概率论与数理统计-第三章.pptx
chapter 313.1 多维随机向量及其分布函数多维随机向量及其分布函数定义定义3.1 如果样本空间如果样本空间中的样本点中的样本点 同时对应着同时对应着n个随机个随机变量变量X1，X2，,Xn，以这，以这n个随机变量为分量的向量个随机变量为分量的向量称为称为 n n 维随机向量维随机向量(X(X1 1，X X2 2，,X,Xn n)的联合分布函数。的联合分布函数。称为称为 n n 维随机向量或维随机向量或n n 元随机变量元随机变量.下面主要讨论二维随机向量下面主要讨论二维随机向量.一、一、多维随机向量的概念多维随机向量的概念第第1页页/共共89页页chapter 32二、随机向量的二、随机向量的联合联合分布函数分布函数1.二维随机向量的联合分布函数二维随机向量的联合分布函数称为二维随机向量称为二维随机向量(X,Y)的分布函数或的分布函数或X和和Y的的联合分布函数联合分布函数。定义定义3.2设有二维随机向量设有二维随机向量(X,Y),对于任意实数对于任意实数x,y,记二元函数记二元函数第第2页页/共共89页页chapter 33联合分布函数的概率意义联合分布函数的概率意义Yo(x,y)(X,Y)x联合分布函数的概率意义联合分布函数的概率意义:F(x,y)表示平面上的随机点表示平面上的随机点(X,Y)落在以落在以(x,y)为右上顶点的为右上顶点的无穷矩形中的概率。如下图无穷矩形中的概率。如下图.第第3页页/共共89页页chapter 34二维矩形区域概率的计算二维矩形区域概率的计算利用概率加法的多除少补原理利用概率加法的多除少补原理,如图所示如图所示,0 a bYXdc第第4页页/共共89页页chapter 35三、三、二维随机向量二维随机向量联合分布函数的性质联合分布函数的性质(2)F(x,y)分别对x和y单调不减,即 对任意固定的y,当x1x2时，对任意固定的x,当y1y2时，(3)F(x,y)关于 x右连续，关于y也右连续.（5）对任意固定的x1x2,y1y2有第第5页页/共共89页页chapter 36相应地，记相应地，记分别称为关于分别称为关于X、关于、关于Y的的边缘分布函数边缘分布函数.四、四、边缘分布函数边缘分布函数随机向量中每个分量的分布称为边缘分布函数.第第6页页/共共89页页chapter 37联合分布函数及边缘分布函数的关系联合分布函数及边缘分布函数的关系同理同理由联合分布函数可由联合分布函数可求出边缘分布函数求出边缘分布函数第第7页页/共共89页页chapter 383.2 离散型二维随机向量离散型二维随机向量n 定义定义3.3 如果二维随机向量如果二维随机向量(X,Y)的全部取值的全部取值(数对数对)为有限为有限个或至多可列个个或至多可列个,且以确定的概率取这些值，则称随机向量且以确定的概率取这些值，则称随机向量（X,Y）为离散型二维随机向量）为离散型二维随机向量.显然，其中每个分量均为显然，其中每个分量均为离散型随机变量离散型随机变量.一、离散型二维随机向量的概念一、离散型二维随机向量的概念第第8页页/共共89页页chapter 39二、联合概率函数二、联合概率函数定义定义3.4设离散型二维随机向量（设离散型二维随机向量（X，Y）的可能值）的可能值 为为(xi ,yj)，其概率记为，其概率记为 或记为或记为称之为（称之为（X，Y）的概率函数，或）的概率函数，或X与与Y的联合概率的联合概率函数函数,或或X与与Y的联合分布律。的联合分布律。即即第第9页页/共共89页页chapter 310联合概率函数可用如下的表格来表示联合概率函数可用如下的表格来表示:称之为一维表称之为一维表.(X,Y)P第第10页页/共共89页页chapter 311称之为二维表称之为二维表第第11页页/共共89页页chapter 312三、联合概率函数的性质三、联合概率函数的性质类似一维随机变量类似一维随机变量,二维随机向量联合概率函数二维随机向量联合概率函数有如下性质有如下性质:第第12页页/共共89页页chapter 313对于集合对于集合 (xi,yj)|i,j=1,2,的任意一个子集的任意一个子集A,则事则事件件(X,Y)A的概率为的概率为由上式，可得（由上式，可得（X,Y）的）的联合分布函数联合分布函数为为由联合概率函由联合概率函数可求出联合数可求出联合分布函数分布函数第第13页页/共共89页页chapter 314 随机向量随机向量(X,Y)中每一个随机变量中每一个随机变量X、Y的的概率函数概率函数,称为关于称为关于 X、Y 的边缘的边缘概率函数概率函数.