线性代数与空间解析几何哈工大.pptx

3.1 几何向量及其线性运算3.1.1 几何向量的概念 现实生活中有这样的两种量：数量（标量），即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温度等.向量（矢量）即不仅有大小而且还有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不行的.向量是研究物理学及几何学不可缺少的工具.第1页/共65页1向量：有大小，又有方向的量称为向量.用有向线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记 或2模：（长度）向量的大小，记作且3单位向量：模为1的向量、不同的方向上有不同的单位向量，40向量：模为0的向量注：0向量没有确定的方向或说方向任意.5负向量：与大小相等，方向相反.第2页/共65页6自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1）方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量.所以任意两向量都共面.第3页/共65页3.1.2 几何向量的线性运算一、加法运算：（向量的加法，数乘向量）1平行四边形法规：设 ，则以 为邻边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记.2三角形法则：（便于多个向量求和）.将的终点与的起点重合在一起.说明：若在同一直线上，则其和如：(1).当与方向同时，和向量的方向与原来两个向量的方向相同.其模=两模之和.(2).当与方向相反时，和向量的方向与较长的向量的方向相同，其模=两模之差.第4页/共65页3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量，即为和向量，.4运算法则：（1），交换律；（2）,结合律；（3）；（4）.5向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量.注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比大小，而向量式子无意义，当然向量的长度可比大小，根据三角形两边之和不小于第三边,的长度满足三角不等式.第5页/共65页二、数乘向量：为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法.1定义：，则 是一个向量，与 共线，模 与 同向，时与 反向，.若 .2运算法则：（1）；（2），（结合律）；（3）；（4），（分配律）.第6页/共65页3单位向量：表示与同向的单位向量.4平行：，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示.注：与都没有意义.第7页/共65页 例1：在 内，设 ，试用 表示.解：的对角线互相平分 ，又 .ABCDY第8页/共65页3.2 向量的数量积，向量积和混合积3.2.1 向量在轴上的投影 刚才讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算定量的描述.第9页/共65页2点的投影：若 为空间中一点，为一轴，通过 点作垂直于 轴的平面 ，则 与轴 的交点 为在轴 上的投影（一个点）.1向量的夹角：设有 ，将 的起点放在一起，它们所夹的角 称为向量的夹角，记 .注：零向量与另一向量的夹角可以在0到 间任意取值.同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的正向间不超过 的夹角.第10页/共65页 3向量的投影：设有向量 ,则轴 上的有向线段 的值为 （数量，向为正数，向为负数），称为向量 在轴 上的投影，记作 .第11页/共65页 定理3.1 向量 在轴 上的投影=向量的模乘以向量与轴夹角的余弦，即：.证：过点引轴且同向，且有.当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；直角时，投影为0.定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影=投影之和.