n隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.pptx
11.隐函数的定义隐函数的定义一、隐函数的导数称为称为隐函数(implicit function).y=f(x)的形式称为的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数可确定显函数例例开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家德国数学家,天文学家天文学家.的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将y表达成表达成x的的显式显式表表达式.显化.由二元方程由二元方程 F(x,y)=0 所确定的函数所确定的函数y=f(x)y关于关于x第1页/共31页2.隐函数求导法隐函数求导法隐函数不易显化或不能显化 如何求导3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率用复合函数求导法则直接对方程两边求导或微分.第2页/共31页例1解解得第3页/共31页 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,第4页/共31页5设函数设函数y=f(x)由方程由方程所确定所确定,则曲线则曲线y=f(x)在点在点(1,1)处的切线方程是处的切线方程是().考研考研(数学二数学二)填空填空,4分分解解 将方程两边求微分将方程两边求微分,得得再将点再将点(1,1)代入上方程代入上方程,得得切线方程为切线方程为即即隐函数第5页/共31页例3解第6页/共31页7例例解解 将方程两边求微分将方程两边求微分,得得用用复合函数求导法则复合函数求导法则,注意变量y是x的函数.解得解得第7页/共31页83.对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,适适用用于于方法方法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法 然后利用隐函然后利用隐函数的求导法求出导数数的求导法求出导数.介绍介绍第8页/共31页例4解等式两边取对数得第9页/共31页例5解1 等式两边取对数得第10页/共31页11解解2等式两边取对数等式两边取对数,得得再将上式两边求微分再将上式两边求微分,得得于是于是第11页/共31页12则则解解3第12页/共31页13解解 等式两边取对数,得上式两边对x求导,得3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率第13页/共31页一般地第14页/共31页15解解 等式两边取对数,得上式两边对x求导,得第15页/共31页16二、由参数方程所确定的函数的导数如如(parametric equation)参数方程 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数如何求导消去参数消去参数 t.确定确定y与与x间的函数关系间的函数关系,所以所以所以所以第16页/共31页17都可导,所以所以即或者参数方程的求导公式.第17页/共31页18例例解解 所求切线方程为所求切线方程为 所所以以第18页/共31页19解解 考研数学二考研数学二,填空填空4分分的点处的的点处的法法线斜率线斜率为为故曲线在切故曲线在切线斜率为线斜率为 所所以以第19页/共31页20第20页/共31页21如如:注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理这样对求更高阶的导数也容易处理.第21页/共31页22解解3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率星形线星形线第22页/共31页23例例解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为故法线方程为故法线方程为即即参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.第23页/共31页24x=x(t),y=y(t)为两可导函数为两可导函数x,y之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率.之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)第24页/共31页25例例解解(1)(2)仰角增加率(3)一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为140米/分.当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少?设气球上升t秒后,其高度为h(t),两边对t求导得高度与仰角的关系第25页/共31页26水面水面例例解解桥面桥面20mxy(1)在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5s后后,人与小船相分离的人与小船相分离的速度速度.对对t求导求导(2)(3)设经t秒钟后人行走距离为xm,船航行距离为ym,船与人的距离为zm,3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率第26页/共31页27设自开始充气以来的时间设自开始充气以来的时间t,解解体积为在t时刻气体的半径为设气体以设气体以100立方厘米立方厘米/秒的速度注入球状秒的速度注入球状的气球的气球,求在半径为求在半径为10厘米时厘米时,气球半径增加的速率气球半径增加的速率(假定气体压力不变假定气体压力不变).气球半径与体积的关系第27页/共31页28四、小结隐函数求导法则:对数求导法:对方程两边取对数后,再将方程两边微分.参数方程求导:将方程两边求微分.用公式.相关变化率:通过函数关系确定两个变化率之间的关系,解法:三个步骤.从其中一个变化率(已知)求出一个变化率;第28页/共31页29思考题思考题(是非题是非题)正确解答正确解答:试问试问:对吗对吗?非第29页/共31页30作业习题习题3.4(753.4(75页页)第30页/共31页31感谢您的观看！第31页/共31页
