课题学习最短路径问题.pptx
如图所示，从A A地到B B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间,线段最短温故知新第1页/共28页 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？垂线段最短张村河流泵站第2页/共28页前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”第3页/共28页已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求ABlP为什么？第4页/共28页问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl第5页/共28页精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl第6页/共28页这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 BAl第7页/共28页（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？BAl第8页/共28页追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）BAlC第9页/共28页如何将B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？BlA第10页/共28页你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？BlA第11页/共28页作法：（1）作点B 关于直线l 的对称 点B；（2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？BlABC第12页/共28页问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABC第13页/共28页证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC 在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABCC第14页/共28页若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC 最小 BlABCC证明AC+BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？第15页/共28页回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？BlABCC轴对称第16页/共28页（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AMNB第17页/共28页我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？abAMNB第18页/共28页abAMNB由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。怎样通过图形的变化，把这个问题转化为前面求距离和最短的情况？第19页/共28页作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AB交河对岸于点N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得 AMAN 且AM=AN,MN=MN,所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=AN+MN+NB=AB+MN,若桥的位置建在N处，过N作NMa,垂足为M,连接AM.AN.BN,则AB两地的距离为：AM+MN+NB=AN+MN+NB,在ANB中，AN+NBAB,AN+NB+MNAB+MN,即AM+MN+NB AM+MN+BN所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。abAMNBAMN第20页/共28页将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AA=MN,AM+NB=AN+NB,这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？abAMNBA第21页/共28页回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？平移第22页/共28页勇攀高峰练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山河岸大桥第23页/共28页基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”ABCPQ山河岸大桥第24页/共28页 小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题第25页/共28页已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.AMONBC当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小第26页/共28页教科书复习题13第15题 布置作业第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页