即：.此定理可推广：.第12页/共65页3.2.2 几何向量的数量积（点积、内积、标积）物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是:抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.1定义（数量积），.一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.第13页/共65页 2性质：（1）规定 ；（2）；交换律：（3）；分配律：（4）；结合律：（5）3注：（1）称为数量积是因结果是个数.（2）并不见得中必有向量，也可.（3）无意义.（4）数量积不满足消去律即事实上，所以.第14页/共65页例2：用向量的数量积，证明恒等式即平行四边形对角线的平方和=四边的平方和.证：例3：用向量证明余弦定理 证：在 中，第15页/共65页例4：已知 与 的夹角为 ，且向量 与 垂直，求 的值.解：.即第16页/共65页3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积）下面介绍向量与向量的另一种乘法。物理背景：由力学知，力 关于定点 的力矩是一个向量 ，它的模=力的大小力臂，即：但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道物体如何转动，规定力矩的方向 且 与 构成右手系，即右手四指从 方向握向的 方向时，大姆指的方向就是力矩的方向，（为转动轴），抽去物理意义，引出向量积的定义。第17页/共65页1定义（向量积）向量 与 的向量积是一个向量，记为 ，则它满足：（1）；（2）决定的平面 ；（3）依 的顺序成右手系；记作：2几何意义：都非零且不共线，以 为邻边的平行四边形的面积.第18页/共65页3性质：（1）；（2）或 或 )；（3）反交换律（反对称性）：（交换律不成立）；（4）分配律：；（5）结合律 ；第19页/共65页 例5：证明 证：由内积定义知 ，由外积定义知 ，两式相加有：例6：已知 ，且 ，求 证：利用上题结果有 .第20页/共65页3.2.4 三个向量的混合积1定义（混合积）是个数值.2几何意义：，设 不共面，当 为锐角时，右手系 ，当 为钝角时，成左手系时，以 为棱作一个平行六面体,体积为 ,.第21页/共65页3三个向量共面 ，又 且 ，共面4性质：混合积具有轮换对称性.第22页/共65页3.2.5 几何向量的坐标 前面介绍的几何向量的加法，数乘，数量积，向量积及混合积的计算,都是在几何作图，下面将这些运算 代数运算.一、空间直角坐标系 1坐标系：在空间中任取一定点 ，过点 作三条相互垂直的数轴 ，它们都以 为原点，且有相同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系，记为 为横轴，为纵轴，为竖轴.习惯上 轴，轴放水平面上，轴铅直向上，它们的正方向构成“右手系”，即 的正方向符合“右手规则”.第23页/共65页 2点的坐标，设 为空间内一点，分别是点在轴 上的投影，在轴 上的坐标依次为 ，称有序数组 为点 的坐标，且，记 .3坐标面：三条坐标轴中的任意两个确定一个坐标面，面，三张坐标面互相垂直.4卦限：三个坐标面把整个空间分成八个区域，称为八个卦限.5两点间的距离：.，.第24页/共65页 二、向量的坐标 1基本单位向量：分别为 轴正向的单位向量，称为基本单位向量.其内积和外积满足：,2向量的坐标：（1）.解：故 的坐标为 （2）若 故 的坐标为第25页/共65页 三、向量的运算的坐标形式 向量的加法：1 ；2 ；3 ；4 .第26页/共65页 5 第27页/共65页 6 .第28页/共65页 四、向量的模及夹角 （由定理3.1知.1模 方向角：2方向余弦：3单位向量第29页/共65页 五、共线与共面在直角坐标系下：与 共线(平行).共面 ，即线性相关.不全为0的 ，使 .例7：设 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 与 共线，与 共线，试证 =.分析：两个向量共线 两个向量成比例，证：与 共线，与 共线，得 ,均非零若 ，则 与 成比例.与 共线与假设矛盾，故 .