理学刚体的定轴转动.pptx

一一.刚体刚体 内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。物体，即运动过程中不发生形变的物体。刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 第1页/共70页刚体的平动过程bca第2页/共70页刚体的平动过程bca第3页/共70页bcab刚体的平动过程第4页/共70页bca刚体的平动过程第5页/共70页bca刚体的平动过程第6页/共70页bca刚体的平动过程第7页/共70页bca刚体的平动过程第8页/共70页bca刚体的平动过程第9页/共70页bca刚体的平动过程第10页/共70页1.1.1.1.平动：平动：平动：平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动过运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。程中始终保持方向不变。特点：特点：特点：特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。第11页/共70页2.2.2.2.转动：转动：转动：转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为运动。若转轴固定不变，则称为定轴转动定轴转动。特特特特点点点点：刚刚刚刚体体体体内内内内所所所所有有有有点点点点具具具具有有有有相相相相同同同同的的的的角角角角位位位位移移移移、角角角角速速速速度度度度和和和和角角角角加加加加速速速速度度度度。刚刚刚刚体体体体上上上上任任任任一一一一点点点点作作作作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律。圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律。圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律。圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律。第12页/共70页转动动能转动动能转动动能转动动能:质点运动的动能质点运动的动能质点运动的动能质点运动的动能:刚体是有许多质点组成的刚体是有许多质点组成的刚体是有许多质点组成的刚体是有许多质点组成的总动能总动能总动能总动能:第13页/共70页I=miri2I 称为称为转动惯量转动惯量转动惯量的计算转动惯量的计算单个质点的转动惯量：单个质点的转动惯量：I=mr2质点系的转动惯量：质点系的转动惯量：I=miri2I=mr2dm质量连续分布的刚体的转动惯量：质量连续分布的刚体的转动惯量：第14页/共70页质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布、分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布才能用积分计算出刚体的转动惯量。才能用积分计算出刚体的转动惯量。只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体第15页/共70页转动惯量单位：转动惯量单位：kg.m2*关于关于转动惯量转动惯量的讨论：的讨论：转动惯量和转轴有关。转动惯量和转轴有关。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。转动惯量转动惯量和质量分布有关。和质量分布有关。转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯量等于刚体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。量等于刚体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。第16页/共70页oomr122 I=ooml1122 I=oomr142 I=ooml13 I=2第17页/共70页 例例 求质量为求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。解解:若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。Rdm讨论：讨论：若若圆环质量分布不均匀，圆环质量分布不均匀，结果相同。结果相同。第18页/共70页 例例 求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转动的均匀圆盘的转动解：取半径为解：取半径为r 宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环,可见，转动惯量与可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是动惯量也是mR2/2。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。第19页/共70页 例例 求长为求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dx转动惯量。转动惯量。第20页/共70页平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：mmR R例：例：第21页/共70页二二.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角位置：角位置：角位置：角位置：1.1.1.1.定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 角位移：角位移：角位移：角位移：角速度：角速度：角速度：角速度：角加速度：角加速度：角加速度：角加速度：第22页/共70页2.2.2.2.角量和线量的关系角量和线量的关系角量和线量的关系角量和线量的关系矢量表示：矢量表示：矢量表示：矢量表示：第23页/共70页对于匀加速转动,有下面公式:第24页/共70页例题例题1 1 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。第25页/共70页例题例题2 2 一飞轮转速一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀，受到制动后均匀 地减速，经地减速，经t t=50 s=50 s后静止。后静止。（1 1）求角加速度）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数的转数N；（2 2）求制动开始后）求制动开始后t=25=25s 时飞时飞 轮的加速度轮的加速度 ；（3 3）设飞轮的半径）设飞轮的半径r=1=1m，求在，求在 t=25=25s 时边缘上一点的速时边缘上一点的速 度和加速度。