线性代数-总复习.pptx

一、内一、内 容容 提提 要要 v行列式的性质行列式的性质性质性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面式记号的外面.性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质4 对换两行对换两行,行列式值反号行列式值反号.性质性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去应的元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.性质性质5 若有两行元素对应成比例若有两行元素对应成比例,则行列式值为零则行列式值为零.设设 A,B 为为 n 阶矩阵阶矩阵,则有则有|AB|A|B|.第1页/共91页一、内一、内 容容 提提 要要 vLaplace Laplace 按行列展开按行列展开 定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素与其对应的代数余的元素与其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和.即即 设设 A (aij)为为 n 阶方阵阶方阵,则有则有第2页/共91页一、内一、内 容容 提提 要要 v伴随阵伴随阵 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,Aij 为为(i,j)元的代数余子式元的代数余子式,记记称称 A 为方阵为方阵 A 的的转置转置伴随阵伴随阵.v伴随阵的性质伴随阵的性质 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 A 的伴随阵的伴随阵,则有则有第3页/共91页 如果如果|A|0,那么那么,称方阵称方阵 A 为为非奇异矩阵非奇异矩阵.v逆阵计算公式逆阵计算公式 非奇异矩阵非奇异矩阵 A 的逆阵为的逆阵为v逆矩阵逆矩阵 如果存在矩阵如果存在矩阵 B,使使 AB BA E那么那么,称方阵称方阵 A 为为可逆的可逆的,并称并称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.v定理定理 设设 A,B 为为 n 阶方阵阶方阵,若若 AB E,则则 A,B 可逆可逆,且有且有一、内一、内 容容 提提 要要 第4页/共91页v逆矩阵的性质逆矩阵的性质 设设 A,B 为为 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则有则有一、内一、内 容容 提提 要要 第5页/共91页v分块对角阵的性质分块对角阵的性质(3)A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆,且有且有一、内一、内 容容 提提 要要 设设 Ai(i 1,s)都是方阵都是方阵,设设 A,B 都是方阵都是方阵,则有则有第6页/共91页 矩阵矩阵 A 与与 B 行等价的充要条件是行等价的充要条件是:存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P,使使 B PA.矩阵矩阵 A 与与 B 列等价的充要条件是列等价的充要条件是:存在可逆矩阵存在可逆矩阵 Q,使使 B AQ.具体地有具体地有一、内一、内 容容 提提 要要 v等价矩阵等价矩阵 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等(行行,列列)变换变换,化为矩化为矩阵阵 B,就称矩阵就称矩阵 A 与与 B(行行,列列)等价等价,记为记为 AB.第7页/共91页v行最简形矩阵行最简形矩阵 v行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 一、内一、内 容容 提提 要要 第8页/共91页v矩阵的秩矩阵的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标准形为的等价标准形为 那么称那么称 U 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩,记为记为 R(A).性质性质1 等价矩阵有相等的秩等价矩阵有相等的秩.性质性质2 性质性质4 性质性质3 n 阶方阵阶方阵 A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 R(A)n.行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质性质5 第9页/共91页v矩阵的秩矩阵的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标准形为的等价标准形为 那么称那么称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩,记为记为 R(A).性质性质7 性质性质8 性质性质9 若若 则则 性质性质6 第10页/共91页 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法v矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用 线性方程组的最简形解法线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解写出同解方程组方程组,解便一目了然解便一目了然.