数字电子技术与逻辑设计教程.pptx

Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数本本章章要要点点u 逻辑代数的三种基本运算u 逻辑函数及其表示方法u 逻辑代数基本定律及常用公式u 逻辑函数的化简第1页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数 2.1 逻辑代数中的三种基本运算2.1.1 或运算（Logic Addition）决定某一事件发生的所有条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，这一事件就会发生，这种因果关系称为或逻辑。在图2.1.12.1.1所示电路中，开关A A和B B并联控制灯F F。当开关A A、B B中有一个闭合或两个均闭合时，灯F F即亮。逻辑代数中，或逻辑关系用或运算描述，其运算符号为“+”+”，有时也用“”“”表示。或逻辑关系可以表示为F=A+B 或者 F=A B第2页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数A BF00 00 11101111表2.1.1 或逻辑真值表 运算的运算法则为 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1 图2.1.1 并联开关电路图2.1.2 或门电路符号第3页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.1.2 与运算（Logic Multiplication）当决定某一事件发生的所有条件都具备时，这一事件才会发生，这种因果关系称为与逻辑。在图2.1.3所示的电路中，只有当两个开关A和B均闭合时，灯F才会亮。因此，灯F和开关A、B之间的关系是与逻辑关系。其运算符号为“”，有时也用“”表示。逻辑关系表示为：F=AB 或者 F=A BABF00001010 0111表2.1.2 与逻辑真值表图2.1.3 串联开关电路 与运算的运算法则为 00=0 10=0 01=0 11=1 图2.1.4 与门电路符号第4页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.1.3 2.1.3 非运算（非运算（Logic NegationLogic Negation）非逻辑的输出总是输入的取反：即决定某一事件发生的条件具备了，结果却不发生；而此条件不具备时，结果一定发生。非逻辑关系表示：或者 F=AAF0110图2.1.5 开关与灯并联电路表2.1.3 非逻辑真值表图2.1.6 非门电路符号 非运算的运算法则为第5页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.2 逻辑函数及其表示方法 若输入逻辑变量A、B、C、的取值确定以后，输出逻辑变量F的值也唯一地确定了，就称F是A、B、C、的逻辑函数，表示为 F=f(A,B,C,F=f(A,B,C,)在逻辑代数中，不管是变量还是函数，它们都只有两个取值，用0和1表示。逻辑代数特点：（1）逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种可能。（2）函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、“非”三种基本运算决定的。第6页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.2.2 逻辑函数的表示方法 任何一个逻辑函数均可以用逻辑表达式、真值表、逻辑图和卡诺图表示。这四种不同的表示方法之间能相互转换。2.2.2.1 逻辑表达式 逻辑表达式是由逻辑变量和或、与、非三种运算符所构成的表达式。逻辑表达式书写及省略规则如下：（1 1）进行非运算可不加括号。例如，）进行非运算可不加括号。例如，等。等。、（2 2）与运算符一般可省略。例如，A AB B可写成ABAB。（3 3）在一个表达式中，如果既有与运算，又有或运算，则按先与后或的规则省去括号。（4 4）由于与运算和或运算均满足结合律，因此(A+B)+C(A+B)+C或A+(B+C)A+(B+C)可用A+B+CA+B+C代替，(AB)C(AB)C或A(BC)A(BC)可用ABCABC代替。第7页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.2.2.2 真值表 真值表是将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。表2.2.1 逻辑函数 的真值表ABF001010100111 真值表的特点：（1 1）直观明了。）直观明了。（2 2）把一个实际逻辑问题抽象成为数）把一个实际逻辑问题抽象成为数学问题时，使用真值表是最方便的。学问题时，使用真值表是最方便的。（3 3）主要缺点：当变量比较多时显得）主要缺点：当变量比较多时显得过于烦琐，而且也无法利用逻辑代数过于烦琐，而且也无法利用逻辑代数中的公式和定理进行运算。中的公式和定理进行运算。