随机振动分析基础.pptx

1 1 随机振动的特点 对某振动运动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表达，使得对某振动运动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表达，使得只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。随机振动可以由系统构成参数本身有随机性而导致，但在多数情况下主要由激振随机振动可以由系统构成参数本身有随机性而导致，但在多数情况下主要由激振源的随机性所引起。本节主要研究这后一种情况，即确定性系统在随机激励下的源的随机性所引起。本节主要研究这后一种情况，即确定性系统在随机激励下的振动响应。振动响应。第1页/共96页 汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；风对建筑结构的随机激励；风对建筑结构的随机激励；地震对结构的随机激励；地震对结构的随机激励；浪使船舶产生随机振动；浪使船舶产生随机振动；大气湍流使机翼产生随机振动等等。大气湍流使机翼产生随机振动等等。第2页/共96页 下图为一随机振动的时间历程样本函数表示。所谓样本函数是指随机振动本下图为一随机振动的时间历程样本函数表示。所谓样本函数是指随机振动本身是以时间身是以时间t t为过程参变量的函数过程。为过程参变量的函数过程。第3页/共96页随机振动时间历程样本函数随机振动时间历程样本函数 第4页/共96页 从随机性的物理性质出发，这样各不相同的函数应有无穷多个，每一个只是一个样本，最后构成集合从随机性的物理性质出发，这样各不相同的函数应有无穷多个，每一个只是一个样本，最后构成集合 x xi i(t t),),i i=1,2,3,=1,2,3,;t t 0,0,)。取尽各种可能性的无穷多个样本函数的集合称为样本函数空间。取尽各种可能性的无穷多个样本函数的集合称为样本函数空间。第5页/共96页 取取t t=t tk k时刻各样本函数瞬时值构成一个序列时刻各样本函数瞬时值构成一个序列X X(s s,t tk k)=)=x xi i(t tk k),),i i=1,2,3,=1,2,3,;t tk k0,0,)；s s用于表记对应不同的样本函数。每个用于表记对应不同的样本函数。每个x xi i(t tk k)是是t tk k时刻的瞬时振动幅值，称为是时刻的瞬时振动幅值，称为是随机变量随机变量X X(s s,t tk k)的在的在s s=s si i的一个样本点；的一个样本点；所有样本点的集合所有样本点的集合S S s si i 就是就是随机变量随机变量X X(s s,t tk k)的样本空间；的样本空间；第6页/共96页 随机变量随机变量X X(s s,t tk k)随样本点的不同随机地取不同的值，即随样本点的不同随机地取不同的值，即X X(s s,t tk k)是样本点是样本点s sS S的函数。同时注意它也是过程参变量的函数。同时注意它也是过程参变量t tk k0,0,)的函数。的函数。当随机变量蕴含的是样本点的函数的意义明显且希望强调它是过程参变量当随机变量蕴含的是样本点的函数的意义明显且希望强调它是过程参变量t t的函数时，简记此随机变量为的函数时，简记此随机变量为X X(t t)。第7页/共96页 当当t tk k取不同值时，可得不同时刻的随机变量取不同值时，可得不同时刻的随机变量X X(t tk k)；从原理上看，对于各样本；从原理上看，对于各样本函数是时间的连续函数的随机振动，只有函数是时间的连续函数的随机振动，只有t t连续变化为无穷多个时刻而得出无连续变化为无穷多个时刻而得出无穷多组随机变量穷多组随机变量X X(t t)才能完整地描述一个随机振动。才能完整地描述一个随机振动。这样实际形成的是以时间为过程参数的一族随机变量，这样定义的随机变量族这样实际形成的是以时间为过程参数的一族随机变量，这样定义的随机变量族就被称为随机过程。随机振动是一种典型的随机过程。另外，也可以选用其它就被称为随机过程。随机振动是一种典型的随机过程。另外，也可以选用其它参数为随机过程的过程参数。参数为随机过程的过程参数。第8页/共96页2 2 相关函数和功率谱密度函数 1.相关函数 掌握随机变量的性质是通过了解它的概率结构，掌握随机变量的性质是通过了解它的概率结构，最自然最自然是通过其概率密度函数是通过其概率密度函数p p(x x)或概率分布函数或概率分布函数P P(x x)。完整地掌握。