矩阵方程矩阵方程 AX B,XA B 的初等变换解法的初等变换解法一、内一、内 容容 提提 要要 第11页/共91页(1)当当 R(A,b)R(A)时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 R(A,b)R(A)n 时时,方程组有唯一解方程组有唯一解;(3)当当 R(A,b)R(A)n 时时,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.设设 n 元线性方程组元线性方程组 Ax b.n 元方程组元方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是 R(A)n.AX B 有解的充要条件是有解的充要条件是 R(A)R(A,B).v线性方程组的可解性定理线性方程组的可解性定理 当当 A为方阵时为方阵时,Ax 0 有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是|A|0.一、内一、内 容容 提提 要要 第12页/共91页v齐次通解结构定理齐次通解结构定理 设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax 0 的一个的一个基础解系基础解系为为x x1,x xn r,其中其中 r R(A),则则 Ax 0 的通解为的通解为(k1,kn r 为任意数为任意数)v非齐次通解结构定理非齐次通解结构定理(k1,kn r 为任意数为任意数)设设 x h h 是是 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 Ax b 的一的一个解个解(称称特解特解),x x1 1,x xn r 是导出组是导出组 Ax 0 的一个基础的一个基础解系解系,则则 Ax b 的通解为的通解为一、内一、内 容容 提提 要要 第13页/共91页一、内一、内 容容 提提 要要 v线性组合线性组合 设有向量组设有向量组 及向量及向量 如果存在一组数如果存在一组数 使使那么那么,称向量称向量 b 为向量组为向量组 的一个线性组合的一个线性组合,称向量称向量 b 可由向量组可由向量组 并并线性表示线性表示.设设 矩阵矩阵 则线性方程组则线性方程组 Ax b有一组解有一组解等价于等价于第14页/共91页v线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 如果存在一组如果存在一组不全为不全为 0 的数的数 使使那么那么,称称 线性相关线性相关.否则否则,称称 线性无关线性无关.v基本性质基本性质 一、内一、内 容容 提提 要要 (1)若向量若向量 b 可由向量组可由向量组 a1,am 线性表示线性表示,则向量组则向量组b,a1,am 线性相关线性相关.(2)若部分组线性相关若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关则任一部分组也线性无关.第15页/共91页v定理定理 v线性相关性线性相关性 设有向量组设有向量组 如果存在一组如果存在一组不全为不全为 0 的数的数 使使那么那么,称称 线性相关线性相关.否则否则,称称 线性无关线性无关.一、内一、内 容容 提提 要要 向量组向量组 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是 a1,am 线性无关线性无关,也即向量方程也即向量方程只有零解只有零解.第16页/共91页v向量组的秩向量组的秩 设设 A 为一向量组为一向量组,A 中线性无关向量组所含向量个中线性无关向量组所含向量个数的最大值数的最大值 r,称为向量组称为向量组 A 的秩的秩,记为记为 R(A).v向量组的最大无关组向量组的最大无关组 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r,如果如果 a1,ar 为为 A 中一个线中一个线性无关向量组性无关向量组,那么称那么称 a1,ar 为为 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.v最大无关组的性质最大无关组的性质 设设 A 为一向量组为一向量组,则部分组则部分组 a1,ar 为为 A 的一个最的一个最大无关组的充分必要条件是大无关组的充分必要条件是(2)A 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;一、内一、内 容容 提提 要要 第17页/共91页 化矩阵化矩阵 A 为行最简形为行最简形 A0,通过观察通过观察 A0,便知便知 A 的的列向量组的秩和一个列向量组的秩和一个特定的特定的最大无关组最大无关组,以及以及 A 的其的其余列向量在该最大无关组下的线性表示余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内一、内 容容 提提 要要 v秩与最大无关组的一个算法秩与最大无关组的一个算法 例例 设设 的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为则则且有且有 初等行变换保持矩阵的列向量组的初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系线性关系.