微分中值定理及其应用精.pptx

6.16.1拉格朗日中值定理和函数的单调性一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、单调函数第1页/共192页一、罗尔(Rolle)定理例如,第2页/共192页几何解释几何解释:第3页/共192页证证第4页/共192页第5页/共192页注意注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,第6页/共192页f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,例如:(i)y=f(x)=1 ,x=1,x0,1)图3-1-2 x y011第7页/共192页f(x)在-1,1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)=1.x 时,f (x)=1.x=0时,f (0)不存在.(ii)0 x y111图3-1-3y=|x|第8页/共192页(iii)y=f(x)=x,x1,2,f(x)在1,2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f (x)=1.02112xy图3-1-4y=x 第9页/共192页例例1 设函数 f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根,它们分别在何区间?解:f(x)在1,2上连续,在(1,2)上可导,且 f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使 f (1;同理,2,注意到 f(x)=0为二次方程,使 f (2;它至多有两个实根,故 1,2是 f(x)=0 的全部实根.第10页/共192页例例2 2证证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第11页/共192页二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第12页/共192页几何解释:证证分析:弦AB方程为第13页/共192页作辅助函数拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第14页/共192页拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理第15页/共192页推论推论2 证明 推论推论1第16页/共192页例例3 3证证第17页/共192页例例4 4证证由上式得第18页/共192页例5.设 ab0 n1.证明:令 f(x)=x n 显然 f(x)在 b,a上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)an bn nan1(a b)有 f(a)f(b)=f()(ab)(b a)即 an bn=n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1(a b)n n 1(a b)nan1(a b)即 nbn1(ab)an bn nan1(a b)第19页/共192页三、函数单调性三、函数单调性 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。1、函数单调性的判别法第20页/共192页 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。定理定理第21页/共192页证证应用拉氏定理,得第22页/共192页注注若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有则由连续性，结论仍成立此判定法则对其它各种类型的区间仍适用例例1 1解解第23页/共192页注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性2、单调区间求法、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法方法:第24页/共192页例例2 2解解单调区间为第25页/共192页例例3 3解解单调区间为第26页/共192页例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,第27页/共192页例5证明证第28页/共192页例6设证明分析 如图所示oxy结论是显然的证一第29页/共192页总之有证二或令第30页/共192页例7证第31页/共192页或利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x)求验证f(x)在指定区间上的单调性与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证第32页/共192页四、小结四、小结Rolle定理Lagrange中值定理2 罗尔定理、拉格朗日中值定理之间的关系；1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的.3 证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理.4 应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式第33页/共192页5 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第34页/共192页思考题思考题1作业p1241,2,3,4,5,6,7.第35页/共192页思考题思考题1解答解答不能断定.例但第36页/共192页当 时，当 时，注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增第37页/共192页思考题思考题2 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.第38页/共192页思考题思考题2解答解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.第39页/共192页6.2 柯西中值定理与不定式极限柯西中值定理与不定式极限第40页/共192页一、柯西(Cauchy)中值定理第41页/共192页几何解释:证证作辅助函数第42页/共192页第43页/共192页例例6 6证证分析:结论可变形为第44页/共192页二 不定式极限 在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求这两种基本未定式的极限，也可间接求出等其它类型的未定式的极限第45页/共192页定义定义例如,第46页/共192页定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.第47页/共192页证证定义辅助函数则有第48页/共192页注注定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限第49页/共192页仍有类似的结论如：定理第50页/共192页关于型的极限，有下述定理定理结论仍成立第51页/共192页例例1 1解解例2注注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。第52页/共192页例例3 3解解例例4 4解解第53页/共192页例5证明证分两种情况则连续使用次法则，得则连续使用次法则，得第54页/共192页本例说明：但它们趋于+的速度有快有慢由慢到快依次是：对数函数、幂函数、指数函数这一点从图上即可看出oxy第55页/共192页例例6 6解解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则第56页/共192页例7分母1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”注注分子分母中出现不可使用L.Hospital法则第57页/共192页例例8 8解解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法但与其它求极限方法尤其是等价无穷小的代尤其是等价无穷小的代换换结合使用，可以简化运算过程，效果会更结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。好，使用起来也更有效。