空间解析几何与向量代数同济六.pptx
目录 上页 下页 返回 结束 1 向量及其线性运算2 数量积，向量积3 平面及其方程4 空间直线及其方程5 曲面及其方程6 空间曲线及其方程第1页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第一次课四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影 1 向量及其线性运算第2页/共89页2.向量的大小(模):1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量4.单位向量:3.零向量:一、向量的概念方向任意.记为5.平行向量:方向相同,或相反.(零向量与任何向量平行)6.相等向量:大小相等,方向相同.目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共89页二、向量的线性运二、向量的线性运算算1.向量的加减法三角形法则:(1)加法：平行四边形法则：(3)加法满足交换律，结合律见P2.(2)三角形法则可推广到多个向量相加.(4)减法：(5)三角不等式 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共89页2.向量与数的乘法：(1)定义：向量 与数的乘法记为(2)向量与数的乘法满足结合律,分配律.见P4.(3)则(4)定理1.1：设则 目录 上页 下页 返回 结束(5)与 同向的单位向量为：第5页/共89页【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是解:如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点,则由已知所以所以ABCD为平行四边形.目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共89页三、空间直角坐标三、空间直角坐标系系 坐标原点 坐标轴(横轴)(纵轴)(竖轴)坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系(右手系)目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共89页向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点 M特殊点的坐标:原点 O(0,0,0);(称为点M的坐标)目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共89页坐标轴:坐标面:目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共89页2.向量的坐标表向量的坐标表示示(1)设点 M(x,y,z),则分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共89页四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算1.设为实数，则 目录 上页 下页 返回 结束 2.已知两点则第11页/共89页3.平行向量对应坐标成比例:【例2】P8例2 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束【例3】已知两点及实数-1在直线AB上求一点 M,使解:设 M 的坐标为如图所示由已知第13页/共89页由由得定比分点公式:当=1时，点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式:目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共89页五、向量的模、方向角、投五、向量的模、方向角、投影影 1.向量的模:设则由勾股定理得有设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 2.两点间的距离公式【例】P10例4,5,6 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共89页3.方向角与方向余弦方向角与方向余弦(1)夹角:(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角,称为方向角,的方向余弦(3)方向余弦：目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共89页【例4】P11例8方法2:设则由 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共89页4.向量在轴上的投影(1)定义:过M 作平面交 轴于设 轴上的单位向量为则称为在 上的投影,记为注：投影是一个数，当 与 同向时为正,反向时为负.目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共89页(2)向量在轴上的投影则(3)投影的性质 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共89页【作业作业】P12 Ex8-1 4,5,11,12,14,17,19 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第二次课2 数量积,向量积一、数量积的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积,记为即:2.由投影性质:第21页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 3.性质两两之间的数量积4.1110000005.运算规律 见P14-15【例5】P15例1第22页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 6.数量积的坐标表示法设特别：则第23页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 5.向量 夹角余弦的坐标表达式【例6】P16例2第24页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束【例7】试在 所确定的平面内找一个与 垂直的解：由于,故 与 确定一个平面设单位向量 ,其中取=1，则=3故所求的单位向量第25页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量积的向量积是满足下列条件的一个向量，1.De2.2:2.性质:记为与 都垂直；构成右手系有一个为零向量第26页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 两两之间的数量积3.4.运算规律第27页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 5.向量积的坐标表示法设则第28页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 解：可取【例8】求与 都垂直的单位向量 ,其中故所求的单位向量【例9】P19例5第30页/共89页【作业作业】P22 Ex8-2 1,3,6,7,8 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第三次课3 平面及其方程一、点法式平面方程给出平面上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于1.引例1:平面的一个向量的法向量),求平面的方程.(称为解：设P(x,y,z)为上任意一点，则由题意有第32页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 已知点(x0,y0,z0),(A,B,C),则2.点法式平面方程【例】P38例1【例10】P38例2点法式方程：第33页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 平面一般方程:二.平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项,得说明:D=0,过原点；A=0,平行于x轴；B=0,平行于y轴；C=0,平行于z轴；对于法向量z轴,z轴上的所有向量.【例11】P40例3第34页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 三.截距式平面方程设与x,y,z 轴的截距分别为a,b,c,即:1.引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),P(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)解:设:将P,Q,R 代入得求平面的方程.截距式平面方程:第35页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束【例11】求过点解：P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量平行的平面方程.又过点P1(1,0,1)，所以：即：第36页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 三.两平面的夹角：(两平面法向量的夹角)锐角1.De2.3:第37页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 2.性质【例】P41例5【例12】P41例6第38页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 四.点到平面的距离求P0到的距离P0 N.引例3:任取则由数量积的性质第39页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共89页内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式 目录 上页 下页 返回 结束 2.点到平面的距离第41页/共89页3.