第18页/共91页v向量组的线性表示向量组的线性表示 若向量组若向量组 B 中的任一向量都可由向量组中的任一向量都可由向量组 A 中的向中的向量线性表示量线性表示,就称向量组就称向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.一、内一、内 容容 提提 要要 向量组向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 若向量组若向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示,则则 R(B)R(A).v等价向量组等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组称等价向量组.向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是 第19页/共91页v向量空间向量空间 设设 Rn 的非空集的非空集 V 满足条件：满足条件：那么那么,称称 V 为一个向量空间为一个向量空间.当非空集当非空集 V 满足条件满足条件(1),(2)时时,称称 V 对线性运算封闭对线性运算封闭.(1)若若 a V,b V,则则 a +b V;(2)若若 a V,k R,则则 ka V,齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax 0 的解集的解集 S 是一个向量空间是一个向量空间.v子空间子空间 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2,若若 V1 V2,就称就称 V1 是是 V2 的的子空间子空间.当当 V1 V2 时时,称称 V1 是是 V2 的的真子空间真子空间.一、内一、内 容容 提提 要要 第20页/共91页v向量空间的基和维数向量空间的基和维数 称向量空间称向量空间 V 的秩为的秩为 V 的维数的维数,记为记为 dim V.称向量空间称向量空间 V 的任一最大无关组为的任一最大无关组为 V 的一个基的一个基.v基的性质基的性质 设设 V 为一个向量空间为一个向量空间,则则 V 中向量组中向量组 a1,ar 为为V 的一个基的充分必要条件是的一个基的充分必要条件是(2)V 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系为解空间的基础解系为解空间S 的的一个基一个基,dim S n R(A).一、内一、内 容容 提提 要要 第21页/共91页v生成空间生成空间 设有向量组设有向量组 A:a1,am,记记称称 L(A)为由向量组为由向量组 A 生成的向量空间生成的向量空间,简称生成空间简称生成空间.称称 a1,am 为为生成元生成元.v向量组线性表示的等价说法向量组线性表示的等价说法 设有向量组设有向量组 A:a1,as,B:b1,bt.则有则有(1)L(A)为为 L(B)的子空间的充分必要条件是的子空间的充分必要条件是 A 组可由组可由B 组线性表示；组线性表示；(2)L(A)L(B)的充分必要条件是的充分必要条件是 A 组与组与 B 组等价组等价.一、内一、内 容容 提提 要要 第22页/共91页v向量在基下的坐标向量在基下的坐标 设设 V 为一个为一个 r 维向量空间维向量空间,则则 V 中任意中任意 r 个线性无个线性无关向量关向量 a1,ar 为为 V 的一个基的一个基,且有且有V 中任一向量中任一向量 a 可唯一地表示为可唯一地表示为称称(k1,kr)为为 a 在基在基 a1,ar 下的坐标下的坐标.一、内一、内 容容 提提 要要 第23页/共91页v过度矩阵过度矩阵一、内一、内 容容 提提 要要 设设 a1,ar 及及 b1,br 是向量空间是向量空间 V 的两个基的两个基,称此关系式为称此关系式为基变换公式基变换公式.称矩阵称矩阵 P 为从基为从基 a1,ar 到基到基 b1,br 的的过渡矩阵过渡矩阵.过渡矩阵是可逆矩阵过渡矩阵是可逆矩阵.则则存在存在 r 阶矩阵阶矩阵 P,使使第24页/共91页v向量的内积向量的内积一、内一、内 容容 提提 要要 设有设有 n 维向量维向量 a (a1,an),b (b1,bn),称称 a,b 为向量为向量 a 与与 b 的内积的内积.记记v向量的范数向量的范数 称称为向量为向量 a 的范数的范数(或或长度长度),记为记为|a|.若若 a,b 0,则称向量则称向量 a 与与 b 正交正交.v向量的夹角向量的夹角 非零向量非零向量 a 与与 b 的的夹角夹角为为第25页/共91页v规范正交基规范正交基一、内一、内 容容 提提 要要 r 维向量空间维向量空间 V 中中,任一正交单位向量组任一正交单位向量组 e1,er,称为称为 V 的一个规范正交基的一个规范正交基.v正交矩阵正交矩阵 如果如果 ATA E(A 1 AT),则称方阵则称方阵 A为正交矩阵为正交矩阵.1 定义:2 运算性质 正交矩阵之积为正交阵正交矩阵的转置为正交阵 正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 正交矩阵A的行列式 或1第26页/共91页 为正交单位向量。A为正交矩 阵 A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量3 正交矩阵的判定一、内一、内 容容 提提 要要 A 为为 n 阶正交阵的充分必要条件是阶正交阵的充分必要条件是 A 的列的列(行行)向量组为向量组为 Rn 的一个规范正交基的一个规范正交基.A为正交矩阵 A为正交矩阵 v正交变换正交变换 若若 P 为正交阵为正交阵,则称线性变换则称线性变换 y Px 为正交变换为正交变换.