选修杨辉三角与二项式系数性质.pptx
复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式:二项式系数通 项第1页/共19页计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:通过计算填表，你发现了什么？n (a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系数具有对称性对称性,除此以外还有什么规律呢?第2页/共19页1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:1 7 21 35 35 21 7 1 1 Cn-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1 第3页/共19页能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:第4页/共19页1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.第5页/共19页杨辉三角 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：第6页/共19页二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O615201第7页/共19页1.对称性对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：二项式系数的性质f（r）r63O615201第8页/共19页2.增减性与最大值增减性与最大值 所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质由：可知，当 时，二项式系数二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。第9页/共19页f（r）rnOOnf（r）n为奇数n为偶数当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值第10页/共19页3.各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 二项式系数的性质第11页/共19页 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，第12页/共19页例1.证明:在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和=2n-1在展开式证明:得即所以赋值法赋值法即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和第13页/共19页课堂练习：1）已知 ，那么 =；2）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；第14页/共19页3.在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的项是().A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项C4.在(ab)10展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项A5.在(ab)10展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项D6.在(ab)11展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项C7.在(ab)11展开式中，系数最大的项是().A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项B第15页/共19页例例2、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；（3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。第16页/共19页9.若 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.解：解：展开式中各项的二项式系数与该项的展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等的系数相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，有两个中间项分别为有两个中间项分别为T6=462x-4，T7=462x 8.求二项式(2-3x)10展开式所有项系数的和第17页/共19页 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页
