等差数列的性质.pptx
等差数列的项与序号的关系等差数列的项与序号的关系自学导引自学导引两项关系两项关系多项关系多项关系通项公式的推广：通项公式的推广：anam_(m，nN*)项的运算性质：项的运算性质：若若 m n p q(m，n，p，qN*)，则则_apaq1(nm)daman第1页/共29页 ：在等差数列：在等差数列an中，如果中，如果mn2w(m，n，wN)，那么，那么aman2aw是否成立？反过来呢？是否成立？反过来呢？提示提示：若：若mn2w(m，n，wN)，则，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(w1)d2aw，显然成立；，显然成立；在等差数列在等差数列an中，若中，若aman2aw，不一定有不一定有mn2w，如常数列，如常数列第2页/共29页等差数列的性质等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项在有穷等差数列中，与首末两项“等距离等距离”的两项之和的两项之和等于首项与末项的和即等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2(2)若若an、bn分别是公差为分别是公差为d，d的等差数列，则有的等差数列，则有(3)an的公差为的公差为d，则，则d0an为递增数列；为递增数列；d0，d1，故所求的四个数为，故所求的四个数为2,0,2,4.法二法二若设这四个数为若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为公差为d)，依题意，依题意，2a3d2，且，且a(a3d)8，化简得化简得d24，所以，所以d2或或2.又四个数成递增等差数列，所以又四个数成递增等差数列，所以d0，所以，所以d2，故所求的四个数为故所求的四个数为2,0,2,4.第13页/共29页 利用等差数列的定义巧设未知量可以利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算一般地有如下规律：当等差数列简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数的项数n为奇数时，可设中间一项为为奇数时，可设中间一项为a，再以公差，再以公差为为d向两边分别设项：向两边分别设项：a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两；当项数为偶数项时，可设中间两项为项为ad，ad，再以公差为，再以公差为2d向两边分别设项：向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量，这样可减少计算量第14页/共29页 已知成等差数列的四个数之和为已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数，第二个数与第三个数之积为与第三个数之积为40，求这个等差数列，求这个等差数列解解设此四数依次为设此四数依次为a3d，ad，ad，a3d.【变式2】第15页/共29页题型三由递推关系式构造等差数列求通项题型三由递推关系式构造等差数列求通项(1)求证：数列求证：数列bn为等差数列为等差数列(2)试问试问a1a2是否是数列是否是数列an中的项？如果是，是第几中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由项；如果不是，请说明理由第16页/共29页即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项第17页/共29页 已知数列的递推公式求数列的通项时，已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力析问题的能力第18页/共29页(1)求证：数列求证：数列an2n为等差数列；为等差数列；(2)设数列设数列bn满足满足bn2log2(an1n)，求，求bn的通的通项公式项公式解解(1)(an12n1)(an2n)an1an2n1(与与n无关无关)，故数列故数列an2n为等差数列，且公差为等差数列，且公差d1.(2)由由(1)可知，可知，an2n(a12)(n1)dn1，故故an2nn1，所以，所以bn2log2(an1n)2n.【变式3】在数列an中，a12，an1an2n1.第19页/共29页【例例4】甲、乙两人连续甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第表明：从第1年每个养鸡场出产年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产年平均每个鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数年养鸡场个数30个减少到第个减少到第6年年10个个题型四等差数列的实际应用第20页/共29页请您根据提供的信息说明，求请您根据提供的信息说明，求(1)第第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第到第6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小年是扩大了还是缩小了？请说明理由了？请说明理由(3)哪一年的规模最大？请说明理由哪一年的规模最大？请说明理由审题指导审题指导 本题为图表信息题，综合考查了等差数列的本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征知识和等差数列的函数特征规范解答规范解答 由题干图可知，从第由题干图可知，从第1年到第年到第6年平均每个年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为，公差为d1，且，且a11，a62；从第；从第1年到第年到第6年的养鸡场个数也成等年的养鸡场个数也成等差数列，记为差数列，记为bn，公差为，公差为d2，且，且b130，b610；从第从第1年到第年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则则cnanbn.(2分分)第21页/共29页所以所以c2a2b21.22631.2.(6分分)(2)c6a6b621020c1a1b130，所以到第，所以到第6年年这个县的养鸡业比第这个县的养鸡业比第1年缩小了年缩小了 (8分分)第22页/共29页(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)(10分分)所以所以(1)第第2年养鸡场的个数为年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数个，全县出产鸡的总只数是是31.2万只；万只；(2)到第到第6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1年缩小了；年缩小了；(3)第第2年的规模最大年的规模最大(12分分)第23页/共29页【题后反思题后反思】本题可以按照解析几何中的直线问题求本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，让人回味解决，更能体现出等差数列这一函数特征，让人回味无穷题型设计的开放和解答的开放是时代的要求无穷题型设计的开放和解答的开放是时代的要求这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华会中升华第24页/共29页 某公司经销一种数码产品，第某公司经销一种数码产品，第1年获利年获利200万元，万元，从第从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？将亏损？解解由题意可知，设第由题意可知，设第1年获利为年获利为a1，第，第n年获利为年获利为an，则则anan120，(n2，nN*)，每年获利构成等差数，每年获利构成等差数列列an，且首项，且首项a1200，公差，公差d20，所以所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若若an0，则该公司经销这一产品将亏损，则该公司经销这一产品将亏损，由由an20n22011，即从第即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损年起，该公司经销这一产品将亏损【变式4】第25页/共29页 数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决问题，运用方程的思想解等差数列是常的思想来解决问题，运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，an，n，d，掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节，常通，掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节，常通过过“设而不求，整体代入设而不求，整体代入”来简化运算来简化运算 已知等差数列已知等差数列an的公差是正数，并且的公差是正数，并且a3a712，a4a64，求数列，求数列an的通项公式的通项公式思路分析思路分析 其实这样的题目我们已有解决它的办法，其实这样的题目我们已有解决它的办法，但如果细心观察，我们发现得到但如果细心观察，我们发现得到a3，a7的和与积，于是的和与积，于是联想到一元二次方程及根与系数的关系联想到一元二次方程及根与系数的关系方法技巧函数与方程思想在等差数列中的应用方法技巧函数与方程思想在等差数列中的应用【示例】第26页/共29页解解由等差数列由等差数列an的性质知：的性质知：a3a7a4a6，从而，从而a3a712，a3a74，故，故a3，a7是方程是方程x24x120的两根，又的两根，又d0，解之，得，解之，得a36，a72.则则ana1(n1)d10(n1)22n12，即即an2n12.第27页/共29页方法点评方法点评 本题利用了本题利用了a3a7a4a6这一性质构造了这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了一元二次方程巧妙的解出了a36，a72，再利用，再利用方程组求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，方程组求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知数列解题时往往可借助方程的思想与由此可知数列解题时往往可借助方程的思想与anamapaq找出解题的捷径找出解题的捷径第28页/共29页