正交变换保持向量的内积不变正交变换保持向量的内积不变.第27页/共91页v方阵的特征值方阵的特征值一、内一、内 容容 提提 要要 称称 n 次多项式次多项式|l lE A|为为 A 的的特征多项式特征多项式.称称 n 次方程次方程|l lE A|0 的根为方阵的根为方阵 A 的的特征值特征值.设设 l l1,l ln 为为 A 的所有特征值的所有特征值,则有则有v特征值的性质特征值的性质(2)(1)A 的的迹迹,记为记为tr(A).设设 f 是一个多项式是一个多项式,若若 l l 为方阵为方阵 A 的一个特征值的一个特征值,则则 f(l l)为为 f(A)的一个特征值的一个特征值.第28页/共91页v方阵的特征向量方阵的特征向量一、内一、内 容容 提提 要要 设设 l l 为方阵为方阵 A 的特征值的特征值,称方程组称方程组 (l lE A)x 0的任一的任一非零解非零解为方阵为方阵 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量的特征向量.对应于对应于 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值的特征值 l l 有有 n R(l lE A)个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量,v定理定理 设设 l l1,l lm 是方阵是方阵 A 的的 m 个不相同的特征值个不相同的特征值,A1,Am 分别为属于分别为属于 l l1,l lm 的线性无关特征向量组的线性无关特征向量组,则由则由 A1,Am 的并集构成的向量组线性无关的并集构成的向量组线性无关.称称属于属于 l l 的线性无关特征向量组的线性无关特征向量组.v定理定理 设设 l l1,l lm 是方阵是方阵 A 的的 m 个不相同的特征值个不相同的特征值,p1,pm 为对应的特征向量为对应的特征向量,则则 p1,pm 线性无关线性无关.第29页/共91页v相似矩阵相似矩阵一、内一、内 容容 提提 要要 设设 A,B 为为 n 阶方阵阶方阵,若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P,使使那么那么,称称 B 是是 A 的相似矩阵的相似矩阵.称称 P 为为相似变换矩阵相似变换矩阵.矩阵的相似具有矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性反身性、对称性和传递性.v定理定理 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式(特征值特征值).推论推论 若对角阵若对角阵 L L 是是 A 的相似矩阵的相似矩阵,则则 L L 以以 A 的特征的特征值值为对角元素为对角元素.第30页/共91页v定理定理一、内一、内 容容 提提 要要 n 阶方阵阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是与对角阵相似的充分必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.v定理定理 设设 l l 是是 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 k 重特征值重特征值,则则v定理定理 方阵方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是可相似对角化的充分必要条件是 A的每一的每一特征值的特征值的几何重数等于代数重数几何重数等于代数重数.称称 k 为特征值为特征值 l l 的的代数重数代数重数.称称 n R(l lE A)为特征值为特征值 l l 的的几何重数几何重数.第31页/共91页(1)求出求出 n 阶方阵阶方阵 A 的所有特征值的所有特征值 l li.一、内一、内 容容 提提 要要 (2)求求(l li E A)x 0 的一个基础解系的一个基础解系.(3)将求出的将求出的 n 个特征向量排成矩阵个特征向量排成矩阵则则v可对角化矩阵的多项式计算可对角化矩阵的多项式计算 当当 P 11AP L L diag(l l1,l ln)时时,v方阵相似对角化的算法方阵相似对角化的算法第32页/共91页1.1.二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 定义6.1 含有 个变量 的二次齐次函数 称为 元二次型，用矩阵表示为 其中向量 ，矩阵 称为对称矩阵 的二次型，并称 的秩为该二次型的秩.所以 是对称矩阵，称为二次型 的矩阵，一、内一、内 容容 提提 要要 第33页/共91页称为 的标准形或法式.称这时的标准形为 的规范形，即特别地，当标准形中的系数 只取1，-1或0时，只含平方项的二次型 2.2.二次型的标准形二次型的标准形 二次型的标准形不唯一，但其规范形唯一（在实变换下）.标准形中所含非零平方项的项数等于二次型的秩.一、内一、内 容容 提提 要要 第34页/共91页3.3.合同变换合同变换 对于 阶方阵 ，如果存在可逆方阵 ，使 则称 为合同矩阵或称 与 合同，变换 称为合同变换，矩阵 称为合同变换矩阵.对任意可逆方阵 ，若 对称，则 也对称且 用可逆变换把实二次型化为标准形等同于用合同变换把实对称矩阵化为对角矩阵.