第8页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数【例2.1】有一个3位二进制数，当输入有奇数个1时，输出为1，不然输出为0。试分别写出输出函数的真值表和逻辑表达式。ABCF00000011010101101001101011001111表2.2.3 【例2.1】的真值表逻辑表达式：第9页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.2.2.3 逻辑函数与逻辑图1 1根据逻辑表达式画逻辑图 一个逻辑表达式是由逻辑乘、逻辑加、逻辑非三种基本运算组合而成的，因此可以用与门、或门、非门来实现这三种运算。【例2.2】画 的逻辑图图2.2.2 【例2.2】的逻辑电路图第10页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2由逻辑电路图写出逻辑表达式【例2.3】写出图2.2.3所示电路的逻辑表达式。图2.2.3 【例2.3】的电路图2.2.2.4 卡诺图 卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能组合的小方格构成的平面图，它是一种用图形描述逻辑函数的方法，一般画成正方形或矩形。这种方法在逻辑函数的化简中十分有用。第11页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数 2.3 逻辑代数基本定律及常用公式2.3.1 逻辑代数基本定律（1）0-1律 A A0=00=0 A+1=1A+1=1（2）自等律 A A1=A1=A A+0=AA+0=A（3）交换律 A+B=B+AA+B=B+A A AB=BB=BA A（4）结合律 (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)(A(AB)B)C=AC=A(B(BC)C)（5）分配律 A+(BA+(BC)=(A+B)C)=(A+B)(A+C)(A+C)A A(B+C)=A(B+C)=AB+AB+AC C（6）互补律（7）重叠律 A+A=A A+A=A AA=AAA=A（8）反演律（9）非非律第12页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.3.2 逻辑代数的常用公式 公式1：公式2：A+AB=A A(A+B)=A 公式3：公式4：公式5：公式6：第13页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.3.3 逻辑代数的重要规则2.3.3.1 代入规则 任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的地方都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。【例2.5】已知 ，函数即2.3.3.2 反演规则 对任意一个逻辑函数表达式F，如果将F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，0变成1，1变成0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，那么所得到的逻辑函数表达式就是逻辑函数F的反函数。第14页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数【例2.6】若若 则则【例2.7】若 则【例2.8】若 则（1 1）运用反演规则时，不是某一个变量上的反号应保持不变。（2 2）要特别注意运算符号的优先顺序：2.3.3.3 对偶规则 对于任何一个逻辑函数表达式F，如果把F中的“”变成“+”，“+”变成“”，0变成1，1变成0，而逻辑变量保持不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式F。【例2.9】第15页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.3.4 逻辑代数的相等 判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。（1）列真值表。若真值表全同，函数则相等。（2）用逻辑函数的定律、公式证明。第16页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.4 逻辑函数的化简2.4.1 逻辑函数表达式的基本形式2.4.2 逻辑函数表达式的标准形式2.4.3 逻辑函数的化简 在逻辑函数各种不同的表示形式中，与-或表达式和或-与表达式是最基本的形式。2.4.3.1 代数化简法1.与-或表达式的化简 最简与-或表达式的条件：表达式中的“与”项个数最少。满足上述条件的前提下，每个“与”项中的变量个数最少。第17页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数（1）并项法 利用互补律【例2.22】（2）吸收法 利用公式 及多余项定理【例2.23】（3）消去法 利用公式【例2.24】（4）配项法 利用公式 及多余项定理【例2.25】第18页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.