完整地掌握p p(x x)或或P P(x x)通常比较困难，因此通常比较困难，因此常用的常用的统计描述统计描述是讨论随机变量的各低阶矩数字特征，如数学期望（均值），均方值和是讨论随机变量的各低阶矩数字特征，如数学期望（均值），均方值和方差等。方差等。作为增加了过程参数作为增加了过程参数t t的随机变量族的随机过程，可通过对随机变量数字特征的随机变量族的随机过程，可通过对随机变量数字特征(矩矩函数函数)对过程参数的扩展定义来研究其统计特性。对过程参数的扩展定义来研究其统计特性。第9页/共96页 对图对图1.5-11.5-11.5-11.5-1所示随机振动，取离散时刻所示随机振动，取离散时刻t t1 1,t t2 2,t tn n可得一族随机变量可得一族随机变量X X1 1,X X2 2,X Xn n。这些随机变量的概率结构可由概率密度函数及不同时刻的随机变量间的联合概率密这些随机变量的概率结构可由概率密度函数及不同时刻的随机变量间的联合概率密度函数表达为度函数表达为 p p(x x1 1,t t1 1)，p p(x x2 2,t t2 2)，p p(x x1 1,t t1 1;x x2 2,t t2 2)，p p(x x2 2,t t2 2;x x3 3,t t3 3)，(1.5-1)1.5-1)1.5-1)1.5-1)，p p(x x1 1,t t1 1;x x2 2,t t2 2;x x3 3,t t3 3;x xn n,t tn n)第10页/共96页 上上述述表表达达的的n n维维概概率率密密度度函函数数能能够够近近似似描描述述原原连连续续的的随随机机过过程程的的统统计计特特性性，n n越越大大近近似似程程度度越越高高，当当n n趋趋于于无无穷穷大大时时，(1.5-1)(1.5-1)就就完完全全表表达达了了该该随随机机过过程程的的统统计计特性。特性。类似于研究随机变量统计性质时对类似于研究随机变量统计性质时对各阶矩各阶矩的定义，可定义随机过程的各阶矩函数的定义，可定义随机过程的各阶矩函数如下：如下：第11页/共96页k k=1,2,3,=1,2,3,n nk k,j j=1,2,3,=1,2,3,n n k k,i i,j j=1,2,3,=1,2,3,n n (1.5-2)第12页/共96页 可以证明，可以证明，用矩函数或用概率密度函数（或概率分布函数）来描述随机过程数用矩函数或用概率密度函数（或概率分布函数）来描述随机过程数学上是等价的学上是等价的。理论上完整地确定一个随机过程，需要确定理论上完整地确定一个随机过程，需要确定所有各阶矩函数所有各阶矩函数，明显这对实际应，明显这对实际应用来说又是一个过分的苛求。因此，实践上特别强调运用低阶矩即用来说又是一个过分的苛求。因此，实践上特别强调运用低阶矩即1 1 1 1，2 2 2 2阶矩函阶矩函数。数。第13页/共96页 1 1阶矩函数称为均值函数，定义为阶矩函数称为均值函数，定义为 (1.5-3)(1.5-3)2 2阶矩函数称为相关函数，定义为阶矩函数称为相关函数，定义为 (1.5-4)(1.5-4)第14页/共96页(1.5-4)(1.5-4)针对的是一个随机过程，因而可更细分地称为自相关函数，以双下标针对的是一个随机过程，因而可更细分地称为自相关函数，以双下标xxxx代表；代表；如果研究的对象包括有两个随机过程如果研究的对象包括有两个随机过程X X(t t),),Y Y(t t)，可以类似地定义出互相关函数，可以类似地定义出互相关函数如如 (1.5-5)(1.5-5)第15页/共96页 均值函数和相关函数虽然只是随机过程的矩函数表达系列中的两个低阶矩函数，均值函数和相关函数虽然只是随机过程的矩函数表达系列中的两个低阶矩函数，但它们却表征了随机过程许多重要统计特征。但它们却表征了随机过程许多重要统计特征。特别对一类实际上很常见的高斯随机过程，其高阶矩函数可以由特别对一类实际上很常见的高斯随机过程，其高阶矩函数可以由1 1 1 1，2 2 2 2阶矩函数表阶矩函数表示，因此，对高斯随机过程，均值函数和相关函数完全表征了它的概率结构。示，因此，对高斯随机过程，均值函数和相关函数完全表征了它的概率结构。而对于非高斯过程，这两矩函数也代表了其统计性质中非常重要的一大部分。而对于非高斯过程，这两矩函数也代表了其统计性质中非常重要的一大部分。第16页/共96页 高斯随机过程，又称为正态随机过程，是这样一种随机过程：它在任意时刻高斯随机过程，又称为正态随机过程，是这样一种随机过程：它在任意时刻t tk k的状态都服从正态分布，即是高斯随机变量。的状态都服从正态分布，即是高斯随机变量。