四、边缘四、边缘概率函数概率函数X的概率函数的概率函数Y的概率函数的概率函数或记为或记为第第14页页/共共89页页chapter 315联合概率与边缘概率的关系联合概率与边缘概率的关系n如下表y1 y2 yjp12p22.pi2.p1jp2jpijPYPX1x1x2.xi.YXp11P21.pi1边缘分布边缘分布边缘分布边缘分布第第15页页/共共89页页chapter 316即即同理，可证同理，可证pjj=1,2,.第第16页页/共共89页页chapter 317例例1 二维两点分布二维两点分布（0,0）（1,1）1-p p（X,Y）P设（设（X,Y）只取（）只取（0,0）和）和(1,1)两个点两个点,且取且取(1,1)的概率的概率为为p,取取(0,0)的概率为的概率为1-p,（X,Y）的分布如表所示）的分布如表所示.01PY YX0 11-p 00 p1-p pPX1-pp1X、Y均服从01分布。也可列成二维联合概率分布表第第17页页/共共89页页chapter 318例例2 同一品种的同一品种的5 5件产品中，有件产品中，有2 2件次品件次品3 3件正品。每次从中任件正品。每次从中任取一件检验质量，连续取两次取一件检验质量，连续取两次.用用X X、Y Y分别表示第一、第二次分别表示第一、第二次取到的次品数，分别对不放回抽样与有放回抽样两种情况，取到的次品数，分别对不放回抽样与有放回抽样两种情况，写出写出X X与与Y Y的的联合分布联合分布并求并求边缘分布边缘分布.解：解：随机向量随机向量(X,Y)的所有可能值为的所有可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).不放回抽样不放回抽样:X可能取值为可能取值为0,1，Y可能取值为可能取值为0,1连续两次都取连续两次都取到正品到正品第第18页页/共共89页页chapter 319第第19页页/共共89页页chapter 320 它与第一章学过的它与第一章学过的全概率公式是否一致？全概率公式是否一致？思考：思考：联合分布及边缘分布如下表：联合分布及边缘分布如下表：其中其中 同样方法可求得其他值同样方法可求得其他值.第第20页页/共共89页页chapter 321有放回抽样有放回抽样:事件事件X=i,Y=j相互独立，所以相互独立，所以 同样方法可求得其他值同样方法可求得其他值.第第21页页/共共89页页chapter 322联合分布及边缘分布见下表：联合分布及边缘分布见下表：注注:两种情况下的边缘分布相同两种情况下的边缘分布相同.因为抽取结果与次数无关！参见第一章例题因为抽取结果与次数无关！参见第一章例题:抽签的合理性抽签的合理性.第第22页页/共共89页页chapter 323补例补例2设随机变量设随机变量Y服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)，令，令求（求（X1,X2）的联合概率分布）的联合概率分布.解：解：（X1,X2）可以取）可以取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),四个值四个值.P X 1=0,X 2=0 =P|Y|1,|Y|2 =P|Y|2 =1 P|Y|2 =1 2 (2)1 =0.0455第第23页页/共共89页页chapter 324续P X 1=0,X 2=1=P|Y|1,|Y|2 =P 1|Y|2 =2 P 1 Y 2 =2 (2)(1)=0.2719P X 1=1,X 2=0 =P|Y|1,|Y|2=0P X 1=1,X 2=1=1 P X 1=0,X 2=0 P X 1=0,X 2=1=0.6826第第24页页/共共89页页chapter 325例例4 某射手在射击中，每次击中目标的概率为某射手在射击中，每次击中目标的概率为p（0p0时，如图积分线路l1分为两段当y0时，如图积分线路l2分为三段当y0时，f(x,y)=0,第第38页页/共共89页页chapter 339例例5设二维随机向量设二维随机向量（X,Y）f(x,y)其中其中D为平面上一个可度量的有界闭区域，确定为平面上一个可度量的有界闭区域，确定 的值的值.