平面向量的应用举例.pptx

平面向量的应用举例平面向量的应用举例例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。第1页/共21页例例2 如图，如图，ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分别分别与与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC先几何法：先几何法：第2页/共21页第3页/共21页解：设解：设解：设解：设 则则则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线，共线，所以设所以设因为因为 所以所以ABCDEFRT第4页/共21页，故故AT=RT=TCABCDEFRT第5页/共21页第6页/共21页 三、各自优劣三、各自优劣 1、代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。、代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。代数解法（或向量解法）好象是天马行空找不到为什么是垂直。代数解法（或向量解法）好象是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。请问为什么？一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。请问为什么？答答:由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来向量的线性运算及数量积表示出来,但在运算的时候，几何意义我但在运算的时候，几何意义我们没有注意到已经被隐藏起来了。们没有注意到已经被隐藏起来了。2、解题就是思维的发生、发展过程，我们还要知道思维为、解题就是思维的发生、发展过程，我们还要知道思维为什么这样发生为什么这样发展。什么这样发生为什么这样发展。对于几何法一般因为技巧性很高，所以思维的发生、发展比对于几何法一般因为技巧性很高，所以思维的发生、发展比较难。较难。第7页/共21页（1）建立平面几何与向量的联系，用向量）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。向量法有统一的模式，比向量法有统一的模式，比如如 用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：所以向量法的思维发生发展比较容易，但就是运所以向量法的思维发生发展比较容易，但就是运算量大。算量大。第8页/共21页 所以向量运算表面上代数运算，本质上是几何运算所以向量运算表面上代数运算，本质上是几何运算既几何证明。但同学们发现没有向量的威力很大，所以向既几何证明。但同学们发现没有向量的威力很大，所以向量是一只披着羊皮的狼。向量解决问题有一套统一的模式量是一只披着羊皮的狼。向量解决问题有一套统一的模式和程序，技巧性不是很高，有时候就是觉得运算量比较大。和程序，技巧性不是很高，有时候就是觉得运算量比较大。这是因为向量把几何证明转化为代数运算。但几何证明技这是因为向量把几何证明转化为代数运算。但几何证明技巧性比较高。巧性比较高。第9页/共21页 同学们同学们，向量这一章为什么这么难？，向量这一章为什么这么难？在在办公室里许多同学问我有关向量的问题，这说明向量这一章办公室里许多同学问我有关向量的问题，这说明向量这一章有点难。下面分析为什么有点难。有点难。下面分析为什么有点难。一一、为什么要研究向量？、为什么要研究向量？首先首先我解释下定义、性质、公理、定理有什么区别。我解释下定义、性质、公理、定理有什么区别。定义定义是在世界中有许多事物非常重要，于是我们专门给它个名是在世界中有许多事物非常重要，于是我们专门给它个名称。比如三角形、圆等等。称。比如三角形、圆等等。性质性质是这个事物因为很重要，所以我们研究它，看看有什么规是这个事物因为很重要，所以我们研究它，看看有什么规律。律。公理公理是公认正确的是显而易见的非常直白的事实，是不证自明是公认正确的是显而易见的非常直白的事实，是不证自明的事实。比如整体大于的事实。比如整体大于部分部分。定理定理是对于平面几何第一个定理是根据公理推导出第一个定理，是对于平面几何第一个定理是根据公理推导出第一个定理，接下去是根据公理、接下去是根据公理、定理定理推导出新的定理推导出新的定理 同学们同学们可以分别百度百科：定义可以分别百度百科：定义 性质性质 公理公理 定理。定理。因为因为世界中有个东西很重要比如三角形，于是我们给这个东西世界中有个东西很重要比如三角形，于是我们给这个东西专门一个名称，然后专门一个名称，然后研究它研究它的性质，但同学们三角形我们是看得见的性质，但同学们三角形我们是看得见摸的着的，所以三角形是很具体、直观的，越具体、摸的着的，所以三角形是很具体、直观的，越具体、第10页/共21页直观的东西越简单，所以三角形很简单。直观的东西越简单，所以三角形很简单。加速度、速度能不能看的见摸的着？现实中有没有一个东西是加速度、速度能不能看的见摸的着？现实中有没有一个东西是加速度、速度？所以加速度、速度比三角形要抽象，越抽象的东西加速度、速度？所以加速度、速度比三角形要抽象，越抽象的东西越难。所以学习加速度、速度要比学习三角形要难。越难。所以学习加速度、速度要比学习三角形要难。现实中有没有向量？没有向量。我们把加速度、速度再抽象出现实中有没有向量？没有向量。我们把加速度、速度再抽象出来得到向量研究它，因为这个东西很重要。所以向量又比加速度、来得到向量研究它，因为这个东西很重要。所以向量又比加速度、速度抽象。速度抽象。二、向量这一章为什么难？二、向量这一章为什么难？我们为什么要研究向量？因为向量这个东西很重要，但向量比我们为什么要研究向量？因为向量这个东西很重要，但向量比加速度、速度抽象，加速度、速度又比三角形抽象，越抽象的东西加速度、速度抽象，加速度、速度又比三角形抽象，越抽象的东西越难，所以我们学习向量很难。越难，所以我们学习向量很难。既然向量这个东西很抽象很难，如果我们要继续研究它的性质既然向量这个东西很抽象很难，如果我们要继续研究它的性质则是难上加难。所以向量这一章很难。则是难上加难。所以向量这一章很难。第11页/共21页第12页/共21页第13页/共21页第14页/共21页第15页/共21页 反思：此题就是把向量语言翻译成方程语言。一个是向量形式，反思：此题就是把向量语言翻译成方程语言。一个是向量形式，一个是方程形式。但轨迹的图形是同一个。一个是方程形式。但轨迹的图形是同一个。第16页/共21页第17页/共21页第18页/共21页 分析：此题就是把向量语言翻译成方程语言，一个是向量形分析：此题就是把向量语言翻译成方程语言，一个是向量形式一个是方程形式。但轨迹的图形是同一个。式一个是方程形式。但轨迹的图形是同一个。第19页/共21页第20页/共21页