代入式有 .第30页/共65页 例8：已知向量 ，并满足 ，求向量 .解法1：设 由题设 解得 解法2：且 再由条件 即 故 第31页/共65页 例9：求以 为顶点的 的面积及边 上的高.解：，的面积为 高 第32页/共65页 例10.求以 为顶点的四面体的体积.解：由立体几何知，四面体 的体积 以向量 和 为棱的平行六面体的体积的六分之一，即 而 第33页/共65页3.3 空间中的平面与直线 我们把曲面、曲线看作是位置上满足某些约束条件的点的集合.在引入直角坐标系后，这些约束条件是通过点的坐标所满足的方程来体现的，比如说 是某曲面方程，就是说，曲面上的点的坐标都满面足这个方程；不在曲面上的点的坐标 不满足这个方程.这样，我们就可以用代数方法来研究几何问题了.3.3.1 空间平面的方程 1法向量：凡是与平面 垂直的非零向量 .都叫做平面 的法向量.2点法式方程：已知平面 的法向量 及平面 上一点 ，求 的方程.任一点 在 上的 是 ，即，用坐标表示就是 （1）（1）是平面 的点法式方程.第34页/共65页 3 的一般方程 若记 则（1）式可写成 （2）由（2）式知，在空间直角坐标系下，平面方程是三元一次方程，至少有一个不为零.自然会问：的三元一次方程的图形是否都是平面呢？回答是肯定的.不会为零，比如 ，则（2）式可变为 ，的形式与（1）式比较知，它是以 为法向量，且通过点 的平面方程.总之，在空间直角坐标系下，任何平面方程都是三元一次方程，反之，的任何三元一次方程的图形都是平面.第35页/共65页 平面一般方程（2）中，系数 和常数 各具一定的几何意义，是法向量的坐标，表明平面朝向那里，当 不变，改变时，得到一组平行平面，时，平面过原点 的某一个为零，就表明法向量与相应的坐标轴垂直，平面与该轴平行。3特殊的平面方程，在 轴投影为 ，平面平行于 轴，平面过 轴；，平百平行于 轴，平面过 轴；，平面平行于 轴，平面过 轴；面，即 轴.，轴，面.轴，面.第36页/共65页 设过 是平面上任意一点，取 及过 点，建立平面方程为：（3）（3）为平面的三点式方程，（三点确定一个平面）.4三点式方程：已知平面上不在同一条直线上的三点 ，求平面方程.第37页/共65页 5平面的截距式方程：若已知平面在三个坐标轴上的截距分别为 （均不为0），即平面过点，则 解：将三点 分别代入（2）知 代入（2）整理并除以 不过原点)得 （称为截距且全不为0），称为平面的截距式方程.由平面的截距式方程很容易画出平面图形.第38页/共65页 例11：求与点 等距离的点的轨迹方程.解：显然，这是线段 的垂直平分面，是这个面的一个法向量，线段的中点 在平面上，.例12：求过 轴，且过点 的平面方程.解法1：所求平面过 轴，平面方程为 .又 点 在平面上，故 .显然 ，（否则 ，），所求平面方程为 .第39页/共65页解法2：平面过 轴，轴上的点 及 在平面上，加上点 ，三个点确定一个平，由（3）三点式平面方程可得所求平面方程 得 .解法3：由于点 的向径 和 轴的单位向量 都在所求平面上，故 为平面的法向量，又点 在平面上，由点法式，故平面方程为 .第40页/共65页 二、平面的度量性质 1两平面平行：（按两法向量平行处理）.，则 .2重合：例：和 平行.3两平面垂直：（按两法向量垂直处理）.例13：求过点 且垂直于平面 的平面方程.第41页/共65页 解法1：设所求平面的法向量为 平面方程为：又 及 .由点 法式有：.解法2：由点结式 .解法3：由三点共面，有的题即可用内积作，又可用外积作.第42页/共65页4两平面的夹角：两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）.的夹角 为 与 的夹角，.例14：求两平面 的夹角.解：第43页/共65页4 点到平面的距离 设 为平面 外一点，求 到这平面的距离.解：在 上任取一点 ，并作 的一法向量 ，.，由于，第44页/共65页 例15：求点 到平面 的距离.解：第45页/共65页3.3.2 空间直线及其方程 一、直线方程 1一般方程（交面式）：空间直线是空间曲线的特殊情况，所以空间直线 可以看作是两个平面 和 交线，即：（1）空间直线 上的任何点的坐标应同时满足这两个平面方程，反过来，如果点 不在直线上，那么它不可能同时在 ，上，所以不满足方程组（1）.