或-与表达式的化简 最简或-与表达式的条件：表达式中的“或”项个数最少。满足上述条件的前提下，每个“或”项中的变量个数最少。【例2.29】第19页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.4.3.2 卡诺图化简法 卡诺图是逻辑函数的最小项方块图表示法，它用几何位置上的相邻，形象地表示了组成逻辑函数的各个最小项之间在逻辑上的相邻性。卡诺图是化简逻辑函数的重要工具。1.卡诺图的结构（1）卡诺图一般都画成正方形或矩形。图中分割出的小方格数就有2n个，n为变量数。因为n个变量共有2n个最小项，而每个最小项需用一个小方格表示。（2）变量取值的顺序要按照循环码排列，以确保最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。第20页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数图2.4.1 二变量卡诺图图2.4.2 三变量卡诺图第21页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数图2.4.3 四变量卡诺图第22页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.卡诺图上最小项的合并规律（1）两个小方格连在一起或处于某行（列）的两端时，可以合并。合并后可以消去一个变量。图2.4.5 两个相邻合并第23页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数（2）4个小方格组成一个大方格，或组成一行（列），或处于相邻两行（列）的两端，或处于4个角，则可以合并，合并后可以消去两个变量，如图2.4.6所示。图2.4.6 四变量 合并图第24页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数【例2.30】图2.4.7所示为几种四个最小项相邻的合并。图2.4.7 四变量合并第25页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数（3）8个小方格组成相邻两行（列）或组成两个边行（列）时，可以合并成一项。合并时消去3个变量，合并图略。图2.4.8 八变量合并第26页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数3.将给定函数用卡诺图表示（1）若逻辑函数的表达式为最小项之和，则只要在卡诺图上将最小项对应的小方格标以1（简称1方格），把剩余的小方格标以0（简称0方格）即可。有时0方格可不标出。（2）逻辑函数由真值表给出。直接根据真值表在卡诺图中填写，函数值为1的填1，为0的填0。（3）给出的是一般逻辑函数表达式。首先将函数转换成与-或表达式（不必换成最小项之和形式），然后在卡诺图中把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）处填1，然后叠加起来，而剩下的填0。第27页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数4.用卡诺图化简逻辑函数 将函数化成最简与-或表达式的步骤。第一步：将给定函数用卡诺图表示。第二步：对卡诺图上的1方格画卡诺圈。第三步：选择乘积项写出最简与-或表达式。【例2.36】用卡诺图求函数的最简与-或表达式。解：解：将给定函数用图将给定函数用图2.4.13所示所示卡诺图表示。卡诺图表示。由图由图2.4.13所示卡诺图化简得所示卡诺图化简得 图2.4.13 【例2.36】的卡诺图第28页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数 几个应注意的问题几个应注意的问题圈越大越好，圈数越少越好。圈越大越好，圈数越少越好。每一个圈至少应包含一个其他圈中不能包含进去的小方格，否则它是每一个圈至少应包含一个其他圈中不能包含进去的小方格，否则它是多余项。多余项。必须把组成函数的全部最小项（必须把组成函数的全部最小项（1 1方格）圈完。当某方格）圈完。当某1 1方格不与任何其方格不与任何其他他1 1方格相邻时，应将这方格相邻时，应将这1 1方格单独圈起来。方格单独圈起来。有时需要比较检查才能写出最简与有时需要比较检查才能写出最简与-或表达式，而有些情况下，最小项或表达式，而有些情况下，最小项的圈法不止一种，因而与的圈法不止一种，因而与-或表达式也会各不相同。要看哪个最简，有时会或表达式也会各不相同。要看哪个最简，有时会出现几个表达式都是最简的情况。事实上，化简结果不唯一。出现几个表达式都是最简的情况。事实上，化简结果不唯一。易被疏忽的问题易被疏忽的问题卡诺图中四个角上的最小项可以合并。卡诺图中四个角上的最小项可以合并。