空间几何体的表面积和体积 .pptx

1 1、表面积：几何体、表面积：几何体表面表面的面积的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小。、体积：几何体所占空间的大小。第1页/共64页知识回顾：知识回顾：1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是底面是正多边形正多边形的的直直棱柱棱柱叫正棱柱叫正棱柱 底面是底面是正多边形正多边形，顶点在底面的顶点在底面的射影射影是是底面中心底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台间的部分叫正棱台第2页/共64页作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高斜高：COBAPD斜高：斜高：第3页/共64页 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面展开图还是平面图形，它们的侧面展开图还是平面图形，计算表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。第4页/共64页棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图第5页/共64页把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？侧面积怎么求？第6页/共64页棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积表面积？正三棱锥的侧面展开图正三棱锥的侧面展开图第7页/共64页把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？第8页/共64页侧面展开正五棱锥的侧面展开图正五棱锥的侧面展开图第9页/共64页把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积类比梯形的面积）第10页/共64页侧面展开侧面展开hh正四棱台的侧面展开图正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？第11页/共64页例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;60例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积。第12页/共64页例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E第13页/共64页思考：思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？宽宽长方形长方形第14页/共64页圆柱的表面积呢？圆柱的表面积呢？O第15页/共64页思考：思考：把圆柱、把圆柱、圆锥圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？展开的图形与原图有什么关系？扇形扇形第16页/共64页圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O圆锥的圆锥的表面积表面积为为第17页/共64页扇环扇环扇环扇环圆台的侧面展开图是圆台的侧面展开图是扇环扇环圆台的圆台的表面积表面积呢？呢？第18页/共64页OO圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台三者的三者的表面积公式表面积公式之间有什么之间有什么关系关系？Orr上底扩大上底扩大Or0上底缩小上底缩小第19页/共64页例 4 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与底面积的比是_第20页/共64页第21页/共64页变式、圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角例6、圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？第22页/共64页小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式。C=0C=CS圆柱侧=2rlS圆锥侧=rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2第23页/共64页OO侧侧第24页/共64页体积：体积：几何体占有空间部分的大小几何体占有空间部分的大小。第25页/共64页公理公理1、长方体长方体的体积等于它的长、宽、高的积的体积等于它的长、宽、高的积.V长方体长方体=abc推论推论1、长方体长方体的体积等于它的底面积的体积等于它的底面积s和高和高h的积的积.V长方体长方体=sh推论推论2、正方体正方体的体积等于它的棱长的体积等于它的棱长a 的立方的立方.V正方体正方体=a3第26页/共64页定理定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 s 和和 高高 h 的积。的积。V柱体柱体=sh一、一、柱体柱体的体积的体积推论推论：底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱=r2h第27页/共64页二、二、锥体锥体体积体积例例1 1：如图：三棱柱如图：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面积为底面积为S,S,高为高为h.h.ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱锥棱锥A-D1DC,棱锥棱锥A-D1C1C,棱锥棱锥A-BCD.问：（问：（1 1）从）从A A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？点出发棱柱能分割成几个三棱锥？第28页/共64页锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积底面积S，高高h）注意：注意：三棱锥的三棱锥的顶点顶点和和底面底面可以根据需要可以根据需要变换变换，四面体的，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。第29页/共64页定理定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论：推论：如果圆锥的底面半径是如果圆锥的底面半径是，高是，高是，那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 圆锥 Sh第30页/共64页ss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台体=上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则第31页/共64页推论：推论：如果圆台的上如果圆台的上,下底面半径是下底面半径是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的体积是：，那么它的体积是：圆台 h第32页/共64页五五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小第33页/共64页例例2 2 从一个正方体中，如图那样截去从一个正方体中，如图那样截去4 4个三棱锥后，得个三棱锥后，得到一个正三棱锥到一个正三棱锥A ABCDBCD，求它的体积是正方体体积的，求它的体积是正方体体积的几分之几？几分之几？第34页/共64页例3 如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？第35页/共64页表面积与体积的综合应用把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图例4 (2010年高考福建卷)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于_第36页/共64页练习1：(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_3第37页/共64页练习2(2011年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A第38页/共64页球的表面积和体积球的表面积和体积球的表面积球的表面积球的体积球的体积:第39页/共64页2.半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几何体叫做球体。(球是旋转体)3.注意：球面和球体的区别：球面仅仅是指球的表面，而球体不仅包括球的表面，而且还包括球面所围成的几何空间。