行列式及其性质.pptx
n 阶行列式 第 一 节学习重点余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念 第1页/共32页行列式的引入引例：用加减消元法求解 二元线性方程组当时方程组有唯一解如果规定则有第2页/共32页二阶行列式 determinant定义abcd第3页/共32页例 根据定义计算行列式的值主对角线元素之积减去副对角线元素之积对角线法则第4页/共32页三 阶行列式对角线法则第5页/共32页例 根据定义计算行列式的值对角线法则第6页/共32页元素 的余子式元素 的代数余子式第7页/共32页余子式元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式代数余子式 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和第8页/共32页n 阶行列式的定义（P222定义1）按第一行展开第9页/共32页例 根据定义计算行列式的值第10页/共32页下三角形行列式逐次按第一行展开下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积特别 第11页/共32页 三阶行列式等于第一列所有元素与其代数余子式乘积之和第12页/共32页定理按第一列展开第13页/共32页上三角形行列式逐次按第一列展开上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积第14页/共32页例 计算行列式的值按第一列展开第15页/共32页行列式的性质及计算第 二 节学习重点行列式的性质 行列式的按行按列展开定理 第16页/共32页1、转置变换或记作行列式的几种变换行、列对掉称 为行列式 的转置行列式Transpose 第17页/共32页行变row列变换column交换i,j两行数K乘第 i 行数K乘第 j 行后加到第 i 行上去 交换i,j两列数K乘第 i 列数K乘第 j 列后加到第 i 列上去2、换法变换3、倍法变换4、消法变换 换法变换 倍法变换 消法变换第18页/共32页行列式的性质1.行列式转置后，其值不变。表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有2.互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=03.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式。推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0 推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0 推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式 符号的外面。第19页/共32页4.如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成两个行列式之和。5.把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k 后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式 的值不变。如即 第20页/共32页交换i,j两行数K乘第 i 行数K乘第 j 行后加到第 i 行上去交换i,j两列数K乘第 i 列数K乘第 j 列后加到第 i 列上去2、换法变换3、倍法变换4、消法变换 换法变换 倍法变换 消法变换1、转置变换行与列对调等值变号翻倍等值变号 翻倍 等值 第21页/共32页利用行列式的性质计算行列式的值第22页/共32页第23页/共32页行列式的展开与计算定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。第24页/共32页推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。小结行列式按行展开得D，串行展开得零。第25页/共32页例题1、计算行列式的值2、设有行列式（1）（2）A11、A12、A13、A14分别是D的第一行元素的代数余子式，试求3A11-A12+3A13-A14的值。第26页/共32页解答1、（1）原式按第一列展开按第二行展开第27页/共32页解答1、（2）原式按第四列展开按第二列展开2、将代数式还原成 行列式，得第28页/共32页1、计算下列行列式（1）（2）2、证明：Vandermonde行列式课堂练习第29页/共32页 答 案1、（1）（2）2、提示：用数学归纳法，后一行 减去前一行的 倍小结行列式的计算方法：一般是先利用性质，用消法变换将行列式中某一行（或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不为零，然后按该行（或列）展开，使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。第30页/共32页作业：P251 2（1）3（4）、6（2，3）、7预习第三节、第四节第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页
