时 圆周角定理及其推论的应用.pptx
第1页/共44页学习目标学习目标理解并掌握圆周角的理解并掌握圆周角的定义定义.掌握圆周角的掌握圆周角的性质性质及及定理定理.第2页/共44页定义：定义：顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都与圆相交并且两边都与圆相交的角的角,叫做叫做圆周角圆周角.OBACBAC究竟什么样的角是圆周角呢？究竟什么样的角是圆周角呢？一、认识圆周角一、认识圆周角第3页/共44页要点：要点：1.1.顶点在圆上顶点在圆上 2.2.两边与圆相交两边与圆相交辨一辨辨一辨：指出下图中的圆周角指出下图中的圆周角（1）（2）（3）（4）（5）（6）A AB BA AB B第4页/共44页 如图，线段如图，线段ABAB是是O O的的直径，点直径，点C C是是O O上任意上任意一点一点（除点（除点A A、B B）那那 么么ACBACB就是直径就是直径ABAB所对所对的圆周角的圆周角.想想看想想看,ACBACB会是怎么样的角？为什会是怎么样的角？为什么呢？么呢？1、直径所对的圆周角、直径所对的圆周角21二、探索与圆周角有关的性质二、探索与圆周角有关的性质.1.gsp第5页/共44页 直径所对的圆周角等于直径所对的圆周角等于9090（直角）（直角）.反过来也是成立的，即反过来也是成立的，即:9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.性质性质1 1：第6页/共44页练习 如图，如图，ABAB为为O O的直径，的直径，A=80A=80，求求ABCABC的度数的度数.ABO第7页/共44页在圆在圆O O中任意画出一个圆周角中任意画出一个圆周角ACBACB(弧AB为劣弧)再画出弧再画出弧ABAB所对的圆心角，即所对的圆心角，即AOB.AOB.用你所学过的知识比较一下用你所学过的知识比较一下 ACB与 AOB,你会发现什么？你会发现什么？2、探索：、探索：同弧所对的圆周角与圆心角的关系同弧所对的圆周角与圆心角的关系.二、探索与圆周角有关的性质二、探索与圆周角有关的性质.gsp第8页/共44页 圆心在角圆心在角 的一边上的一边上 圆心在角圆心在角 的内部的内部 圆心在角圆心在角 的外部的外部圆周角与圆心的位置关系有以下三种情况：圆周角与圆心的位置关系有以下三种情况：COABDDOCABOCAB第9页/共44页 同弧同弧(或或等弧等弧)所对的圆周角等于它所对所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的圆心角的一半.同弧同弧或或等弧等弧所对的圆周角都相等所对的圆周角都相等.性质性质2：在在同圆同圆或或等圆中等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的圆周角所对的弧相等 第10页/共44页当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时,他所处的位置对他所处的位置对球门球门ACAC别形成三个张角别形成三个张角ABC,ABC,ADC,AEC.ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系这三个角的大小有什么关系?.?.OBACBACBACBACBACBACDEDBACE在同圆内在同圆内,同弧或等弧所对的同弧或等弧所对的圆周角相等圆周角相等.第11页/共44页圆周角定理的内容圆周角定理的内容:1 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；、半圆或直径所对的圆周角是直角；2 2、9090的圆周角所对的弦是直径；的圆周角所对的弦是直径；3 3、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；心角的一半；4 4、同弧或等弧所对的圆周角相等；、同弧或等弧所对的圆周角相等；5 5、在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的圆周角所对，相等的圆周角所对的弧相等；的弧相等；（等弧（等弧-等角，直径等角，直径直角三角形）直角三角形）.gsp内容小结：内容小结：第12页/共44页练习一：2.2.如图如图,圆心角圆心角AOB=100AOB=100，则则ACB=ACB=.OABCBA AO.7070 x x1.1.求圆中角求圆中角X X的度数的度数.AO.x1203.3.如图如图,在直径为在直径为ABAB的半圆中的半圆中,点点O O为圆为圆心心,点点C C、D D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=500 0，则，则CAD=_.CAD=_.第13页/共44页APBCO证明：证明：ABC=APC=60 BAC=CPB=60.(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）ABC等边三角形等边三角形.4.