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1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散第1页/共93页性质性质2 2:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质性质3 3:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质4 4:在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.性质性质5 5:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的收敛级数的基本性质基本性质性质1:第2页/共93页正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数判判别别法法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;常数项级数判别法常数项级数判别法第3页/共93页定义定义2 2、正项级数及其判别法、正项级数及其判别法判别法判别法(1)(1)比较判别法比较判别法第4页/共93页(2)(2)比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式第5页/共93页第6页/共93页第7页/共93页定义定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.3 3、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法第8页/共93页定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4 4、任意项级数及其判别法、任意项级数及其判别法第9页/共93页5 5、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域第10页/共93页(3)(3)和函数和函数第11页/共93页(1)(1)定义定义6 6、幂级数、幂级数第12页/共93页(2)(2)收敛性收敛性第13页/共93页推论推论第14页/共93页定义定义:正数R称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域，幂级数的收敛区间收敛区间.第15页/共93页a.a.代数运算性质代数运算性质:加减法加减法(其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算第16页/共93页乘法乘法(其中除法除法第17页/共93页b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:第18页/共93页7 7、幂级数展开式、幂级数展开式(1)定义定义第19页/共93页(2)充要条件充要条件(3)唯一性唯一性第20页/共93页(3)展开方法展开方法a.a.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.第21页/共93页(4)常用的函数展开式常用的函数展开式第22页/共93页(5)应用应用a.a.近似计算b.b.欧拉公式第23页/共93页(1)(1)三角函数系三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数第24页/共93页(2)(2)傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数第25页/共93页其中称为傅里叶级数.第26页/共93页(3)(3)狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)第27页/共93页(4)(4)正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数第28页/共93页第29页/共93页奇延拓奇延拓:(5)(5)奇偶延拓奇偶延拓偶延拓偶延拓:第30页/共93页第31页/共93页第32页/共93页第33页/共93页第34页/共93页第35页/共93页第36页/共93页二、典型例题例例1 1解解第37页/共93页根据级数收敛的必要条件，原级数发散第38页/共93页解解根据比较判别法，原级数收敛第39页/共93页解解从而有第40页/共93页原级数收敛；原级数发散；原级数也发散第41页/共93页练习：第42页/共93页第43页/共93页例例解解即原级数非绝对收敛第44页/共93页由莱布尼茨定理：第45页/共93页所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛第46页/共93页第47页/共93页O2-2xO351-2-1246x收敛点:2,4;发散点:-2,-1,6;不定点:1,5.第48页/共93页思考题解答思考题解答能收敛收敛思考题思考题第49页/共93页例例5 5解解两边逐项积分第50页/共93页第51页/共93页例例6 6解解第52页/共93页第53页/共93页例例7 7解解第54页/共93页第55页/共93页例例8 8解解第56页/共93页第57页/共93页第58页/共93页和函数的图形为第59页/共93页例例8 8解解第60页/共93页第61页/共93页由上式得第62页/共93页例例9 9解解第63页/共93页第64页/共93页第65页/共93页第66页/共93页又 f(0)=,所以因为级数 收敛，函数f(x)在 处连续，所以解：第67页/共93页第68页/共93页第69页/共93页六、(2003三)求幂级数 的和函数f(x)及其极值.上式两边从0到x积分，得由f(0)=1,得令 ，求得唯一驻点x=0.由于可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.第70页/共93页第71页/共93页第72页/共93页第73页/共93页第74页/共93页第75页/共93页第76页/共93页第77页/共93页第78页/共93页第79页/共93页又 f(0)=,所以解：第80页/共93页第81页/共93页第82页/共93页第83页/共93页测 验 题第84页/共93页第85页/共93页第86页/共93页第87页/共93页第88页/共93页第89页/共93页第90页/共93页测验题答案测验题答案第91页/共93页第92页/共93页感谢您的观看！第93页/共93页