一开始就画大圈，然后画小圈，此时可能会出现不包含新的最小项的一开始就画大圈，然后画小圈，此时可能会出现不包含新的最小项的圈，即多余项。圈，即多余项。第29页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数 将函数化成最简或-与表达式的步骤如下。若给出的函数是与给出的函数是与-或表达式或表达式，则第一步：画F的卡诺图。第二步：合并卡诺图上的0方格，得F的最简与-或表达式。第三步：对F再求反即得F的最简或-与表达式。若给出的函数是或给出的函数是或-与表达式与表达式，则第一步：求F，并画出F 的卡诺图。第二步：合并卡诺图上的1方格，得F 的最简与-或表达式。第三步：对F 再求对偶，即得F的最简或-与表达式。第30页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数【例2.40】用卡诺图求函数的最简或-与表达式。图2.4.17 【例2.40】F的卡诺图图2.4.18 【例2.41】F的卡诺图【例例2.41】求求 的最简或的最简或-与表达式。与表达式。第31页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2.4.3.3 逻辑函数化简中的若干问题1.具有无关最小项的逻辑函数的化简（1 1）约束、约束项和约束条件。）约束、约束项和约束条件。与函数值无关的这一部分最小项不能决定函数的取值，就把这些最小项称为无关（Dont Care）最小项，也叫约束项。把具有这种特点的逻辑函数称为包含无关最小项的逻辑函数，或称具有约束条件的逻辑函数。约束：用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约的一个重要概念。约束：用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约的一个重要概念。约束项：不会出现的变量取值组合所对应的最小项叫做约束项。约束项：不会出现的变量取值组合所对应的最小项叫做约束项。约束条件：由约束项加起来构成的逻辑表达式称约束条件。约束条件：由约束项加起来构成的逻辑表达式称约束条件。第32页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数（2）具有无关最小项的逻辑函数的化简。公式法：在公式法中可以根据化简的需要加上或去掉约束条件，因为在逻辑表达式中，加上或去掉约束项，函数不受影响。卡诺图法：在用卡诺图合并最小项时，可根据化简的需要包含或不包含约束项，因为合并最小项时，如果圈中包含了约束项，则相当于在相应的乘积项中加上了该约束项（其值恒为0），显然函数不会受影响。第33页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数【例2.42】化简下列函数解法1：公式法解法2：卡诺图法图2.4.19 【例2.42】的卡诺图第34页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数【例2.43】用卡诺图化简F1、F2两函数。解：或 第35页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数2具有多个输出逻辑函数的化简 一个具有相同输入变量而有多个输出的逻辑网络，如果只孤立地将单个输出函数化简，然后直接拼在一起，在多数情况下并不能保证这个多输出网络为最简。这是因为这种网络有时存在能够共享的部分。衡量多输出函数最简的标准是：所有逻辑表达式中包含的不同“与”项总数最少。在满足上述条件的前提下，各不同“与”项中所含的变量总数最少。【例2.44】第36页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数解：图2.4.21 【例2.44】的卡诺图之一第37页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数 三个函数表达式中共有8个不同的“与”项，各“与”项中所含的变量总输入端数为18个。若将三个函数的卡诺图综合考虑，可以发现存在很多公共项，即可以画出许多相同的圈。该组表达式中共含有5个不同的“与”项，各不同“与”项中所含的变量总输入端数是13。图2.4.22 【例2.44】的卡诺图之二第38页/共40页Publishing House of Electronics IndustryPublishing House of Electronics Industry第第2 2章章 逻辑代数逻辑代数 小 结本章介绍了逻辑代数的基本概念、基本运算、逻辑函数的表示方法及其相互转换，基本公式和定理以及逻辑函数的化简方法。逻辑代数的三种基本运算：与运算、或运算和非运算。基本公式的熟练掌握和推导。四种逻辑函数的表示方法：逻辑函数表达式、真值表、逻辑图和卡诺图。逻辑函数的两种化简方法：公式化简法和卡诺图化简法。利用公式化简函数时，需要熟记公式，适用于一些较简单的函数；卡诺图化简的优点是简单、直观，但是当变量数超过五个时，这些优点就体现不出来。因此两种方法都要熟练掌握，视具体情况使用。第39页/共40页谢谢您的观看！第40页/共40页