定义为：对于任意定义为：对于任意n n，X X(t t)的的n n个样本为个样本为X X(t t1 1)，X X(t t2 2)，X X(t tn n)，记，记x=x=x x1 1，x x2 2，x xn n T T，m m m mX X=m m m mX X(t t1 1)，m m m m X X(t t2 2)，m m m m X X(t tn n)T T，X X(t t)的的n n维联合概维联合概率密度函数为率密度函数为 第17页/共96页其中其中C C为协方差矩阵为协方差矩阵记记C CX X(t ti i,t tj j)=E E(X X(t ti i)m m m mX X(t ti i)()(X X(t tj j)m m m mX X(t tj j)，i i，j j=1,2,=1,2,，n n E E.为数学期望运算，有为数学期望运算，有 第18页/共96页 高斯随机过程是最常见的随机过程之一。高斯随机过程是最常见的随机过程之一。因为根据因为根据中心极限定理中心极限定理，当某随机变量是有大量相互独立的随机因素的综合影响而，当某随机变量是有大量相互独立的随机因素的综合影响而形成，且每一个别因素所起作用都相对微小时，该随机变量往往近似服从正态分布。形成，且每一个别因素所起作用都相对微小时，该随机变量往往近似服从正态分布。第19页/共96页 实际中满足中心极限定理条件的随机现象很多，当现象也是过程参数实际中满足中心极限定理条件的随机现象很多，当现象也是过程参数t t的函的函数时即形成高斯随机过程。数时即形成高斯随机过程。高斯随机过程的高阶统计函数可以由高斯随机过程的高阶统计函数可以由1 1 1 1，2 2 2 2阶函数表示的性质以及线性变换不阶函数表示的性质以及线性变换不改变其高斯分布特性的性质使它在理论和实践上都有很大重要性。改变其高斯分布特性的性质使它在理论和实践上都有很大重要性。第20页/共96页 在常见的均值函数为常数（或简单函数）的情况下，习惯通过线性位移变换在常见的均值函数为常数（或简单函数）的情况下，习惯通过线性位移变换将考虑的运动静态工作点移到零，这导致均值函数为零，称为零均值化。将考虑的运动静态工作点移到零，这导致均值函数为零，称为零均值化。因此最关心的系统动态特性的统计特征就主要由因此最关心的系统动态特性的统计特征就主要由2 2 2 2阶矩函数阶矩函数相关函数代相关函数代表，这更加突出了相关函数在随机振动分析中的作用。表，这更加突出了相关函数在随机振动分析中的作用。第21页/共96页2.2.平稳随机过程 如果一随机过程与过程参数如果一随机过程与过程参数t t的起点无关，该随机过程即称为平稳随机过程；的起点无关，该随机过程即称为平稳随机过程；如果随机过程与过程参数如果随机过程与过程参数t t的起点有关，该随机过程则称为非平稳随机过程。的起点有关，该随机过程则称为非平稳随机过程。平稳随机过程的概率结构可表为平稳随机过程的概率结构可表为 第22页/共96页p p(x x1 1,t t1 1)p p(x x1 1,t t1 1+t t t t)，p p(x x1 1,t t1 1;x x2 2,t t2 2)=)=p p(x x1 1,t t1 1+t t t t ;x x2 2,t t2 2+t t t t)，p p(x x1 1,t t1 1;x x2 2,t t2 2;x xn n,t tn n)=)=p p(x x1 1,t t1 1+t t t t ;x x2 2,t t2 2+t t t t;x xn n,t tn n+t t t t)(1.5-6)其中t为任意常数。第23页/共96页 如果如果(1.5-6)(1.5-6)各式都成立，随机过程称为强平稳；如果只有前各式都成立，随机过程称为强平稳；如果只有前2 2式成立，则称为式成立，则称为弱平稳。弱平稳。一般情况下，判断是否强平稳非常困难，所谓平稳指的是弱平稳，简称平稳。一般情况下，判断是否强平稳非常困难，所谓平稳指的是弱平稳，简称平稳。对于高斯随机过程，因为高阶概率密度函数可由对于高斯随机过程，因为高阶概率密度函数可由1 1，2 2阶概率密度函数表达，弱阶概率密度函数表达，弱平稳即为强平稳。平稳即为强平稳。第24页/共96页 对平稳随机过程，对平稳随机过程，1 1 1 1阶概率密度函数与参数阶概率密度函数与参数t t无关，可写为无关，可写为p p(x x)。由由(1.5-3)(1.5-3)可知它的均值函数与时间无关，记为可知它的均值函数与时间无关，记为m m m mx x。2 2 2 2阶概率密度函数只与时间差阶概率密度函数只与时间差t t t t=t t2 2-t t1 1有关，可写为有关，可写为p p(x x1 1,x x2 2,t t t t)。