度和加速度。0vanatarO解解 （1 1）设初角度设初角度为为 0 0方向如图所示，方向如图所示，第26页/共70页 量值为量值为 0 0=2=21500/60=501500/60=50 rad/s，对于匀变，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50=50S 时刻时刻 =0=0，代入方程，代入方程=0+at 得得 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转及转数数N 分别为分别为第27页/共70页 （2 2）t=25=25s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为第28页/共70页（3 3）t t=25=25s 时飞轮边缘上一点时飞轮边缘上一点P 的速度。的速度。的方向与的方向与 0 0相同相同 ；的方向垂直于的方向垂直于 和和 构成的平面，如构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为由由第29页/共70页边缘上该点的加速度边缘上该点的加速度 其中其中 的方向的方向与与 的方向相反，的方向相反，的方向指向轴心，的方向指向轴心，的大小的大小为为 的方向几乎和 相同。第30页/共70页刚体的转动定律刚体的转动定律1 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩转动平面转动平面如果有几个外力矩作用在刚体上如果有几个外力矩作用在刚体上积分得积分得力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴到转轴Z 的距离的乘积。的距离的乘积。第31页/共70页2 2、刚体定轴转动的、刚体定轴转动的转动定律转动定律上式为刚体定轴转动的转动定律。表明刚体绕定轴上式为刚体定轴转动的转动定律。表明刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。m 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。*关于转动定律的讨论：关于转动定律的讨论：MI 与与地位相当地位相当第32页/共70页 例例 如图所示，两物体如图所示，两物体1 1和和2 2的质量分别为的质量分别为m1与与m2，m22T1Tm1滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为J,半径为半径为r 。如物体如物体2 2与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速，求系统的加速度度a 及绳中的张力及绳中的张力 T1 与与 T2（设绳子与滑轮间无相（设绳子与滑轮间无相对滑动）；对滑动）；如物体如物体2 2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力及绳中的张力 T1与与 T2。第33页/共70页fm=Ngm2m=1T=m a1gm12T=m a2fa=rNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm1解：解：0N=gm2Ir=1T2T r第34页/共70页+=r2+m2mgm1m2I()r2+m1m2I1T+=r2+m1mgm2m1I()r2+m1m2I2Tmr2+a=gm2mgm1m1m2I解得：解得：gm1r2+m1m2Ia=+=r2gm1m2I()r2+m1m2I1T=gm2m1r2+m1m2I2Tm=0第35页/共70页三、刚体定轴转动的功和能三、刚体定轴转动的功和能 1.1.1.1.力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功 力力 对对P 点作功：点作功：00 第36页/共70页因因力矩作功：力矩作功：对于刚体定轴转动对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作位移，任何一对内力作功为零。功为零。00 第37页/共70页2.2.2.2.力矩的功率力矩的功率力矩的功率力矩的功率第38页/共70页刚体的转动动能与重力势能刚体的转动动能与重力势能 1 1 1 1刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能刚体的转动动能 O O图图2626 Z Z第39页/共70页2 2 2 2刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能 图图164164第40页/共70页 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 第41页/共70页 刚体定轴转动的功能定理和机械能守恒定律刚体定轴转动的功能定理和机械能守恒定律 第42页/共70页推推推推广广广广：对对含含有有刚刚体体和和质质点点复复杂杂系系统统，若若外外力力不不做做功功，且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即且内力都是保守力，则系统机械能守恒，即 第43页/共70页图图163163l lA AC C第44页/共70页解：解：解：解：第45页/共70页1.质点的角动量质点的角动量质点对质点对OzOz轴的角动量：轴的角动量：刚体力学刚体力学1616x xy yz zm md dO O角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律第46页/共70页2.刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量O O图图2626 Z Z第47页/共70页3.3.刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律 角动量定理角动量定理角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律 第48页/共70页4物体系的角动量定理角动量守恒定律物体系的角动量定理角动量守恒定律第49页/共70页例例题题 工工程程上上，两两飞飞轮轮常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使它它们们以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴杆杆在在同同一一中中心心线线上上，A轮轮的的转转动动惯惯量量为为IA=10kg m2，B B的的转转动动惯惯量量为为IB=20kg m2 。开开始始时时A A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过过程程中中，两两轮轮的的机机械械能能有有何何变变化化？