方程的根与函数的零点ziji.pptx
思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？我们知道，令一个一元二次函数我们知道，令一个一元二次函数我们知道，令一个一元二次函数我们知道，令一个一元二次函数y=axy=axy=axy=ax2 2 2 2+bx+c+bx+c+bx+c+bx+c（a0a0a0a0）的函数值的函数值的函数值的函数值y y0 0，则，则，则，则得到一元二次方程得到一元二次方程得到一元二次方程得到一元二次方程axax2 2 2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）第1页/共23页问题1观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。没有交点(1,0)x2-2x+3=0 x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=01.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。结 论:无实数根x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3图象与x轴的交点函数的图象一元二次方程方程的根二次函数2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。第2页/共23页探究探究问题2若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)第3页/共23页00=0=0判别式判别式=b24ac方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)的根的根函数函数y=axy=ax2 2+bx+bx+c(a0)+c(a0)的图象的图象函数的图象函数的图象与与 x x 轴的交点轴的交点00(x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)没有实根没有实根没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1=x=x2 2(x x1 1,0),0)探究探究以a0为例第4页/共23页结论结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。2.2.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交轴交点的横坐标。点的横坐标。第5页/共23页函数零点的定义：函数零点的定义：对于函数对于函数y=f(x)我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点（的零点（zero point)。零点是一个点吗零点是一个点吗?注意：注意：零点指的是一个实数。零点指的是一个实数。第6页/共23页 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：等价关系等价关系等价关系等价关系第7页/共23页(1)(1)y=y=x x2 2-x+20-x+20；(2)y=2(2)y=2x x-1;-1;拓展：拓展：求下列函数的零点。求下列函数的零点。评注：求函数y=f(x)y=f(x)的零点就是求相应的方程f(x)=0f(x)=0的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。解：令x2-x+20=0解方程得，解方程得，x1=4，x2=-5 函数函数y=y=x2-x+20的零点是的零点是4和和-5解：令2x-1=02x=1=20 x=0 函数函数y=2x-1的零点是的零点是0第8页/共23页观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象:在在2,1上，上，我们发现函数我们发现函数f(x)f(x)在区间（在区间（-2,1)-2,1)内有零内有零点点x x _,_,有有f(2)_0_0,f(1)_0_0得到得到f(f(f(f(2)2)2)2)f(1)f(1)f(1)f(1)_0 0 0 0()。在在2,42,4上，我们发现函数上，我们发现函数f(x)f(x)在区间（在区间（2,4)2,4)内有零点内有零点x x x x _，有，有f(2)_0,f(4)f(2)_0,f(4)f(2)_0,f(4)f(2)_0,f(4)_ _ 0 0 0 0得到得到 f(2)f(2)f(2)f(2)f(4)_ 0f(4)_ 0f(4)_ 0f(4)_ 0（)。.xy0132112123424观察函数观察函数y=f(x)的图象的图象:1 1 在区间在区间(a,b)(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；f(a)f(a)f(b)f(b)_ 0 0（或）（或）2 2 在区间在区间(b,c)(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；f(b)f(b)f(c)f(c)_ 0 0（或）（或）3 3 在区间在区间(c,d)(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；f(cf(c).).).).f(d)f(d)_ 0 0（或）（或）思考思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？某种关系？某种关系？某种关系？-1-1-1-1 3 3 3 3 有有有有有有探探究究第9页/共23页 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。注注注注:只要满足上述两个条件只要满足上述两个条件只要满足上述两个条件只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。就能判断函数在指定区间内存在零点。就能判断函数在指定区间内存在零点。就能判断函数在指定区间内存在零点。x xy y0 0a ab b.零点存在性定理：零点存在性定理：第10页/共23页 函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线：（1）f(a)f(b)0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)f(b)0。注意注意:a a a ab b b b什么情况下在区间（什么情况下在区间（什么情况下在区间（什么情况下在区间（a a a a，b b b b）内只有唯一的零点？）内只有唯一的零点？）内只有唯一的零点？）内只有唯一的零点？答：函数答：函数y=f(x)y=f(x)在在区间区间a,ba,b上是单上是单调函数调函数第11页/共23页由表可知由表可知f(2)0，即即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)=x33x+5在区间在区间(1,1.5)上有零点。上有零点。xy01321125432(1)f(x)=x33x+5.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：变式：判断函数f(x)=x33x+5零点的个数。又因为f(x)是(,）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点。第16页/共23页 2(3)2(3)2(3)2(3)解：解：解：解：作出函数的图象，作出函数的图象，如下：如下：.因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)=ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x)=ex1+4x4是是(，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。2(3)f(x)=ex1+4x4xy0132112123424利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：第17页/共23页练一练:练习1、函数 的零点所在的大致区间是（）A、(1,2)B、(2,3)C、(3,4)D、(e,+)第18页/共23页练习2、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（）A.(-2，-1)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)练习3、求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。变式：若函数y=5x2-7x-1在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)f(b)的值()A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零第19页/共23页 【变式引申】1、若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a,b的值。2、若二次函数f(x)=x2+mx+3有唯一零点，则m的值和零点分别是多少？3、若函数y=ax2-x-1只有一个零点，求a的值。第20页/共23页 课堂小结：、函数零点的定义；、函数零点的定义；2 2、函数的零点与方程的根的关系；、函数的零点与方程的根的关系；、函数零点存在性定理。、函数零点存在性定理。4 4、函数零点的求法：函数零点的求法：（代数法）（代数法）求方程的实数根；求方程的实数根；（几何法）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。性质找出零点。第21页/共23页作业：作业本A版18书102页习题3.1A组2函数零点方程根，形数本是同根生。函数零点端点判，图象连续不能忘。第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页
