电磁场与电磁波基础.pptx
5.1 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 静态场中的麦克斯韦方程组静态场中的麦克斯韦方程组 对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时对于静态场，各场量只是空间坐标的函数，并不随时间而变化，即与时间间而变化，即与时间t t无关。因此无关。因此 ，静态场的麦克斯韦方，静态场的麦克斯韦方程组为：程组为：电流连续性方程为：电流连续性方程为：第1页/共72页由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静由上述方程组可知，静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产态场的电场和磁场是彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的生，磁场只由电流产生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场电场。既然如此，我们就可以分别写出静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程。和恒定磁场的基本方程。1 1、静电场的基本方程、静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为程为 上式表明：静电场中的旋度为上式表明：静电场中的旋度为0 0，即静电场中的电场不可，即静电场中的电场不可能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。第2页/共72页另外：电介质的物态方程为另外：电介质的物态方程为 静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，静电场是一个有源无旋场，所以静电场可用电位函数来描述，即即 2 2、恒定电场的基本方程、恒定电场的基本方程 载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，即为恒定电场。当导体中有电流时，由于导体电阻的存在，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，要在导体中维持恒定电流，必须依靠外部电源提供能量，其电源内部的电场也是恒定的。其电源内部的电场也是恒定的。第3页/共72页 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B B极极板的正电荷抵抗电场力搬到板的正电荷抵抗电场力搬到A A极板。这种提供非静电力将其极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。它形式的能量转为电能装置称为电源。恒定电流的形成恒定电流的形成+ABC-恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别：（1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。第4页/共72页若一闭合路径经过电源，则：若一闭合路径经过电源，则：即电场强度即电场强度 的线积分等于电源的电动势的线积分等于电源的电动势 若闭合路径不经过电源，则：若闭合路径不经过电源，则：这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式，其微分形式为 从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也从以上分析可知，恒定电场的无源区域也是一个位场，也可用一个标量函数来描述。可用一个标量函数来描述。另外：另外：导体中的物态方程为导体中的物态方程为 第5页/共72页 3 3、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 这是恒定磁场的基本方程。这是恒定磁场的基本方程。从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋涡场的源，磁力线是闭合的。涡场的源，磁力线是闭合的。另外：另外：磁介质中的物态方程为磁介质中的物态方程为 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体中的传导电流为中的传导电流为I I，电流密度为，电流密度为 ,则有则有 第6页/共72页 静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数静电场既然是一个位场，就可以用一个标量函数 的梯度来表示它的梯度来表示它:泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 1 1、静电场的位函数、静电场的位函数 即即式中的标量函数式中的标量函数 称为称为电位函数。电位函数。所以有所以有对于均匀、线性、各向同性的介质，为常数,即即静电场的位函数的位函数 满足的满足的泊松方程。泊松方程。第7页/共72页上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源源”的区的区域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式的方程称为的方程称为 泊松方程。泊松方程。如果场中某处有如果场中某处有=0=0，即在无源区域，则上式变为，即在无源区域，则上式变为我们将这种形式的方程称为我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它拉普拉斯方程。它是在不存在电荷的区域内，电位函数是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。应满足的方程。第8页/共72页在直角坐标系中在直角坐标系中 在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中 在球坐标系中在球坐标系中 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在不同的坐标系中有不同的表达形式：在不同的坐标系中有不同的表达形式：第9页/共72页 2 2、恒定电场的位函数、恒定电场的位函数 根据电流连续性方程根据电流连续性方程 及物态方程及物态方程 并设电导率并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有为一常数（对应于均匀导电媒质），则有 则有则有在无源区域，在无源区域，恒定电场是一个位场，即有 这时同样可以引入一个标量位函数 使得 这说明，在无源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程。