解：由密度的性质解：由密度的性质因此，因此，1/SD,其中其中SD为区域为区域D的面积的面积.四、二维均匀分布四、二维均匀分布第第39页页/共共89页页chapter 340定义3.6如果二维随机向量如果二维随机向量（X,Y）的概率密度的概率密度f(x,y)为 其中其中D为平面上一个可度量的有界区域，为平面上一个可度量的有界区域，SD为区域为区域D的面积的面积，则称（，则称（X,Y）服从）服从区域区域D上的均匀分布上的均匀分布.记为记为(X,Y)UD.第第40页页/共共89页页chapter 341例6 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀分布上的均匀分布 D=(x,y),axb,cyd,求求X与与Y的联合密度与边缘密的联合密度与边缘密度函数度函数.解解:由定义由定义3.6,SD=(b-a)(d-c),有有yxocd(X,Y)(b,d)(b,c)(a,d)(a,c)ab第第41页页/共共89页页chapter 342关于关于X的边缘密度函数为的边缘密度函数为:当当 ax b 时时所以所以矩形区域上的均匀分布矩形区域上的均匀分布之边缘分布为均匀分布之边缘分布为均匀分布第第42页页/共共89页页chapter 343补例补例n 二维随机向量二维随机向量(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀分布上的均匀分布 D=(x,y),x2+y21,求关于求关于X和和Y的边缘密度的边缘密度.解解:区域区域D如图如图,其面积其面积SD=.由定义由定义3.6知知,(X,Y)的联合密度为的联合密度为规规则则图图形形第第43页页/共共89页页chapter 344D当当|x|1时时,因此因此,同理同理,关于关于Y的边缘密度为的边缘密度为边缘分布不是均匀分布边缘分布不是均匀分布.第第44页页/共共89页页chapter 345例例 7设二维随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,解解:0y 1 xD1第第45页页/共共89页页chapter 3460y 1 xD1y=x2y=x第第46页页/共共89页页chapter 3473.4 随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义3.7:设设X,Y为两个随机变量为两个随机变量,如果对于任意的如果对于任意的实数实数x和和y,事件事件“Xx”和和“Yy”都独立都独立,若若X和和Y的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y),X和和Y的分布函数分别为的分布函数分别为即PXx,Yy=PXx PYy则称随机变量则称随机变量X与与Y相互独立相互独立.第第47页页/共共89页页chapter 348定理定理3.1 设设(X,Y)为离散型随机变量为离散型随机变量,其概率分布为其概率分布为1.离散型离散型R.V.独立的充要条件独立的充要条件证明见教材p85.第第48页页/共共89页页chapter 3492.连续型连续型R.V.独立的充要条件独立的充要条件定理定理3.2 设设(X,Y)为连续型随机向量为连续型随机向量,其概率密度为其概率密度为f(x,y),关于关于X和和Y的边缘分布密度分别为的边缘分布密度分别为即联合密度等于两个边缘密度的乘积即联合密度等于两个边缘密度的乘积.推论推论:独立的随机变量的连续函数也独立独立的随机变量的连续函数也独立.如如:X与与Y独立独立,则则X2与与Y2也独立也独立.第第49页页/共共89页页chapter 350补例补例1 二维随机向量（二维随机向量（X1,X2）的联合分布由下表确定，）的联合分布由下表确定，判断判断X1与与X2是否独立？是否独立？X1017/15 7/307/30 1/15X2 0 1又又 PX2=0=PX1=0,X2=0+PX1=1,X2=0=7/15+7/30=0.7 类似可以算出类似可以算出 PX1=0=0.7显然显然PX1=0,X2=0 PX1=0 PX2=0 因因此此X1与与X2不独立不独立.