实对称矩阵可以用正交的相似变换对角化，又正交的相似变换也是合同变换.一、内一、内 容容 提提 要要 第35页/共91页4.4.化二次型为标准型方法和步骤化二次型为标准型方法和步骤 定理 任给实二次型 总有正交变换 使 化为标准形 其中 是 的矩阵 的特征值.（1）用正交变换化二次型为标准形 一、内一、内 容容 提提 要要 第36页/共91页步骤步骤:第一步第一步 写出二次型写出二次型 所对应的实对称矩阵所对应的实对称矩阵 ；第二步第二步 求出求出 的所有特征值；的所有特征值；第三步第三步 对对 的每一特征值求出对应的特征向量，把的每一特征值求出对应的特征向量，把对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根的特征向量正交化、规范化；的特征向量正交化、规范化；第四步第四步 以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩阵阵 ，得正交变换，得正交变换 ；第五步第五步 写出标准形写出标准形 ，其中其中 为为 的特征值，其顺序应和的特征值，其顺序应和 中中的列特征向量顺序相对应的列特征向量顺序相对应.以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致.一、内一、内 容容 提提 要要 第37页/共91页(2)(2)用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形 这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新变量以达到二即不含交叉项，再对这些平方项引入新变量以达到二次型成为关于新变量的平方项之和次型成为关于新变量的平方项之和.具体做法是：具体做法是：如果二次型中含有某如果二次型中含有某 的平方项，则先把含的平方项，则先把含 的各的各项集中，按项集中，按 配成完全平方，然后按此法对其它变配成完全平方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方项，但有某个项，但有某个 ，则先作一个可逆的线性变，则先作一个可逆的线性变换：换：使二次型出现平方项，再按上面方法配方使二次型出现平方项，再按上面方法配方.一、内一、内 容容 提提 要要 第38页/共91页5.5.惯性定理惯性定理 一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项的项数是确定的（即二次型的秩）.不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的（从而负平方项的个数也是不变的）.一、内一、内 容容 提提 要要 6.6.正定二次型正定二次型 设有实二次型 ，如果对任何 都 （），则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的，记作 ；如果对任何 都有 则称 为负定二次型，并称对称矩阵 是负定的，记作 .第39页/共91页判断实二次型正定的充要条件判断实二次型正定的充要条件（1)1)实二次型标准形中的个系数全为正；实二次型标准形中的个系数全为正；（2)2)实二次型的矩阵的特征值全为正；实二次型的矩阵的特征值全为正；（3)3)实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全大于零实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全大于零.至于至于 的负定性可通过的负定性可通过 的正定性来判断的正定性来判断.一、内一、内 容容 提提 要要 第40页/共91页二、典二、典 型型 例例 题题 例例1 设设 a1,a2,a3,b 均为均为3维列向量维列向量,矩阵矩阵A (a1,a2,a3),解解B (3a1,2a2,b),且已知行列式且已知行列式 det A 2,det B 6.计算计算 det(3A B)和和 det(3A+B).第41页/共91页解解例例2 设设 计算计算知识点第42页/共91页例3解解解解第43页/共91页例例5 设设且且 A2+AB A E,求求 A9 和和 B.解解第45页/共91页证明证明 例例6 设设 A 满足方程满足方程 A2+2A E O,证明证明 A 与与 A+3E都可逆都可逆,并求它们的逆阵并求它们的逆阵.由由 A2+2A E O,得得因此因此 A 可逆可逆,且有且有因此因此 A+3E 可逆可逆,且有且有第46页/共91页且且 AB B+A,求求 B.已知已知 解解例例7 由由 AB B+A,得得 第47页/共91页第48页/共91页例例8 设设 求求 An.解解则有则有 令令 第49页/共91页例9 设A为3阶方阵,求解解第50页/共91页例例10求向量一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵的秩=?线性无关吗?是最大无关组吗?解解第51页/共91页第52页/共91页是右边的最大无关组是左边的最大无关组总结总结矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。第53页/共91页证证1 例例11 设设 m n 矩阵矩阵 A 的秩的秩 R(A)n,证明证明 于是存在于是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P,使使 A PF.