A ACBACB定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第50页/共70页解解 以飞轮以飞轮A A、B B和啮合器和啮合器C C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第51页/共70页或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失的机械能为失的机械能为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第52页/共70页 m2 m1图133RM第53页/共70页第54页/共70页例例例例题题题题 如如如如图图图图，长长长长为为为为l l，质质质质量量量量为为为为MM的的的的均均均均匀匀匀匀细细细细棒棒棒棒可可可可饶饶饶饶过过过过OO点点点点的的的的转转转转轴轴轴轴在在在在竖竖竖竖直直直直面面面面内内内内自自自自由由由由转转转转动动动动。一一一一质质质质量量量量为为为为mm的的的的质质质质点点点点以以以以初初初初速速速速v v0 0沿沿沿沿水水水水平平平平方方方方向向向向运运运运动动动动，与与与与静静静静止止止止在在在在竖竖竖竖直直直直位位位位置置置置的的的的细细细细棒棒棒棒的的的的末末末末端端端端发发发发生生生生完完完完全全全全非非非非弹弹弹弹性性性性碰碰碰碰撞撞撞撞，碰碰碰碰撞撞撞撞后后后后两两两两者者者者一一一一起起起起上上上上摆摆摆摆。求求求求（1 1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度 ，（2 2）两者一起上摆的最大角度）两者一起上摆的最大角度）两者一起上摆的最大角度）两者一起上摆的最大角度 。O Ol lm m 图图3535第55页/共70页第56页/共70页例题例题 一长为一长为l、质量为、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水的子弹水平射入与轴相距为平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到转到=300，求子弹的初速，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑解：分两个阶段进行考虑其中其中(1)子子弹弹射射入入细细杆杆,使使细细杆杆获获得得初初速速度度。因因这这一一过过程程进进行行得得很很快快,细细杆杆发发生生偏偏转转极极小小,可可认认为为杆杆仍仍处处于于竖竖直直状状态态。子子弹弹和和细细杆杆组组成成待待分分析析的的系系统统,无无外外力力矩矩,满满足足角角动动量量守守恒恒条条件件。子子弹弹射射入入细细杆杆前前、后后的一瞬间的一瞬间,系统角动量分别为系统角动量分别为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第57页/共70页(2)(2)子弹随杆一起绕轴子弹随杆一起绕轴O O 转转动。以子弹、细杆及地球构动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置处于竖直位置时子弹的位置为为重力势能零点重力势能零点，系统在始，系统在始末状态的机械能为：末状态的机械能为：由角动量守恒，得：由角动量守恒，得：(1)势能零点定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第58页/共70页由机械能守恒，由机械能守恒，E=E0,代入代入=300，得：得：将上式与将上式与 联立，并代入联立，并代入I 值，得值，得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第59页/共70页直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第60页/共70页amm mRMh例题1.已知：M、R、m，绳质量不计，求：物体由静止开始下落h 高度时的速度和滑轮的角速度。T1T2mgT1=T2=T 0+）第61页/共70页m1R m2*例2.物体 m1m2，滑轮（R，m）。阻力 矩Mf，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求重物的加速度及绳中张力解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mf第62页/共70页1.不计轴上摩擦 Mf=0第63页/共70页3.不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0,m=0)2.不计滑轮质量 m=0第64页/共70页例3*：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一 周，求盘相对地转动的角度 解：系统对转轴角动量守恒人 ，盘 第65页/共70页例题4*4*一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：解：这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第66页/共70页零点，用零点，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度,则则（1 1）第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O轴轴的的角角动动量守恒。我们用量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则（2 2）式式中中 棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。取取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第67页/共70页第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5）定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第68页/共70页亦亦即即l6l6 s；当当 取取负负值值，则则棒棒向向右右摆摆，其其条条件件为为亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C C上上升升的的最最大大高高度度，与与第第一一阶阶段段情情况况相似，也可由机械能守恒定律求得：相似，也可由机械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为(6)(6)定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第69页/共70页感谢您的观看！第70页/共70页