线性代数行列式完整.pptx

第1 1章 行列式1n n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则行列式的一个简单应用数学实验第1页/共112页第1.1节 n阶行列式的定义2 本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式返回第2页/共112页3即即 称其为称其为二阶行列式二阶行列式.记号：它表示数：它表示数：左上角到右下角表示左上角到右下角表示主对角线主对角线，第3页/共112页例例设(1)当 为何值时，(2)当 为何值时解或右上角到左下角表示右上角到左下角表示次对角线次对角线，第4页/共112页例3 求二阶行列式第5页/共112页(2)三阶行列式6记号记号 即即 称为称为三阶行列式三阶行列式.它表示数它表示数第6页/共112页7 可以用可以用对角线法则对角线法则来记忆如下来记忆如下.第7页/共112页8主对角线法第8页/共112页例4 计算三阶行列式9解:由主对角线法，有第9页/共112页例5第10页/共112页例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零第11页/共112页例7的充分必要条件是什么？解或或第12页/共112页练习练习：计算下列行列式解第13页/共112页1.排列及其逆序数14(1)排列排列 由自然数由自然数1,2,n,组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为一个称为一个n级排列级排列.如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个：123 132 213 231 312 321（总数为（总数为 n!个）个）注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其他则或多或少地破坏了自然顺序他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相反反)构成构成逆序逆序.1.2 n1.2 n阶行列式第14页/共112页(2)排列的逆序数15定义：在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2in).=3 =2例例1 N(2413)N(312)第15页/共112页(2)排列的逆序数16定义：在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2in).n奇偶排列:若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.=3 =2例例1 N(2413)N(312)第16页/共112页逆序数的计算方法逆序数的计算方法即例例2 N(n(n-1)321)N(135(2n-1)(2n)(2n-2)42)=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)第17页/共112页证明：18对换：对换在一个排列i1isit in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1itis in,这种变换称为一个对换,记为(is it).例例3定理定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。任一排列经过一个对换后奇偶性改变。第18页/共112页19对换在相邻两数间发生，即设排列 jk (1)经j,k对换变成 kj (2)此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列 ji1isk(3)经j,k对换变成 k i1is j(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为 kj i1is j经s次相邻对换成为 ki1is j 即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.|第19页/共112页定理定理1.21.2第20页/共112页21思考练习（排列的逆序数详解）方法方法1 在排列在排列x1x2xn中，任取两数中，任取两数xs和和xt(st),则它们必在排列则它们必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中构成逆序，中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列又在排列x1x2xn中取两数的方法共有中取两数的方法共有 依题意，有依题意，有故排列故排列 x1x2xn 与与 xnxn-1x1 中逆序之和为中逆序之和为此即此即 第21页/共112页方法222 n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,n),若在排列x1x2xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+(n-in-i)-li=n-i (i=1,2,n)此即此即 第22页/共112页（二）n阶行列式定义23分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为符号为“+”123 231 312 （偶排列）（偶排列）“-”321 213 132（奇排列）（奇排列）(iii)项数为项数为 3！=6第23页/共112页n推广之，有如下n 阶行列式定义第24页/共112页25定义：是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积并冠以符号并冠以符号 的项的和的项的和.(i)是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n个元素的乘积；个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号；(iii)表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和.第25页/共112页例1 证明下三角行列式26证：由定义和式中和式中,只有当只有当所以所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.第26页/共112页第27页/共112页例2 计算28解解由行列式定义由行列式定义,和式中仅当和式中仅当第28页/共112页注：第29页/共112页例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：第30页/共112页例例4应为何值，符号是什么？此时该项的解此时或(1)若则取负号(2)若则取正号若若是五阶行列式的一项，则第31页/共112页例例5用行列式定义计算解：第32页/共112页 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明33定理1.3:n阶行列式D=Det(aij)的项可以写为其中i1i2in和j1 j2 jn都是n级排列.或或另一定义形式另一定义形式n推论:n阶行列式D=Det(aij)的值为第33页/共112页4.转置行列式34n定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若第34页/共112页35 用定义计算用定义计算思考练习（n阶行列式定义）答案第35页/共112页1.3 行列式的性质36 对多“0 0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易,但对一般的、高阶的（n n 4 4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的 .因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.返回第36页/共112页性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）37证：事实上,若记 DT=Det(bij),则解解例例1 计算行列式计算行列式第37页/共112页性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.38推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3推论 (1)D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符号的外面，(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.