因此因此因因 R(A)n,可知可知 A 的等价标准形为的等价标准形为(也是行最简形也是行最简形)知识点第54页/共91页例12 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。下面证明下面证明 可用可用 线性表示线性表示第56页/共91页第57页/共91页解法1 1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。例1313 设线性方程组 就参数 a,b ，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。(2)(2)当a=1,且14b+2ab=12b=0，即 b=1/2 时，有无穷多解 (1)(1)当（a1)b 0时，有唯一解第58页/共91页 (4)(4)当 a 1,b=0时，D=0,r(A)=2,r(A,b)=3,无解。(3)(3)当a=1,b 1/2 时，14b+2ab 0,方程组无解。(4)(4)当b=0 时，14b+2ab=1 0 时,方程组无解。（原方程组中后两个方程是矛盾方程）于是方程组的一般解为x=(2,2,0)T+k(1,0,1)T(k为任意常数）a=1,b=1/2 时，化为解法2 2系数行列式(1)(1)当（1 a)b 0时，D 0，方程组有唯一解。(2)(2)当a=1,b=1/2 时，D=0，r(A)=r(A,b)=2,有无穷多解。(3)(3)当a=1,b 1/2 时，D=0，r(A)=2,r(A,b)=3,无解。第59页/共91页知识点问问 a 取什么值时取什么值时,(1)b 可由可由 a1,a2,a3 线性表示线性表示,且表示式唯一且表示式唯一;(2)b 可由可由 a1,a2,a3 线性表示线性表示,但表示式不唯一但表示式不唯一;(3)b 不可由不可由a1,a2,a3线性表示线性表示.解解 对对(A,b)(a1,a2,a3,b)施行施行初等行变换初等行变换(1)当当a 2 时时,R(A,b)R(A)3,b可由可由a1,a2,a3线性表示线性表示,且表示且表示式唯一式唯一(因因a1,a2,a3线性无关线性无关);(2)当当 a 2 时时,R(A,b)R(A)2,b可由可由a1,a2,a3线性表示线性表示,但表示但表示式不唯一式不唯一(因因a1,a2,a3线性相关线性相关);(3)当当 a 2 时时,R(A,b)R(A),b 不可由不可由 a1,a2,a3 线性表示线性表示.例例14 设设 第60页/共91页例例15 设矩阵设矩阵A(a1,a2,a3,a4),其中其中a3,a4线性无关线性无关,a3 2a1+a2,a4 3a1+2a2.向量向量b a1+a2+a3+a4,求方程组求方程组 Ax b 的通解的通解.解解知识点由由a3 2a1+a2,a4 3a1+2a2 知知x x1 (2,1,1,0)T,x x2(3,2,0,1)T为方程组为方程组 Ax 0 的两个解的两个解,又因又因a3,a4线性无关线性无关,所以所以a3,a4为为a1,a2,a3,a4的一个最大无关组的一个最大无关组,秩秩 R(A)2.易知易知 R(x x1,x x2)2 4 R(A),因此因此 x x1,x x2 为方程组为方程组 Ax 0 的一个基础解系的一个基础解系.由由 b a1+a2+a3+a4 知知h h (1,1,1,1)T为方程组为方程组 Ax b的一个特解的一个特解.因此因此,方程组方程组 Ax b 的通解为的通解为且有且有第61页/共91页解解 且有且有例例16 设设(1)求求A的列向量组的列向量组 a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组的秩和一个最大无关组,并把并把其余向量用此最大无关组线其余向量用此最大无关组线性表示性表示;(2)求求 Ax 0 的通解的通解.(1)化化 A 为为行最简形行最简形:a1,a2,a3,a4 的秩为的秩为2,一个最大无关组为一个最大无关组为a1,a2,知识点(2)Ax 0 的同解方程组为的同解方程组为其中其中 k1,k2 为任意数为任意数.令令自由未知元自由未知元 x3 k1,x4 k2,得得 Ax 0 的通解为的通解为第62页/共91页例例18求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的 A 放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成 的列(A 的行)即可.解 得基础解系设所求的齐次方程组为 ,则取即可.解第65页/共91页例例 21 已知已知 的两组基为：的两组基为：及及 其中：其中：（1）求向量）求向量 在基在基 下的坐标；下的坐标；（2）求从）求从 到到 的过渡矩阵；的过渡矩阵；（3）求向量）求向量 在基在基 下的坐标。下的坐标。解：解：（1 1）设所求坐标为）设所求坐标为 ，即有：，即有：方程组整理得：对其增广矩阵进行初等行变换：第68页/共91页即方程组得解为：即第69页/共91页于是：于是：（2）设所求过渡矩阵为）设所求过渡矩阵为 即有：即有：第70页/共91页（2）设 ，解方程组 （1）因为 所以（3）设向量 则 本题如果直接利用公式 来求 ，计算 时计算量较大，为了避免繁琐的运算，可采用如下方法之一求解：即可 由例由例6知，只要知道了旧基底到新基底的过渡变换矩阵，知，只要知道了旧基底到新基底的过渡变换矩阵，就易计算出向量在新基底下的坐标。就易计算出向量在新基底下的坐标。第71页/共91页例例22 设设 是是 的一组基，而的一组基，而（1）证明：）证明：也是也是 的一组基，并写出由的一组基，并写出由 到到 的过渡矩阵；的过渡矩阵；（2）设）设 在在 下的坐标为下的坐标为 求求 在在 下的坐标。