三次样条插值.pptx
多项式Lagrange插值:整体性强,光滑性好(无穷阶连续),但不一定收敛;分段Lagrange多项式插值:局部性好,光滑性差(C0连续),收敛性保证;分段 Hermite多项式插值:局部性好,满足一定光滑性,收敛性保证,但需要导数值信息;插值:局部性好,满足一定光滑性,收敛性保证,只需要函数值信息。样条插值：（样条函数满足一定光滑性的分段多项式）。?第1页/共31页以x1,x2,xn为节点的m次样条函数的全体记为：（1）在每个区间(-，x1，xj,xj+1，(j=1,2,n-1)和 样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 xn,+)上，s(x)是一个次数不超过m的实系数代数多项式；（2）s(x)在对区间(-，+)上具有直至m-1阶的连续导数，则称y=s(x)为对应于分割的m次样条函数，x1,x2,xn 称为Sm(x1,x2,xn)定义5.3 对区间(-，+)的一个分割：若分段函数s(x)满足条件：线拟合等方面有着广泛的应用。样条节点，第2页/共31页m=1时，样条函数是分段线性函数；m=2时，是1阶连续可微的分段二次多项式；显然,m次样条函数比一般的m次分段插值多项式的光滑性好。问题:如何判断一个分段的多项式函数是样条函数?设第3页/共31页光滑因子即有由m次样条函数的定义，可知令可知即，xj是q(x)的 m重零点，从而有进一步可得，第4页/共31页s(x)是m次样条的充要条件应为对于满足上述性质的如下形式的分段m次多项式s(x)，第5页/共31页易见Cm-1(-,+)类的分段m次多项式。为了便于表示分段信息,引进截断多项式：(5-30)m次截断多项式Cm-1(-,+)表示(-,+)上m-1次连续可微函数的集合。第6页/共31页定理5.5 任意s(x)Sm(x1,x2,xn)均可唯一地表示为定理5.6 为使s(x)Sm(x1,x2,xn)，必须且只须存在pm(x)Pm(4-31)其中pm(x)Pm，cj(j=1,2,n)为实数。和n个实数c1,c2,cn，使得结论m次样条空间的维数：第7页/共31页例1 验证分片多项式是三次样条函数。解 利用上面的定理(光滑因子)验证所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数第8页/共31页例，设是以0，1，2为节点的三次样条函数，则a=,b=,c=。解：1）由比较1,x,x2,x3的系数，可得2）由连续性，应有即，即第9页/共31页由一阶导数连续性，应有由二阶导数连续性，应有即，从而，即，第10页/共31页 有些实际问题中提出的插值问题，要求插值曲线具有较高的光滑性和几何光顺性。模线员用压铁压住弹性均匀的窄木条（样条）的两端，强迫样条通过一组已知离散的型值点。的形状后，再沿着样条画出所需的曲线。形下，该曲线可以由三次样条函数表示。插值不仅具有较好的收敛性和稳定性，而且其光滑性也较高，因此，样条函数成为了重要的插值工具。5.3.2 三次样条插值及其收敛性(简介，学生自学)例如，在船体放样时，当样条取得合适在小挠度的情由于样条函数其中应用较多的是三次样条插值。第11页/共31页设给定节点 a=x0 x1xn=b 及节点上的函数值 f(xi)=yi 三次样条插值问题就是构造使(5-33)插值问题：三次样条插值问题实际上是一种特殊类型的分段三次多项式1）它只在插值区间端点比Lagarnge多项式插值问题多两个边界条件，但却在内点处有一阶、二阶连续的导函数，从而要比分段Lagarnge插值更光滑。2）分段Hermite三次多项式插值问题，只有被插值函数在所有插值节点处的函数值和导数值都已知时才能使用，而且在内节点处二阶导函数一般不连续。样条节点为插值节点第12页/共31页下面我们讨论三次样条插值多项式s3(x)的构造。一般来讲，构造三次样条插值多项式s3(x)，若用待定系数法，其中 ai,bi,ci,di 为待定系数，共有4n个。按定义s3(x)应满足：（1）插值条件n+1个：连续性条件n-1个：可写成（2）在内节点一阶导数连续性条件n-1个：（3）在内节点二阶导数连续性条件n-1个：共计个4n-2条件。因此要确定4n个系数，尚需要另外附加2个条件。第13页/共31页第一种：固支条件（第一类边界条件）称为自然边界条件；通常有如下三种类型的附加条件，称为边界条件：特别地，已知 f(x0)=f(xn)确定的周期函数。第三种：周期条件第二种：第14页/共31页例，已知 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,求 f(x)在区间-1,1上的三次自然样条插值多项式。