第58页/共192页关键关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .仍可使用L.Hospital法则来求极限步骤:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为第59页/共192页例9注意：对数因子不下放，要放在分子上步骤:第60页/共192页例例1010解解步骤:第61页/共192页例例1111解解例例1212解解第62页/共192页例例1 13 3解解第63页/共192页例例1 14 4解解极限不存在洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件第64页/共192页几点说明几点说明 L.Hospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为，当定理的条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：“失效”不宜使用L.Hospital法则L.Hospital法则只能对这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化第65页/共192页L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则）可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算第66页/共192页三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则第67页/共192页思考题思考题作业p1321，2，3，4，5.第68页/共192页思考题解答思考题解答不一定例显然极限不存在但极限存在第69页/共192页6.3 泰勒公式第70页/共192页一、问题的提出在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单我们已经介绍了用线形函数（一次多项式）来近似的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。表示函数的方法.第71页/共192页不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估差不能估计。第72页/共192页分析分析:1.若在若在 点相交点相交2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同第73页/共192页考虑(2)且第74页/共192页且：.(3)第75页/共192页三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理第76页/共192页证明明第77页/共192页三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理 x x0 0的某个开区间(a,b)(a,b)内具有直到(n+1)(n+1)阶的导数,则当x x在(a,b)(a,b)内时,f(x),f(x)可以表示为(x-x(x-x0 0)的一个n n次多项式与一个余项R Rn n(x)(x)之和:如果函数f(x)f(x)在含有 其中(4)第78页/共192页证明:阶导数,且 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 第79页/共192页的区间上满足柯西中值定理的条件,得 第80页/共192页第81页/共192页拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项第82页/共192页注注1：公式称为f(x)按xx0的幂展开的n次近似多项式.称为f(x)按xx0的幂展开的n阶泰勒公式.其中:第83页/共192页若对于某个固定的n,当x在开区间(a,b)内变动时，则，称为皮亚诺型余项.称为拉格朗日型余项.注2:第84页/共192页注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.第85页/共192页注4：当x0=0时 麦克劳林(Maclaurin)公式:第86页/共192页估计式第87页/共192页四、泰勒公式的两种特殊形式第88页/共192页上式称为麦可劳林公式，由此可得近似公式：类似的，上式右端的多项式称为类似的，上式右端的多项式称为f(x)f(x)的麦可劳林的麦可劳林麦可劳林公式在应用中尤为重要。麦可劳林公式在应用中尤为重要。多项式，此时，误差估计式相应变成：多项式，此时，误差估计式相应变成：第89页/共192页例1.写出f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.解：所以第90页/共192页当 x=1时 当n=10时,第91页/共192页解解第92页/共192页例3.求f(x)=sinx展开到n阶的麦克劳林公式 解：因为所以m=1,第93页/共192页m=2m=3oyxy=x y=sin x 第94页/共192页常用函数的麦克劳林展开式1.f(x)=cosx 第95页/共192页(在0与x之间)第96页/共192页第97页/共192页规规 定定：如 果 对 近 似 值 要 求 绝 对 误 差 限 为k-n则原始数据与中间计算都按4舍5入取n+1位小数,最后结果舍入成n位小数.第98页/共192页例3.求sin100的近似值,要求误差不超过510-6 解：取函数f(x)=sinx.取x0=0第99页/共192页 当n=2时,当n=4时,第100页/共192页第101页/共192页解解第102页/共192页第103页/共192页第104页/共192页解解第105页/共192页例例6解解第106页/共192页解 应用带皮亚诺型余项的麦可劳林公式，有第107页/共192页思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限作业p1411，2，3.第108页/共192页思思考考题题解解答答第109页/共192页6.4 函数的极值与最大（小）值函数的极值与最大（小）值 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。由Fermat定理知函数的可疑极值点为可疑极值点为驻点、不可导点驻点、不可导点一函数的极值1函数极值的判断第110页/共192页定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形)第111页/共192页第112页/共192页2 2 求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形)第113页/共192页例例1 1解解列表讨论极大值极小值第114页/共192页图形如下第115页/共192页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证第116页/共192页例例2 2解解图形如下第117页/共192页注意注意:第118页/共192页例例3 3解解注意注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.第119页/共192页例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，第120页/共192页例5 设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f 2(a)是否是 f 2(x)的极值证分两种情况讨论所以 f 2(a)是 f 2(x)的极小值第121页/共192页设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x)在 x=a 处连续，且f 2(a)是 f 2(x)的极大值同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况第122页/共192页例6 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当n为偶数时，f(x0)是f(x)的极值当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值证由Taylor公式，得第123页/共192页因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形n为奇数，当x 渐增地经过x0时变号不变号变号不是极值第124页/共192页n为偶数，当x 渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且当时是极小值当时是极大值第125页/共192页例例4 4 解第126页/共192页例例5 5 解解第127页/共192页函数最大值和最小值的一般求法：y=f(x)xa,b(1)求出f(x)的导数f(x)；令f(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最小值.