下的坐标。解：1）设矩阵 对矩阵B进行初等列变换：后一列减去前一列得：所以 也是 的一组基。而而或由定理知或由定理知 也是 的一组基。第72页/共91页故从故从 到到 的过渡矩阵为：的过渡矩阵为：2）则则 在基在基 下的坐标为：下的坐标为：第73页/共91页解解 方阵方阵 A 的特征多项式为的特征多项式为例例23 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.方阵方阵 A 的特征值为的特征值为第74页/共91页解解例例23 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l1 3 时时,解方程组解方程组 由由 得基础解系得基础解系方阵方阵 A 对应于对应于 l l1 3 的全部特征向量为的全部特征向量为第75页/共91页解解例例23 求方阵求方阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.当当 l l2 l l3 3 l l4 4 1 时时,解方程组解方程组 由由 得基础解系得基础解系方阵方阵 A 对应于对应于 l l2 l l3 3 l l4 4 1 的全部特征向量为的全部特征向量为(k2,k3,k4 不同时为零不同时为零)第76页/共91页解解例例24 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似,其中其中(1)因因 A 与对角阵与对角阵 B 相似相似,知知 A 的特征值为的特征值为 2,2,b.由特征值的性质得由特征值的性质得求得求得知识点(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.第77页/共91页解解例例24 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似,其中其中(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.(2)当当 l l 2 时时,解方程组解方程组(2E A)x 0,得基础解系得基础解系当当 l l 6 时时,解方程组解方程组(6E A)x 0,得基础解系得基础解系取可逆矩阵取可逆矩阵则有则有 P 1AP B.知识点第78页/共91页解解例例24 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似,其中其中(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.(3)A PBP 1,An PBnP 1.第79页/共91页解解例例24 设矩阵设矩阵 A 与与 B 相似相似,其中其中(1)求常数求常数 a,b;(2)求可逆矩阵求可逆矩阵 P,使使 P 1AP B.(3)求求 An.(3)A PBP 1,An PBnP 1.第80页/共91页证明证明例例25 设设 A,B为为n阶矩阵阶矩阵,l l 为为AB的非零特征值的非零特征值,证明证明l l 也也为为 BA 的特征值的特征值.存在非零向量存在非零向量 p,使使 ABp l l p.于是于是由由 l l 0,p 0,可知可知 Bp 0.(而而 Bp 为对应的特征向量为对应的特征向量)因此因此 l l 为为 BA 的特征值的特征值.第81页/共91页例例26 设矩阵设矩阵求求 a 的值的值,并讨论并讨论 A 可否相似对角化可否相似对角化.有一个二重特征值有一个二重特征值,解解 方阵方阵 A 的特征多项式为的特征多项式为第82页/共91页解解求求 a 的值的值,并讨论并讨论 A 可否相似对角化可否相似对角化.若若 l l 2 是二重特征值是二重特征值,则则 l l 2 是是的根的根,求得求得 a 2.例例26 设矩阵设矩阵有一个二重特征值有一个二重特征值,R(2E A)1,从而从而 A 可相似对角化可相似对角化.l l 2 的几何重数为的几何重数为 2,等于代数重数等于代数重数,知识点第83页/共91页解解求求 a 的值的值,并讨论并讨论 A 可否相似对角化可否相似对角化.若若 l l 2 不是二重特征值不是二重特征值,则则有重根有重根 l l 4,求得求得 R(4E A)2,从而从而 A 不可相似对角化不可相似对角化.例例26 设矩阵设矩阵有一个二重特征值有一个二重特征值,l l 4 的几何重数为的几何重数为 1,小于代数重数小于代数重数 2,第84页/共91页解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2727第85页/共91页从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组第86页/共91页4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵第87页/共91页于是所求正交变换为第88页/共91页例例28 已知矩阵已知矩阵正定，求正定，求t的范围的范围.解：因为解：因为A正定，所以正定，所以由由解得解得于是得到于是得到 t 的取值范围是：的取值范围是：第89页/共91页例例29 判别二次型是否正定.f(x1,x2,x3)=2x12+4x22+5x324 x1x3解：解：且等号成立当且仅当且等号成立当且仅当即即所以二次型正定所以二次型正定.第90页/共91页感谢您的观看！第91页/共91页