第38页/共112页性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即39证第39页/共112页性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即40第40页/共112页2023/3/17第41页/共112页例2 计算行列式42解解 第42页/共112页解43第43页/共112页解44第44页/共112页2023/3/17第45页/共112页2023/3/17第46页/共112页2023/3/17即第47页/共112页2023/3/17第48页/共112页2023/3/17第49页/共112页2023/3/17第50页/共112页例6 6 计算n n阶行列式51解(2)解(3)解(1)第51页/共112页解(1)52注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回第52页/共112页解(2)(2)53注意到行列式各行元素之和等于有有返回第53页/共112页54解 (3)(3)返回箭形行列式第54页/共112页2023/3/17第55页/共112页2023/3/17第56页/共112页2023/3/17第57页/共112页2023/3/17第58页/共112页2023/3/17第59页/共112页例9 证明60证证 第60页/共112页证61第61页/共112页622.证明证明1.计算行列式计算行列式思考练习（行列式的性质）第62页/共112页63思考练习（行列式性质答案）第63页/共112页64=右边右边思考练习（行列式性质答案）第64页/共112页第1.3 节 行列式按行（列）展开651.行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列，余下的元素按列，余下的元素按原来的顺序构成的原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素aij的的余子式，余子式，记作记作Mij；而而Aij=(-1)i+jMij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.返回返回第65页/共112页例1 求出行列式66解第66页/共112页2023/3/17引例：引例：第67页/共112页2023/3/17第68页/共112页定理1.4 行列式按一行（列）展开定理69n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即子式的乘积之和，即第69页/共112页证70(i)D的第一行只有元素a11 0，其余元素均为零,即而而 A11=(-1)1+1M11=M11,故故D=a11A11 ;第70页/共112页71(ii)当当D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0时，即时，即 将将D中第中第i行依次与前行依次与前i-1行对调行对调,调换调换i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次与前列依次与前j-1列对调列对调,调换调换j-1次后位于第次后位于第1列列经经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后次对调后,aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即(iii)一般地一般地由由(i)第71页/共112页72由由(ii)第72页/共112页定理1.5 n阶行列式73的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即代数余子式的乘积之和为零，即第73页/共112页证74考虑辅助行列式考虑辅助行列式0=t列j列第74页/共112页例2 2 计算行列式75解解法法1法法2选取“0”多的行或列第75页/共112页2023/3/17第76页/共112页2023/3/17注注：第77页/共112页例4 讨论当 为何值时，78解解所以当论 ，第78页/共112页例5 求证79证明：证明：首先从第首先从第1行起，每行减去下一行，然行起，每行减去下一行，然后按第后按第1列展开，之后又从第列展开，之后又从第1行起每行减去行起每行减去下一行，化为下三角行列式即得结果，即下一行，化为下三角行列式即得结果，即第79页/共112页80第80页/共112页81第81页/共112页例6 已知4阶行列式82解解法法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算利用行列式的按列展开定理，简化计算.第82页/共112页83第83页/共112页例7 证明范得蒙行列式（Vandermonde)84证证 用数学归纳法用数学归纳法第84页/共112页 假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形.85第85页/共112页86第86页/共112页例8 计算行列式87解解1计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.第87页/共112页88解解2 利用范德蒙行列式的结论利用范德蒙行列式的结论第88页/共112页例9 计算n阶行列式89解解第89页/共112页90解解第90页/共112页思考练习（按行展开定理）91计算行列式计算行列式第91页/共112页思考练习（按行展开定理详解1）92第92页/共112页思考练习（按行展开定理详解2）93第93页/共112页2 2*.拉普拉斯（Laplace）定理94k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而 为其代数余子式为其代数余子式.这里这里i1,i2,ik,j1,j2,jk分别为分别为 k阶子阶子式式N的行标和列标的行标和列标.第94页/共112页95在在n阶行列式阶行列式 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理任意取定任意取定k行行(1 k n),由这由这k行元素组成的行元素组成的k阶子式阶子式N1,N2,V t 与它们的代数余子式与它们的代数余子式 的乘积之的乘积之和等于和等于D，即，即第95页/共112页96例7 7 计算行列式解解第96页/共112页97一般地一般地第97页/共112页2023/3/17第第1.5节节 克莱姆法则克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个方程,n个未知量的n元线性方程组的问题.先以二元线性方程组为例第98页/共112页2023/3/17当系数行列式当系数行列式D0D0时，方程组有唯一解：时，方程组有唯一解：二元线性方程组二元线性方程组称为方程组的称为方程组的系数行列式系数行列式。第99页/共112页100定理1.7（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有唯一解的系数行列式返回返回第100页/共112页101其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式,即定理的结论有两层含义：方程组（1）有解；解惟一且可由式(2)给出.第101页/共112页证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将 102代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开得 即式(2)给出的是方程组(1)的解.第102页/共112页103 下面证明解惟一.设xj=cj(j=1,2,n)为方程组(1)的任意一个解，则以D的第j列元素的代数余子式 A1j,A2j,Anj依次乘以上式各等式，相加得从而 Dcj=Dj 由于D 0,因此即方程组的解是惟一的.第103页/共112页2023/3/17例例解线性方程组解线性方程组=21000=1680所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解.第104页/共112页2023/3/17=120=420=720D=21000D1=1680第105页/共112页2023/3/17D=2100 D1=1680 D2=420 D3=720 D4=120 方程组的唯一解为：方程组的唯一解为：第106页/共112页例2 2 解线性方程组 107解 系数行列式 第107页/共112页108的系数行列式D 0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.推论 齐次线性方程组（3）有非零解的充分必要条件是系数行列式D=0定理1.8 1.8 如果齐次线性方程组第108页/共112页例3 若齐次线性方程组109解 系数行列式 方程组有非零解，则D=0.于是=3或 =0.有非零解，求 值.第109页/共112页例3 3110解第110页/共112页111第111页/共112页112感谢您的观看！第112页/共112页