如图如图P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点,APC=CPB=600,判断判断ABC形状形状.第14页/共44页5.已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,以以AB为直径的为直径的圆交圆交BC于于D,交交AC于于E.求证：求证：BD=DEABCDEO第15页/共44页证明：连结证明：连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上，在圆上，ADB=90，AD BC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD，BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）所对弧相等）.ABCDE5.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直为直径的圆交径的圆交BC于于D,交交AC于于E.求证：求证：BD=DE第16页/共44页圆周角定理的圆周角定理的作用：作用：（1 1）直径）直径 直角（垂直关系）；直角（垂直关系）；（2 2）圆周角）圆周角-圆心角；圆心角；（3 3）同弧）同弧 等圆周角，等圆周角，等弧等弧 等圆周等圆周角角.第17页/共44页与圆周角有关的辅助线：与圆周角有关的辅助线：过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：构造直角三角形；构造直角三角形；构造同弧所对的圆周角构造同弧所对的圆周角(等角等角).gsp第18页/共44页练习二1.1.如图如图,在在O O中中,BOC=50,A,BOC=50,A=.=.2 2如图如图,在在O O中中,AB,AB AC,ABC AC,ABC70.70.BOC=BOC=.3.3.在在O O中中,弦弦BC=2,A=30BC=2,A=30,则则O O的半径为的半径为 .4.4.在在O O中中,弦弦BC=2,A=45BC=2,A=45,则则O O的半径为的半径为 .OBAC第19页/共44页.如图如图,在在O O中中,BAD=70,BAD=70,求求C C的大小的大小.OOCABDBACD5.5.圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形的对角互补.第20页/共44页6 6.如图如图:四边形四边形ABCDABCD内接于内接于,求求BOD.BOD.ABDCO圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形的对角互补.并且一并且一个外角等于它的个外角等于它的内对角内对角.第21页/共44页画图分析几个相关的结论：画图分析几个相关的结论：1.1.圆的内接平行四边形是圆的内接平行四边形是 ；2.2.圆内两条平行弦所夹的弧圆内两条平行弦所夹的弧 ；3.3.圆的内接梯形是圆的内接梯形是 ；第22页/共44页OABCD1.两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.第23页/共44页ABDGFCEO7 7、如图、如图:AB:AB是是的直径的直径,弦弦CDABCDAB于点于点E,GE,G是是ACAC上任意一点上任意一点,延长延长AG,AG,与与DCDC的延长线相交于点的延长线相交于点F,F,连接连接AD,GD,CG,AD,GD,CG,找出图中所有和找出图中所有和ADCADC相等的相等的角角,并说明理由并说明理由.第24页/共44页几个与圆周角相关的结论：几个与圆周角相关的结论：1.1.圆的内接平行四边形是圆的内接平行四边形是矩形矩形；2.2.圆的内接梯形是圆的内接梯形是 等腰梯形等腰梯形 ；3.3.圆内两条平行弦所夹的弧圆内两条平行弦所夹的弧 相等相等 ；4.4.圆的内接四边形的圆的内接四边形的对角互补对角互补.并且一并且一个外角等于它的个外角等于它的内对角内对角.第25页/共44页 关于圆周角定理的训练（关于圆周角定理的训练（1 1）第26页/共44页1.OA1.OA是圆是圆O O的半径，以的半径，以OAOA为直径的为直径的圆圆C C与圆与圆O O的弦的弦ABAB交于点交于点D D，判断，判断ADAD与与BDBD的关系的关系,说明理由说明理由.第27页/共44页2.2.已知：在已知：在O O中，中，AB=CDAB=CD，求证：求证：ABD=CDB.ABD=CDB.O OE ED DB BC CA A第28页/共44页3.AB3.AB、ACAC是是O O的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使AD=AB.AD=AB.若若ADB=40ADB=40，求求BOC.BOC.BDACO第29页/共44页4 4ABAB是是的直径，的直径，BDBD是是的弦，的弦，延长延长BDBD到点到点C C，使，使CD=BDCD=BD，连接，连接ACAC 判断判断ABAB与与ACAC的关系的关系,说明理由说明理由.O第30页/共44页5.