球心球的半径球的直径球的旋转定义球的旋转定义：1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。第40页/共64页O球的截面的性质：球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为球心到截面的距离为d d，球的半径为，球的半径为R R，则，则截面问题用一个平面去截一个球O，截面是圆面第41页/共64页基本计算问题O O1.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直圆柱的底面直径与高都等于球的直径径,求证求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.2.(2.(1)1)把球的半径扩大为原来的把球的半径扩大为原来的3 3倍，则体积扩大为原来的倍，则体积扩大为原来的_倍倍.(2)(2)把球队表面积扩大到原来的把球队表面积扩大到原来的2 2倍，那么体积扩大为原来的倍，那么体积扩大为原来的_倍倍.(3)(3)三个球的表面积之比为三个球的表面积之比为1:2:31:2:3，则它们的体积之比为，则它们的体积之比为_._.(4)(4)三个球的体积之比为三个球的体积之比为1:8:271:8:27，则它们的表面积之比为，则它们的表面积之比为_._.第42页/共64页“接”与“切”：两个几何体相（内）切相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决“接切”问题的关键是画出正确的截面截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题第43页/共64页中截面中截面ABCDD1C1B1A1O第44页/共64页ABCDD1C1B1A1O中截面中截面.球内切于正方体的棱第45页/共64页ABCDD1C1A1OB1对角面对角面球外接于正方体第46页/共64页例例1.1.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O 分析：分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：略解：变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的找正方体的棱长棱长a a与与球半径球半径R R之间的关系之间的关系第47页/共64页OABC例例2、已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积解：如图，设球O半径为R，截面 O的半径为r，第48页/共64页例例3、有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个求这三个球的体积之比球的体积之比.作轴截面作轴截面第49页/共64页变式变式 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解解 如图为轴截面如图为轴截面.设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r，侧面积为侧面积为S S，则，则第50页/共64页补形：补形：例例4.4.球面上有四个点球面上有四个点P P A A B B C,C,如果如果PAPA PBPB PCPC两两互相垂两两互相垂直直,且且PA=PB=PC=a,PA=PB=PC=a,求这个球的表面积求这个球的表面积.解解:要求球的表面积要求球的表面积,只要求出球的半径只要求出球的半径R.R.分析题设条件可知分析题设条件可知把把P P看作是球内接正方体的一个顶点看作是球内接正方体的一个顶点,把三棱锥把三棱锥P-ABCP-ABC补成一补成一个球内接正方体个球内接正方体,其棱长为其棱长为a.a.第51页/共64页例5、注意：两个平行截面在同侧还是异侧，易漏一侧。练习题：练习册P17：变式训练第52页/共64页例6：练习册P18：变式训练 有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是个正三角形，在这个容器内注入水，并且放入一个半径为r的钢球，这时球面恰好与水面相切，那么将球从圆锥器中取出后，水面高是多少？等体积法第53页/共64页例7、（1）求棱长为a的正四面体的外接球的表面积和体积；（2）求棱长为a的正四面体的内切球的表面积和体积。（1）求底面边长a，棱长为2a为的正三棱锥的外接球的表面积和体积；（2）求底面边长a，棱长为2a为的正三棱锥的外接球的表面积和体积。变式：正四面体的外接球与内切球的球心重合都在高上且其半径之比为3:1结论1：正三棱锥的外接球与内切球的球心不一定重合但都在高上且其半径之比不定。结论2：求棱长为 的正四面体的外接球和内切球的半径。练习：第54页/共64页例8、“5+3”P20第11题 四面体ABCD中，AB=CD=4，BC=AC=AD=DB=5，求四面体外接球的表面积。对称性BCDA445555EFG第55页/共64页第56页/共64页题型一题型一 几何体的展开与折叠几何体的展开与折叠 例例1 1、有一根长为有一根长为3 cm3 cm，底面半径为，底面半径为1 cm1 cm的圆柱形铁的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 2圈，并使铁丝的两个端点圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？则铁丝的最短长度为多少？把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离的最短距离.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析第57页/共64页解解 把圆柱侧面及缠绕其上把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到的铁丝展开，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如图所示），（如图所示），由题意知由题意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，点，点A A与点与点C C分别是铁丝的起、止位分别是铁丝的起、止位置，故线段置，故线段ACAC的长度即为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为5 cm.5 cm.第58页/共64页题型二题型二 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 例例2 2、如图所示如图所示,半径为半径为R R的半圆内的阴影部分以直径的半圆内的阴影部分以直径ABAB所在直所在直线为轴线为轴,旋转一周得到一几何体旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积求该几何体的表面积(其中其中BACBAC=30)=30)及其体积及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再再求表面积求表面积.第59页/共64页解解 如图所示如图所示,过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1,在半圆中可得在半圆中可得BCABCA=90,=90,BACBAC=30,=30,ABAB=2=2R R,ACAC=,BCBC=R R,S S球球=4=4R R2 2,第60页/共64页 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.第61页/共64页多面体的表面积及其体积多面体的表面积及其体积 例例3 3、一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长为，侧棱长为 ，求这，求这个三棱锥的体积个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题.已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积和高，再根据体积公式求出其体积.解解 如图所示，如图所示，正三棱锥正三棱锥S SABCABC.设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心，连接连接SHSH，则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高.第62页/共64页连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC.ABCABC是边长为是边长为6 6的正三角形，的正三角形，第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页