解解：由右表知：由右表知，第第50页页/共共89页页chapter 351例 3设随机变量X与Y的概率分布分别由下表给出,且PXY=0=1,求X与Y的联合分布并判断X与Y的独立性.YP-101XP01 第第51页页/共共89页页chapter 352解 由已知可得由已知可得PXY0=0,即有即有PX=1,Y=-1+PX=1,Y=1=0,所以所以 YX-1 0 1*0 *0PX1/21/2101PY 又由联合分布与边缘分布的关系又由联合分布与边缘分布的关系PY=-1=PX=0,Y=-1+PX=1,Y=-1=1/4，PX=1,Y=-1=0,PX=1,Y=1=0,于是有下表于是有下表 同理可求出表中其它值.(参见下页).得PX=0,Y=-1=1/41/4第第52页页/共共89页页 1 进一步可得进一步可得 因为PX=0,Y=0=0,而PX=0PY=0=1/21/2=1/4PX=0,Y=0PX=0PY=0X与Y不独立.第第53页页/共共89页页chapter 354例 4设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀分布，判断上的均匀分布，判断X与与Y是否独立，其中是否独立，其中 (1)D=(x,y),axb,cyd,(2)D=(x,y),x2+y2 R2第第54页页/共共89页页chapter 355解解:(1)由均匀分布的定义知由均匀分布的定义知关于关于X的边缘密度函数为的边缘密度函数为:关于关于Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为:显然显然,对于任意实数对于任意实数x,y有有第第55页页/共共89页页chapter 356(2)X与与Y的联合密度为的联合密度为关于关于X的边缘密度为：当的边缘密度为：当|X|R时，时，同理同理,关于关于Y的边缘密度为的边缘密度为所以所以,X与与Y不独立不独立.第第56页页/共共89页页chapter 357例例 5第第57页页/共共89页页chapter 3593.6 二维随机向量函数的分布二维随机向量函数的分布 定义定义3.10 若对于二维随机向量若对于二维随机向量(X,Y)的每一个可能值的每一个可能值(x,y),都有另一随机变量都有另一随机变量Z的相应可能值的相应可能值z与之对应与之对应:z=g(x,y),则称随机变量则称随机变量Z为为(X,Y)的函数的函数,记为记为Z=g(X,Y).一、离散型随机向量函数一、离散型随机向量函数注注:等价事件概率相等等价事件概率相等.（X,Y）P(x1,y1)p11(x1,y2)p12(x2,y1)p21(xi,yj)pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(x2,y1)g(xi,yj)第第59页页/共共89页页chapter 360例例1 已知已知X,Y的概率分布由下表给出的概率分布由下表给出,求求Y的边缘分布及的边缘分布及X+Y的概率分布的概率分布.X-210.2 0.1 0.30.1 0.2 0.1Y -1 0 2解解:由边缘分布的定义,将表中第将表中第1,2,3列相加列相加,得到得到Y的边缘分布的边缘分布.见下表见下表Y -1 0 2P 0.3 0.3 0.4X+Y可以取可以取-3,-2,0,1,3共五个值共五个值.其概率分布为其概率分布为:PX+Y=-3=PX=-2,Y=-1=0.2PX+Y=0=PX=-2,Y=2+PX=1,Y=-1=0.3+0.1=0.4第第60页页/共共89页页chapter 361类似可以算出其他概率值类似可以算出其他概率值,见下表见下表X+Y-3-2013P0.20.10.40.20.1第第61页页/共共89页页chapter 362例例2 设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的概率分布如表所示的概率分布如表所示,求求Z=maxX,Y的分布的分布.-1 0 2-2011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8XYYX-1 0 2-201-1 0 2 0 0 21 1 2Z解解:Z的可能值如表所示的可能值如表所示ZP-1 0 1 21/8 3/8可得可得Z的分布如表所示的分布如表所示.