点点A A、B B、C C在半径为在半径为2cm2cm的圆的圆上，若上，若BC=2 cmBC=2 cm，求求BACBAC的的度数度数.（画图分析后进行计算）（画图分析后进行计算）第31页/共44页与圆周角有关的辅助线：与圆周角有关的辅助线：过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：构造直角三角形；构造直角三角形；构造同弧所对的圆周角构造同弧所对的圆周角(等角等角).gsp第32页/共44页 关于圆周角定理的训练（关于圆周角定理的训练（2 2）作业本第33页/共44页1、已知：点已知：点A A、B B、C C三点在三点在O O上，上，ADAD是是ABCABC的高，的高，AEAE是圆是圆O O的直径的直径（1 1）求证：）求证：ABABAC=AEAC=AEAD AD；（2 2）若）若F F为为BCBC的中点，求证：的中点，求证：AFAF平分平分DAE.DAE.第34页/共44页2、在圆的内接在圆的内接ABCABC中，中，AB+AC=12AB+AC=12，ADBCADBC于于D D，且，且AD=3AD=3，设，设O O的半径为的半径为y y，ABAB的长为的长为x.x.（1 1）用含）用含x x的代数式表示的代数式表示y y；（2 2）当）当ABAB长为多少时，长为多少时，O O的面积最大？的面积最大？并求出最大面积并求出最大面积.第35页/共44页 3 3、已知：点、已知：点A A、B B、C C在在O O上，上，AB=ACAB=AC，点，点D D是是BCBC边上一点，点边上一点，点E E是直线是直线ADAD和圆的交点和圆的交点.（1 1）探索：）探索：ABAB、ADAD、AEAE之间的关系之间的关系.（2 2）当）当D D为为BCBC延长线上一点时，上述结论延长线上一点时，上述结论还成立吗？如果成立，请画图给予证明；还成立吗？如果成立，请画图给予证明；若不成立，说明理由若不成立，说明理由.第36页/共44页4、已知已知BCBC为半圆为半圆O O的直径，点的直径，点F F为半圆上异于为半圆上异于B B、C C的一点，点的一点，点A A是是BFBF的中点，的中点，ADADBCBC于于点点D D，BFBF交交ADAD于点于点E.E.求证：（求证：（1 1）AE=BEAE=BE；（2 2）BEBEBF=BDBF=BDBC.BC.第37页/共44页5.5.如图：已知如图：已知BCBC为为的直径，的直径，ADBCADBC，垂足为垂足为D D，BFBF交交ADAD于于E E，且，且AE=BEAE=BE（）求证：（）求证：AB=AFAB=AF（）若（）若sinFBCsinFBC第38页/共44页与圆周角有关的辅助线：与圆周角有关的辅助线：过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：构造直角三角形；构造直角三角形；构造同弧所对的圆周角构造同弧所对的圆周角(等角等角).gsp第39页/共44页 备 用第40页/共44页驶向胜利的彼岸圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系1 1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时,圆周圆周角角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系.议一议议一议nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC=AOC.ABC=AOC.一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半.第41页/共44页驶向胜利的彼岸圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?议一议议一议n老师提示老师提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半.ABCDnABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,第42页/共44页驶向胜利的彼岸圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样结果会怎样?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样?议一议议一议n老师提示老师提示:能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半.DnABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,ABC第43页/共44页谢谢您的观看！第44页/共44页