且 解：这里n=2区间-1,1分成两个子区间，故设由插值条件和连续性条件：由在内点一阶、二阶导数连续性条件：以及由自然边界条件：得到如下88阶线性方程组：第15页/共31页则 f(x)在区间-1,1上的三次自然样条插值多项式为：待定系数法过于繁琐，当n较大时，计算量过大，不实用。解之，第16页/共31页 下面我们介绍一种构造三次样条（3-Spline）插值多项式的因为s(x)在每一个子区间xk,xk+1上都是三次多项式，因此，当xxk,xk+1时，此方法的特点是：只需求解一个不超过n+1设阶线性方程组，而且力学意义明显。在x0,xn上可以将s(x)表示成分段两点三次Hermite插值多项式。由5.2中的例6，(5-34)三转角方程构造法。第17页/共31页即(4-35)因此，求s(x)的关键在于确定n+1个常数m0,m1,mn。为此，对s(x)求二阶导数，得(4-36)n个方程n+1个未知量第18页/共31页在（5-36）中以k-1取代k，便得s(x)在xk-1,xk上的表达式，并求得 于是，对于(5-37)(5-38)得由第19页/共31页本节我们考虑下面三类边界条件。(5-39)用除等式两端，并化简所得方程，得到基本方程组方程组（5-40）中含n-1个方程、n+1个未知数m0,m1,mn。(5-40)其中(5-41)为了解出mk(k=0,1,n)，还应补充两个方程。过在插值条件（5-33）上再附加两个边界条件来解决这个问题。因此，我们通n-1个方程n+1个未知量第20页/共31页一、第一类边界条件是此时，化为n-1阶线性方程组(5-42)即(5-43)进一步 解出m1,m2,mn-1。(5-44)三对角严格对角占优n-1个方程n-1个未知量第21页/共31页二、第二类边界条件是(5-45)从而边界方程可表示为并与（5-40）联立即得所需方程组：(5-46)由（5-37），（5-38）边界条件可得两端两端n+1个方程n+1个未知量第22页/共31页此时化为n+1阶线性方程组解得m0,m2,mn。(5-47)其中g1,g2,gn-1 如（4-41）定义，而 (5-48)三对角严格对角占优第23页/共31页设 f(x)是以xn-x0为一个周期的函数，这时s(x)也应以xn-x0由（5-37）和（5-38）得从而得m0=mn，所以三、第三类边界条件是周期性条件于是s(x)在端点处满足条件(5-49)为周期。再注意到，第24页/共31页简写为 将（5-51）与（5-40）联立，并用mn取代m0，得n阶线性方程组(5-50)其中(5-51)得出m1,m2,mn。(5-52)注意到，不论采用哪类边界条件，所得方程组的系数矩阵（见（5-44）、（5-47）和（5-52）都是严格对角占优阵，所以非奇异，故方程组有唯一解。严格对角占优n个方程n个未知量第25页/共31页例 给定插值条件-1-10 01 11 10 01 1用三转角方程构造法求 f(x)的三次自然样条插值多项式。解：由（5-40）和（5-46）可得三转角方程：其中从而第26页/共31页 即满足给定插值条件的 f(x)的三次自然样条插值多项式为：解之，代入（4-35），得即第27页/共31页给定插值条件0 01 12 23 30 00 00 00 0以及第一类边界条件m0=1,m3=0,求三次样条插值函数。所求方程组为即再由m0=1,m3=0,解得代入（4-35），得解例2第28页/共31页用三次样条插值函数s(x)计算诸节点中点处的函数值，并例3 已知正弦函数表以及边界条件xi 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7fi 0.4794 0.64420.78330.89120.96360.99750.9917 x 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 s(x)0.56462 0.71733 0.841440.93206 0.98547 0.99959 0.97386 sinx 0.56464 0.71736 0.84147 0.93204 0.98545 0.999570.97385 解 利用在第二类边界条件，计算结果列表如下：将计算结果与sinx在相应点处的函数值相比较。第29页/共31页设f(x)C2a,b,s(x)是以a=x0 x1xn=b为节点，上述结果表明，三次样条插值的逼近效果较好。下面的定理说明了三次样条插值函数的收敛性。满足三种边界条件中的任何一种的三次样条插值函数，记收敛于f(x)和在a,b上分别一致则当h0时，s(x)和定理5.7第30页/共31页谢谢大家观赏！第31页/共31页
