是（4,3），且点），且点M是线段是线段AB的中点，所的中点，所以以于是有于是有因为点因为点A在圆（在圆（x+1)+y=4上运动，所以点上运动，所以点A的坐标满足的坐标满足方程（方程（x+1)+y=4，把把代入代入中，得中，得(2x-4+1)+（2y-3)=4整理得：整理得：所以，点所以，点M的轨迹是以的轨迹是以为圆心，半径长是为圆心，半径长是1的圆。的圆。第25页/共49页练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.第26页/共49页例例2在圆在圆x+y=4上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？yxoPDM相关点法第27页/共49页第28页/共49页第29页/共49页解:解法1:设点M的坐标为(x,y).M为线段AB的中点,A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).l1l2,且l1、l2过点P(2,4),例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.PAPB,kPAkPB=-1.第30页/共49页整理得x+2y-5=0(x1).当x=1时,AB的坐标分别为(2,0)(0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.第31页/共49页解法2:l1l2,OAOB,O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M.|MP|=|MO|.点M的轨迹为线段OP的中垂线.的中点坐标为(1,2),点M的轨迹方程是即x+2y-5=0.在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。第32页/共49页第33页/共49页例例2 设点设点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线直线AM,BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是-4/9,求点求点M的轨的轨迹方程。迹方程。“杂点”可不要忘了哟第34页/共49页例1：已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2 的点的轨迹，求此曲线的方程。练习：设两点练习：设两点A、B的距离为的距离为8，求到，求到A、B两点距离的平方和是两点距离的平方和是50的动点的动点的轨迹方程。的轨迹方程。第35页/共49页点差法点差法第36页/共49页练习:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PMPN(M,N分别为切点),使得 ，建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.第37页/共49页解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知 得PM2=2PN2,因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.第38页/共49页练习:平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是()A.一条直线 B.一个圆C.一个椭圆 D.双曲线的一支解析:设l与l是动直线AC中的任意两条,则这两条直线确定一个平面,且斜线AB.由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直,可知过定点A和AB垂直的直线都在内,故点C在平面与的交线上,故选A.A第39页/共49页1.已知定点A(0，-1)，动点P在曲线y=2x2+1 上移动，则线段AP的中点的轨迹方程是:_2.已知点A(-1，0)，B(2，0)，动点M满足2MAB=MBA，求点M的轨迹方程.第40页/共49页 3.线段AB的长为10，两个端点A、B分别在X轴正半轴上和Y轴正半轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程第41页/共49页3参数法（交规法）：当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点的坐标x,y，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数t，便得到动点的轨迹的普通方程。第42页/共49页4定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件第43页/共49页第44页/共49页例例2.2.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B,点点MM满足满足 ,求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程.xyA(6,0)OBM特征特征:所求所求(从从)动点随已知曲线上的动点随已知曲线上的(主主)动点的动点的变化而变化变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.代入法(坐标转移法):第45页/共49页例例2、已知直角坐标平面上点、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆和圆O:动点动点M到圆到圆O的切线长与的切线长与|MQ|的比等于常数的比等于常数 求动点求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？0 xyMNQ第46页/共49页 （江苏，（江苏，06）已知两点）已知两点M(-2,0),N(2,0),点点P为坐标平面为坐标平面内的动点，满足内的动点，满足 。则动点。则动点P(x,y)的的轨迹方程为轨迹方程为 。第47页/共49页例例3、求抛物线、求抛物线 的顶的顶点的轨迹方程。点的轨迹方程。第48页/共49页感谢您的观看。第49页/共49页