第10页/共72页 3 3、恒定磁场的位函数分布、恒定磁场的位函数分布 人为规定人为规定 (1)磁场的矢量位函磁场的矢量位函数数这个规定被称为库仑规范这个规定被称为库仑规范 于是有于是有此式即为矢量磁位的泊松方程。此式即为矢量磁位的泊松方程。恒定磁场是有旋场，即恒定磁场是有旋场，即 ,但它却是无散场，但它却是无散场，即即 引入一个矢量磁位 后，由于 ，可得 第11页/共72页在没有电流的区域在没有电流的区域 ,所以有所以有 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 (2)磁场的标量位函磁场的标量位函数数这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数，即标量磁位函数即标量磁位函数 注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。注意：标量磁位的定义只是在无源区才能应用。即令即令 此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程第12页/共72页以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解方程的理论依据。方程的理论依据。当媒质是均匀、线性和各项同性时，由 和 可得 由于由于 第13页/共72页5.2 5.2 对偶原理对偶原理 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数并且有相似的边界条件或对应的边界条件，那么它们的数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学解的形式也将是相同的，这就是对偶原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处学形式的两个方程称为对偶性方程，在对偶性方程中，处于同等地位的量称为对偶量。于同等地位的量称为对偶量。有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，有了对偶原理后，我们就能把某种场的分析计算结果，直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。直接推广到其对偶的场中，这也是求解电磁场的一种方法。第14页/共72页1 1、=0=0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶 对偶量对偶量恒定电场恒定电场静电场静电场第15页/共72页 对偶量对偶量恒定磁场恒定磁场静电场静电场2 2、=0=0区域的静电场与区域的静电场与 区域的恒定磁场的对偶区域的恒定磁场的对偶 第16页/共72页5.3 5.3 叠加原理和唯一性定理叠加原理和唯一性定理 在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒在研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边定电场、还是恒定磁场，都需要根据实际工程中给定的边界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电界条件，通过求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到标量电位函数或矢量磁位函数。位函数或矢量磁位函数。边界条件的分类边界条件的分类 给定位函数的边界条件通常有三类：给定位函数的边界条件通常有三类：第一类边界条件第一类边界条件 直接给定整个场域边界上的位直接给定整个场域边界上的位函数值函数值 为边界点为边界点S S的位函数，这类问题称为第一类边界条件。的位函数，这类问题称为第一类边界条件。第17页/共72页因为因为 故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的法向分量，这类问题称为第二类边界条件。法向分量，这类问题称为第二类边界条件。第二类边界条件第二类边界条件 只给定待求位函数在边界上的只给定待求位函数在边界上的法向导数值法向导数值 第三类边界条件第三类边界条件 给定边界上的位函数及其法向给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合导数的线性组合 这是混合边界条件，称为第三类边界条件。这是混合边界条件，称为第三类边界条件。第18页/共72页叠加原理叠加原理 若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，即分别满足拉普拉斯方程，即 和和 ,则则 和和 的线性组合：的线性组合：必然也满足拉普拉斯方程：必然也满足拉普拉斯方程：式中式中a a、b b均为常系数。均为常系数。唯一性定理唯一性定理 唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。斯方程的解是唯一的。第19页/共72页 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷，而而感感应应电电荷荷或或极极化化电电荷荷将将影影响响场场的的分分布。布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1.问题的提出几个实例几个实例接接地地导导体体板板附附近近有有一一个个点点电电荷荷，如如图图所所示。示。q qqq非均匀感应电荷等效电荷5.4 5.4 镜象法镜象法 第20页/共72页 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷qq等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？第21页/共72页2.镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3.