二.函数的最值第128页/共192页例题与练习解：(1).f(x)的定义域为(-，1，-8，1(-，+1(2).(3).令f(x)=0，解之得驻点为(5).比较大小得，在-8，1上的最大值为，最小值为-5.(4).练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间-3，10上的最大值和最小值第129页/共192页第130页/共192页第131页/共192页例9.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-，+).解：(2).f(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f(x)=0，解之得驻点为x=1.当x(-，1)时，f(x)0,单调递增.若函数在一个开区间或无穷区间(-，+)内可导，且有唯一的极值点.第132页/共192页例10.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？解：(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域.(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.第133页/共192页例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)问生产多少个单位时获得的利润最大？解：(1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2(x0).(2)P(x)=1-0.00002x(3)令P(x)=0得驻点x=5104x=5104是唯一驻点，又利润最大值存在.练习：当生产5104个单位时获得的利润最大.第134页/共192页第135页/共192页第136页/共192页1）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f(x)；3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的全部驻点。4）列表考察f(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。求函数极值的步骤：小结与作业第137页/共192页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在临界点临界点取得.判别法判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)第138页/共192页最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f(x)；令f(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；(3)求出函数y=f(x)的导数，令f(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.作业：P146:1,2,3,4,5.第139页/共192页思考题思考题下命题正确吗？第140页/共192页思考题解答思考题解答不正确例第141页/共192页在1和1之间振荡故命题不成立第142页/共192页6.5 函数的凸性与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。L1 是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。第143页/共192页K切=f(x)0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方.K切=f(x)0y单调递减x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo几何特征y=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.第144页/共192页一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方(凹函数)图形上任意弧段位于所张弦的下方(凸函数)第145页/共192页的值分别是第146页/共192页第147页/共192页定义2第148页/共192页.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyo123abxyo123曲线的凹凸与拐点ab几何特征凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.x1x2x3x1x2x3第149页/共192页定理1定理 1可根据定义进行 证明，下面证明定理 1.二、曲线凹凸的判定第150页/共192页第151页/共192页定理2 2第152页/共192页证明分别应用L定理，得两式相减，得由假设第153页/共192页这就证明了同理可证（1）注定理的结论可推广到任意区间上例1 1解注意到,第154页/共192页三、曲线的拐点及其求法1.1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法证第155页/共192页方法1:1:第156页/共192页例2 2解凸的凹的凸的拐点拐点第157页/共192页第158页/共192页方法2:2:例3 3解第159页/共192页注意注意:第160页/共192页二阶导数变号，例5 5解解第161页/共192页例6求曲线的拐点解第162页/共192页是拐点例7Jensen不等式不等式证由Taylor公式，得第163页/共192页各式乘以再相加，得=1=1第164页/共192页第165页/共192页小结:作业:1.如何来研究函数的凹凸性.2.凹与凸的定义,拐点的定义.3.凹与凸的判定.P153:1,2,3,4,5.第166页/共192页思考题思考题第167页/共192页思考题解答思考题解答例第168页/共192页6.6函数图像的讨论第169页/共192页一、渐近线定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线第170页/共192页例如有铅直渐近线两条:第171页/共192页2.2.水平渐近线水平渐近线例如有水平渐近线两条:第172页/共192页3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法:第173页/共192页注意:例例1 1解解第174页/共192页第175页/共192页第176页/共192页二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第177页/共192页第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步第178页/共192页三、作图举例例例2 2解解非奇非偶函数,且无对称性.第179页/共192页列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点第180页/共192页作图第181页/共192页第182页/共192页例例3 3解解偶函数,图形关于y轴对称.第183页/共192页拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点第184页/共192页第185页/共192页例例4 4解解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:第186页/共192页拐点极大值极小值第187页/共192页第188页/共192页四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凸的凹的单增单减第189页/共192页思考题思考题作业p1551，2，4，6，7，8.第190页/共192页思考题解答思考题解答第191页/共192页感谢您的观看！第192页/共192页