第第62页页/共共89页页chapter 363例 3 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为1和和2的泊松分布的泊松分布,求求Z=X+Y的概率分布的概率分布.解解:用用i,j,k分别表示分别表示X,Y,Z的可能取值的可能取值,则则于是于是,有有第第63页页/共共89页页chapter 364因为因为X与与Y相互独立相互独立,所以所以可知可知Z服从参数为服从参数为1+2的泊松分布的泊松分布.第第64页页/共共89页页chapter 365例4设XB(n1,p),YB(n2,p),且X与Y相互独立,证明X+YB(n1+n2,p).证:见下页第第65页页/共共89页页chapter 366证证令令Z=X+Y,由二项分布定义知由二项分布定义知则则Z=X+Y的可能取值为的可能取值为k=0,1,2,n1+n2.命题得证命题得证.第第66页页/共共89页页chapter 367二、连续性随机向量函数二、连续性随机向量函数l 一般对于连续型二维随机向量一般对于连续型二维随机向量(X,Y)，Z=g(X,Y)不一定是连续型随机不一定是连续型随机 变量。变量。第第67页页/共共89页页chapter 368 设二维随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D=(x,y),0 x2,0y1,求Z的概率分布.解解:(X,Y)的密度函数为PZ=1=1-1/4=3/4.0y1 2 x1y=x例5第第68页页/共共89页页chapter 369例例6设设(X,Y)的密度函数为的密度函数为求求Z=X2+Y2的密度的密度fZ(z).采用分布函数法:由(X,Y)的联合密度f(x,y)，求出随机变量Z的密度函数.第第69页页/共共89页页chapter 370例例6解解:当当zz=1-PXz,Y z.第第79页页/共共89页页chapter 480若X与Y相互独立,则若Z为连续型随机变量,则Z=minX,Y的密度函数为FZ(z)=1-PXz,Y z =1-PXz.PY z=1-1-FX(z).1-FY(z)=1-1-PXz.1-PYz=FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z)第第80页页/共共89页页chapter 3813.7 二维正态分布二维正态分布n定义定义3.11：设有二维随机向量：设有二维随机向量(X,Y),如果其概率密度为如果其概率密度为为常数,称（X，Y）服从二维正态分布.其图像对称轴为X,Y平面上过(1,2)且与竖轴平行的直线.参见右图.(教材p.101.)第第81页页/共共89页页chapter 382定理定理3.4 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布二维正态分布的边缘分布为一维正态分布.证：证：第第82页页/共共89页页chapter 383第第83页页/共共89页页chapter 384 同理，可求出同理，可求出fY(y).则则由此，可得如下结果由此，可得如下结果第第84页页/共共89页页chapter 385定理定理3.5 设设(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y相互独立的充相互独立的充要条件是参数要条件是参数0.证：（1）充分性.由=0，代入（3-58）式，得所以，X与Y独立.第第85页页/共共89页页chapter 386X与Y独立,则对任意x,y,有特别地,令x=1,y=2,则有带入式（3-58），（3-59），（3-60）得于是，第第86页页/共共89页页chapter 387定理定理3.6则X与Y的非零线形组合仍服从正态分布.第第87页页/共共89页页chapter 388且X与Y相互独立，易得注意：注意：ab0时有如果少了如果少了独立独立的条件，上述结论不一定成立的条件，上述结论不一定成立.第第88页页/共共89页页感谢您的观看。感谢您的观看。第第89页页/共共89页页