通过空间直线 的平面有无限多个，所以只要在这无限多个平面上任选两个，把它们联系起来，所得的方程组就表示空间直线 .第46页/共65页 2直线的标准方程（点向式）：确立直线的方法，除了给出通过它的两个平面外，还有其他方法，首先介绍直线的方向向量.方向向量：若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为这条直线的方向向量，记为 ，（不唯一）.第47页/共65页 例 方程组（1）所表示的直线 的方向向量可取 即 过空间一点可作且只能作一条直线平行于一已知直线，对 可确定 的位置.在 上任取一点 ，则 ，（2）反过来，不在 上的点 ，有 不平行于 ，对应坐标不成比例，（2）称为 的对称式方程，（点向式方程）标准方程：注：（1）直线的点向式方程不唯一.第48页/共65页 3特殊平面方程：当 中有一个为零，例.则 当 中有两个为0时，例 ，则 方向数：直线的任一方向向量 的坐标 称为该直线的一组方向数.方向余弦：的方向余弦称为该直线的方向余弦.第49页/共65页 4参数方程：在（2）中令 ，则（3）称为 的参数方程，不唯一，（3）不唯一.例16：将直线 化为标准式和参数式.解：1.先任意找出直线上的一点：令 ，解 直线上一点为第50页/共65页 为 的标准方程；令 为 的参数方程.若令 ，则第51页/共65页 ，由点向式，上面讲过，平面的位置可由平面上一点及法向量来确定，空间直线的位置可由直线上一点和直线的方向向量来确定.因此，平面与平面的夹角，直线与直线的夹角、直线与平面的夹角，以及垂直、平行条件，都可以通过平面的法向量，直线的方向向量之间的相互关系来表现，上节课我们已经讲了两平面的夹角及垂直、平行条件，讲了点到平面的距离.第52页/共65页 二、两条直线的夹角及垂直、平行条件的关系：1两直线夹角 两条直线 ,间的夹角（包括异面直线）定义为方向向量 和 间的夹角 （指锐角）2两直线垂直 3两直线平行第53页/共65页 例17：求 和 的夹角.解：由叉积求 第54页/共65页 若 三、直线与平面的（夹角及垂直、平行条件）位置关系：1直线与平面的夹角 直线 与平面 的夹角是指 和它在 上的投影线间所夹的锐角 ，或 2直线与平面垂直 3直线与平面平行 第55页/共65页 例18：求直线 和平面 夹角.解：求 求投影平面，即 ，即 投影平面为：即为所求投影直线方程.第56页/共65页 解：先作一平面过点 且与 垂直 （1）再求 与 的交点，的参数方程为 代入（1）例19：求过点 且与直线 垂直相交的直线方程.解得 ，交点为 即 第57页/共65页 又 四、距离 1点到直线的距离设点 及直线 ，求 .例20：求两条平行直线 与 之间的距离.解：由于两条平行线之间距离等于一条直线上的任意一点 到另一条直线的距离.第58页/共65页 2两直线共面的条件：空间两直线有共面与异面之分，从 与 上各取一点和 ，则 共面 三个向量 共面 即 第59页/共65页 例21：证明直线 与 共面，并求 所在的平面方程.解：取 由两直线共面 与 共面，设 的法向量为 所求平面方程为：，即.第60页/共65页 3异面直线的距离：例22：求证 ，是两条异面直线，并求出它们之间的最矩距离以及公垂线方程.解：与 是异面直线，第61页/共65页 公垂线是 与 的交线，公垂线的方向向量为 ，=利用三个向量共面的充分必要条件求出 和 的方程：即 即 公垂线方程为 第62页/共65页五、平面束（用平面束解题比较方便）：平方束：过直线 的所有平面全体 设 来确定 .（3）其中 为任意常数，系数不成比例，不全为0，（3）表示一个平面，对不同的（3）表示过 的不同的平面，除（2）外，通过 的任何平面都包含在（3）所表示的一族平面内，通过定直线的所有平面全体称为平面束，（3）称为 的平面束的方程.第63页/共65页 例24：已知两平面 ,问 与 是否相交；如果相交，求出交线在平面 上投影的直线方程.解：由于 与 的法向量不平行：与 相交，设交线为 .记 为通过直线 的垂直于 的平面，所求 在 上的投影直线就是求 与 的交线，下面先求出：.设过 的平面束方程为 即 由于 与 垂直，.代入平面束方程得 ，所求投影直线方程为 第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页