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:目录 上页 下页 返回 结束 第42页/共89页【作业作业】P42 Ex8-5 1,2,3,4(单数单数),5，7，9 目录 上页 下页 返回 结束 第43页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第四次课4 空间直线及其方程一、直线的一般方程(两平面的交线)二、直线的对称式方程与参数方程引例:求过点 M0(x0,y0,z0),且与向量在L上任取一点 M(x,y,z)平行的直线方程 L第44页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 1.对称式方程:由,则对应元素成比例即：(1)当分母有一个为0时,分子也为0;对称式方程(2)当分母有两个为0时,另一个分子任意例如：例如：第45页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 2.参数方程:令参数方程(1)方向则3.说明:称为方向向量.(2)m,n,p 称为直线 L 的一组方向数.L方向余弦(3)的方向余弦称为直线第46页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 直线方程 L 为【例13】求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面:x-y+3z+1=0的直线方程 L.解:设的法向量由从而可取第47页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束【例14】将直线 L:化为对称式方程.解:设由1,1的交线均垂直于故可取直线L的第48页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 不妨取在L上任取一点,不妨取 z=0则L上一点 M0(1,2,0)L的对称式方程为【例14】将直线 L:化为对称式方程.第49页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束【例15】求过点P0(-1,4,3)且与L1:都垂直的直线方程 L.L2:解:L1的方向向量L2的方向向量L的方向向量L的直线方程第50页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 三、两直线的夹角1.计算公式:设【例16】P47例4【例17】P47例5(两直线方向向量的夹角)【例】P45例2第51页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 2.性质:第52页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 四、直线与平面的夹角直线与它在平面上投影直线的夹角L的方向向量:的法向量:设第53页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 取的距离.过P0作L,交L于N,解:【例18】求过点P0(1,1,1)到直线令则代入到中得 t=-1,N(0,0,2)P0到L的距离 将t=-1代入得【例19】P47例6第54页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 五、平面束方程设且12,作则称为过 L 的平面束方程，该方程为过 L 但除2的所有平面方程.【例20】P48例7第55页/共89页1.空间直线方空间直线方程程一般式对称式参数式 内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 第56页/共89页直线2.线与线的关线与线的关系系直线夹角公式:目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共89页平面 :L L/夹角公式：3.面与线间的关系面与线间的关系直线 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共89页【作业作业】P49 Ex8-6 1,2,3,5，7,8，11，13，15 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习第59页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 第五次课5 曲面及其方程一、曲面方程的定义二、一些特殊的曲面方程三、二次曲面第60页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲面方程的定义设动点 P(x,y,z)组成的曲面 S 与三元方程(2)不在S上的任意点都不满足(*)，F(x,y,z)=0(*),有如下关系:(1)S上的任意一点P都满足方程(*);则称(*)为S的方程.第61页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 二、一些特殊的曲面方程1.球面:与定点 M0(x0,y0,z0)保持距离为R的点的轨迹称为球.设轨迹上的点P(x,y,z),则第62页/共89页2.旋转曲面定义:一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:目录 上页 下页 返回 结束 第63页/共89页故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点则有则有该点转到(1)yoz面内曲线C:f(y,z)=0(y0)绕 z 轴旋转一周后所得的曲面方程.目录 上页 下页 返回 结束 第64页/共89页(3)xoy 面内曲线C:f(x,y)=0 绕 x 轴旋转一周后所得的曲面方程:(4)xoy 面内曲线C:f(x,y)=0 绕 y 轴旋转一周后所得的曲面方程:(2)yoz 面内曲线C:f(y,z)=0 绕 y 轴旋转一周后所得的曲面方程:目录 上页 下页 返回 结束 第65页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 3.柱面平行于定直线,并沿着曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫柱面.平行于 z 轴.圆柱面：抛物柱面：平行于 x 轴.平行于 y 轴.第66页/共89页三、二次曲三、二次曲面面三元二次方程 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为 0)目录 上页 下页 返回 结束 第67页/共89页1 1.椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆 目录 上页 下页 返回 结束 第68页/共89页2.圆锥面圆锥面,椭圆锥椭圆锥面面y=z 绕着 z 轴旋转一周而得的曲面(a,b 为正数)在平面z=t 上的截痕为圆.在平面z=t 上的截痕为椭圆.直纹面 目录 上页 下页 返回 结束 第69页/共89页(1).单叶双曲面单叶双曲面(a,b,c为正数)直纹面3.双曲面 目录 上页 下页 返回 结束 第70页/共89页(2).双叶双曲双叶双曲面面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线1 单叶双曲面-1 双叶双曲面(a,b,c为正数)在平面y=y1上的截痕为在平面x=x1上的截痕为在平面z=z1(|z1|c)上的截痕为 目录 上页 下页 返回 结束 第71页/共89页4.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.目录 上页 下页 返回 结束 第72页/共89页【作业作业】P31 Ex8-3 1,2,5，6,8(1,3)目录 上页 下页 返回 结束 第73页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 5 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影第74页/共89页一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组 目录 上页 下页 返回 结束 第75页/共89页C:表示圆柱面与平面的交线C【例21】画出下列曲线 目录 上页 下页 返回 结束 第76页/共89页表示上半球面与圆柱面的交线C.目录 上页 下页 返回 结束 第77页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 P37 题1(1)P37 题1(2)第78页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 P37 题1(3)第79页/共89页 目录 上页 下页 返回 结束 P37 题2(1)第80页/共89页思考:当|b|3时,交线情况如何?目录 上页 下页 返回 结束 第81页/共89页二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标 x,y,z表示成参数表示成参数 t 的的函数函数:称为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为 当=2时上升高度,称为螺距.目录 上页 下页 返回 结束 第82页/共89页【例例22】将曲线将曲线 化为参数方程化为参数方程解:根据第一方程引入参数代入到第二个方程得 所以参数方程为 目录 上页 下页 返回 结束 第83页/共89页三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程的一般方程为为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 目录 上页 下页 返回 结束 第84页/共89页【例23】求下列曲线的投影曲线方程在 xoy 面上的投影曲线方程为 目录 上页 下页 返回 结束 第85页/共89页所围圆域:在 xoy 面上的投影曲线方程为 目录 上页 下页 返回 结束 第86页/共89页P37 题 7 目录 上页 下页 返回 结束 第87页/共89页(4)求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的 目录 上页 下页 返回 结束【作业】Ex8-44,5(1)第88页/共89页感谢您的观看！第89页/共89页
