无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计.pptx
数字滤波器的设计原理 数字滤波器一般是一个线性移不变系统。完全实现一个理想的频率特性在理论上是可以做到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通常是频率特性指标。在误差范围内，往往有多个H(z)或h(n)满足指标。因此，设计出的H(z)或h(n)不是唯一的。第1页/共125页11-12c0r通带过渡带阻带第2页/共125页通常以频率特性允许的误差来表示。频率响应通常分为通带、过渡带、阻带三部分。在通带内，幅度响应以误差 逼近1，即在阻带内，幅度响应以误差逼近0，即中间为过渡带，在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。第3页/共125页设有用信号为低频信号，干扰信号为高频信号，用低通滤波器可以过滤掉干扰信号，保留有用的的低频信号。设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。左边为时域波形，右边为它的频谱。滤波前：滤波后：第4页/共125页数字滤波器的数学描述：1)差分方程2)系统函数第5页/共125页分类分类:递归系统IIR(无线脉冲响应数字滤波器)非递归系统FIR(有限脉冲响应数字滤波器)高通低通带通带阻第6页/共125页第7页/共125页确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求第四章、五章讨论3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等;选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第六章)。数字滤波器的设计步骤：1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。2）用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求，即求h(n)的表达式。第8页/共125页设计方法：1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。第9页/共125页2）最优化设计方法分两步：a)确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，b)在此最佳准则下，求滤波的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。第10页/共125页以上两种设计方法中，着重讲第一种，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。第11页/共125页4.2 4.2 常用模拟低通滤波器特性 为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。不难看出第12页/共125页定义振幅平方函数式中Ha(s)模拟滤波器系统函数Ha(j)滤波器的频率响应|Ha(j)|滤波器的幅频响应又S=j，2=-S2A(2)=A(-S2)|S=j第13页/共125页问题：由A(-S2)Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。第14页/共125页N为滤波器阶数，如图1其幅度平方函数：特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特 性单调。三种模拟低通滤波器的设计：1）巴特沃兹滤波器(Butterworth滤波器)(巴特沃兹逼近)第15页/共125页图1巴特沃兹滤波器振幅平方函数第16页/共125页通带:使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围c：通带边界频率。过渡带为零，阻带|H(j)|=0通带内幅度|H(j)|=const.，H(j)的相位是线性的。理想滤波器第17页/共125页图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母/c1，(/c)2N 1,增加，A(2)快速减小。=c,，,幅度衰减 ，相当于3dB衰减点。第18页/共125页振幅平方函数的极点：令分母为零，得 可见，Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。例：为N=3阶BF振幅平方函数的极点分布，如图。第19页/共125页图2三阶A(-S2)的极点分布第20页/共125页考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：系统函数为：令 ，得归一化的三阶BF：如果要还原的话，则有第21页/共125页2）切比雪夫（chebyshev）滤波器(切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的 。切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。第22页/共125页振幅平方函数为有效通带截止频率与通带波纹有关的参量，大，波纹大。01VN（x）N阶切比雪夫多项式，定义为第23页/共125页如图1,通带内变化范围1c，随/c，0(迅速趋于零)当 =0时，N为偶数，min，N为奇数，max，第24页/共125页 切比雪夫滤波器的振幅平方特性第25页/共125页给定通带波纹值分贝数后，可求。有关参数的确定:a、通带截止频率c，预先给定b、通带波纹为第26页/共125页c、阶数N由阻带的边界条件确定。（、A事先给定）第27页/共125页3、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数L表示波纹性质的参量第28页/共125页N=5，的特性曲线可见，在归一化通带内（-11），在（0，1）间振荡，而超过L后，在间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。第29页/共125页下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数 椭圆滤波器的振幅平方函数图中和A的定义同切比雪夫滤波器rr第30页/共125页当c、r、和A确定后，阶次N的确定方法为：式中为第一类完全椭圆积分第31页/共125页 上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。以上讨论了由A（2）Ha(s),下面讨论由Ha(s)H(Z)的变换设计法。第32页/共125页4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面ReS0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|HP。第110页/共125页b.高通变换或LP-HP变换把如图2（a），在上述LP-LP变换中，将Z代以Z,得LP-HP变换关系：第111页/共125页原型低通的截止频率对应于高通的边界频率，欲将变换到，由（2）式，有：（2）式的 频率关系，如图2(b)中的曲线（实线）第112页/共125页 LP-Hp变换图2(a)LPHp变换第113页/共125页LP-BPLP-BP变换把带通的中心频率故N=2。由以上分析得变换关系：或如图3(a),全通函数取负号。第114页/共125页LP-BP变换图3(a)LP-BP变换第115页/共125页 把变换关系 代入（2）式得：消去r1，得：令确定r1,r2：第116页/共125页可证明，其中r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b）。第117页/共125页LP-BP频率关系 第118页/共125页LPBS如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2又g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：（1）或（2）第119页/共125页LP-BS变换图4(a)LP-BS变换第120页/共125页确定r1,r2：把变换关系 代入（2）式得：其中，r1,r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。第121页/共125页LP-B S频率变换关系第122页/共125页 LP-BS变换的又一种实现方法:由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带通公式求,最后可求得 ,如书中表格内表达式。低通第123页/共125页第124页/共125页感谢您的观看！第125页/共125页