镜像法的理论基础解的惟一性定理第22页/共72页 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素”；4.镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第23页/共72页1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z=0时，时，q q有效区域q q第24页/共72页上半空间上半空间(z0）的电位函数）的电位函数q q 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第25页/共72页2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数有效区域当当z=0时，时，第26页/共72页3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如如图图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点点电荷电荷q 位于位于(d1,d2)处。处。显显然然，q1 对对平平面面 2 以以及及q2 对对平平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1,d2)对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于(d1,d2)只有在只有在(d1,d2)处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3=q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第27页/共72页电介质分界面的镜象电荷电介质分界面的镜象电荷 如图，如果分界面是介电常数为如图，如果分界面是介电常数为1 1和和2 2的两种无限大介质的边界平面，在介质的两种无限大介质的边界平面，在介质1 1中中距分界面为距分界面为h h处置有一点电荷处置有一点电荷 q q，则求解则求解介质空间中任一点的电场电位分布可以用镜介质空间中任一点的电场电位分布可以用镜像法求解。像法求解。设在介质设在介质1 1和和2 2内的电位函数分别为内的电位函数分别为1 1和和2 2。在介质在介质1 1中，除中，除 q q 点处以外点处以外,均有均有 第28页/共72页 是点电荷是点电荷q q与介质分界面上感应束缚电荷共与介质分界面上感应束缚电荷共同产生的电位函数。介质分界面上的感应束缚电荷同产生的电位函数。介质分界面上的感应束缚电荷在介质在介质1 1中产生的电场可以用处于中产生的电场可以用处于z0z0z0）的格林函数，就是求位于上半空）的格林函数，就是求位于上半空间间 r r处的单位点电荷以处的单位点电荷以z=0z=0平面为电位零点时，在上半空平面为电位零点时，在上半空间任意一点间任意一点r r处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，处的电位。这个电位可以用平面镜像法求得，因而上半空间的格林函数为因而上半空间的格林函数为 式中式中第66页/共72页3 3、球内、外空间的格林函数、球内、外空间的格林函数 我们可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径我们可以由球面镜像法，求出球心在坐标原点、半径为为a a的球外空间的格林函数的球外空间的格林函数 式中式中第67页/共72页5.7 5.7 有限差分法有限差分法 有限差分法是一种近似数值计算法，在一些工程技术有限差分法是一种近似数值计算法，在一些工程技术计算中被广泛使用。这种方法是在待求场域内选取有限个计算中被广泛使用。这种方法是在待求场域内选取有限个离散点，在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微离散点，在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程，从而把以连续变量形式表示的位函数方程，转化分方程，从而把以连续变量形式表示的位函数方程，转化为以离散点位函数值表示的方程组。结合具体边界条件，为以离散点位函数值表示的方程组。结合具体边界条件，求解差分方程组，即得到所选的各个离散点上的位函数值。求解差分方程组，即得到所选的各个离散点上的位函数值。有限差分法不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题；有限差分法不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题；不仅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不仅能求不仅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不仅能求解任意静态场的问题，也能求解时变场的问题；而且这种解任意静态场的问题，也能求解时变场的问题；而且这种方法不受边界形状的限制。方法不受边界形状的限制。第68页/共72页函数函数f(x)f(x)的一阶差分定义为的一阶差分定义为f(x)=f(x+h)-f(x)f(x)=f(x+h)-f(x)式中式中h h是自变量是自变量x x的增量，即的增量，即x=h,x=h,将下面的式子称为将下面的式子称为f(x)f(x)的一阶差商：的一阶差商：当当h h很小时，差分很小时，差分ff也很小，因此在近似计算中可用一阶也很小，因此在近似计算中可用一阶差商近似等于一阶微分，即差商近似等于一阶微分，即 二阶二阶差商为差商为同样可以定义二阶差分为同样可以定义二阶差分为 2 2f(x)=f(x+h)-f(x)f(x)=f(x+h)-f(x)第69页/共72页令二阶差商近似等于二阶微商令二阶差商近似等于二阶微商 差分方程就是在各离散点上，用差分方程就是在各离散点上，用 和和 近近似替代偏微分方程中的似替代偏微分方程中的 和和 ，从而将，从而将拉普拉斯方程或泊松方程这样的偏微分方程化为一组代数方拉普拉斯方程或泊松方程这样的偏微分方程化为一组代数方程，即差分方程。程，即差分方程。第70页/共72页 本章要点本章要点1.1.静电场的基本方程 2.2.恒定电场的基本方程 3.3.恒定磁场的基本方程 4.4.泊松方程与拉普拉斯方程 6.6.镜像法 的概念与应用5.5.对偶原理、叠加原理和唯一性定理 7.7.分离变量法的概念与应用8.8.格林函数法 9.9.有限差分法 第71页/共72页感谢您的观看！第72页/共72页