对于平稳。对于平稳随机过程的随机过程的2 2 2 2阶矩函数阶矩函数相关函数，有下列性质相关函数，有下列性质:第25页/共96页(1)(1)R Rxxxx(t t1 1,t t2 2)=)=R Rxxxx(t t t t)，R Rxyxy(t t1 1,t t2 2)=)=R Rxyxy(t t t t)，t t t t=t t2 2 -t t1 1。(2)(2)R Rxxxx(t t t t)=)=R Rxxxx(-t t t t)；当当t t t t=0=0时，有时，有R Rxxxx(0 0 0 0)=)=E E x x(t t)x x(t t)=)=s s s sxxxx2 2，其中，其中s s s sxxxx2 2为均方值且与时间无关。为均方值且与时间无关。(3)(3)R Rxyxy(t t t t)=)=R Ryxyx(-t t t t)。第26页/共96页（4 4）（5 5）（6 6）具体有具体有特别特别 第27页/共96页（7 7）如果）如果R Rxxxx(t t t t)是关于是关于t t t t的衰减函数，且均值函数的衰减函数，且均值函数m m m mx x=0=0，有，有 如果如果m m m mx x不等于零，则不等于零，则 第28页/共96页（8 8 8 8）设）设Z Z(t t)=)=X X(t t)+)+Y Y(t t)为两个平稳随机过程为两个平稳随机过程X X(t t)和和Y Y(t t)之和，有之和，有R Rzzzz(t t t t)=)=R Rxxxx(t t t t)+)+R Ryyyy(t t t t)+)+R Rxyxy(t t t t)+)+R Ryxyx(t t t t)；如果如果X X(t t)和和Y Y(t t)不相关，就有不相关，就有R Rzzzz(t t t t)=)=R Rxxxx(t t t t)+)+R Ryyyy(t t t t)。第29页/共96页3.3.各态历经性 上述概率密度函数或矩函数都是在样本函数空间中定义的。即使计算低阶矩上述概率密度函数或矩函数都是在样本函数空间中定义的。即使计算低阶矩函数也要求在样本函数空间中平均。函数也要求在样本函数空间中平均。理论上，样本函数空间要求无穷多个样本函数才算完备。理论上，样本函数空间要求无穷多个样本函数才算完备。第30页/共96页 实际上可以获取的试验样本函数的个数通常是非常有限的，这就为实际数字实际上可以获取的试验样本函数的个数通常是非常有限的，这就为实际数字特征量计算要求的样本平均带来了困难。特征量计算要求的样本平均带来了困难。为解决这个问题，并通过对实际的随机过程的大量观察分析，提出了对某些为解决这个问题，并通过对实际的随机过程的大量观察分析，提出了对某些随机过程有各态历经性的假设。随机过程有各态历经性的假设。第31页/共96页 所谓各态历经假设，是建筑在这样的物理观察和总结上的：所谓各态历经假设，是建筑在这样的物理观察和总结上的：如果某一随机过程的概率结构与时间如果某一随机过程的概率结构与时间t t的起点无关，对它的一个样本函数，的起点无关，对它的一个样本函数，如果演进时间无穷长，此样本函数可取得其样本函数空间所包含的所有概率如果演进时间无穷长，此样本函数可取得其样本函数空间所包含的所有概率可能性；可能性；即它可以经历系统所有的可能状态，这随机过程就被称为有各态历经性。即它可以经历系统所有的可能状态，这随机过程就被称为有各态历经性。第32页/共96页 在此假设下，各数字特征计算所要求的多个样本函数的样本平均就转化为只要求一个样本函数的时域平均。在此假设下，各数字特征计算所要求的多个样本函数的样本平均就转化为只要求一个样本函数的时域平均。第33页/共96页 建立数字特征量的时间平均表达。对考察长度为建立数字特征量的时间平均表达。对考察长度为T T的一段样本函数的一段样本函数x x(t t)进行进行时间平均，各阶矩函数的表达式为时间平均，各阶矩函数的表达式为 (1.5-7)(1.5-7)第34页/共96页(1.5-7)(1.5-7)各式中的各式中的s s标明它们都是随所用样本函数不同而不同的随机变量，它们标明它们都是随所用样本函数不同而不同的随机变量，它们也与考察时间长度也与考察时间长度T T有关。有关。如果有如果有 (1.5-8)(1.5-8)第35页/共96页 即即(1.5-7)(1.5-7)中的各式当中的各式当T T趋于无穷大时都有极限存在，并且这些极限还与选趋于无穷大时都有极限存在，并且这些极限还与选用那一个样本函数无关，则此随机过程用那一个样本函数无关，则此随机过程X X(t t)是严格各态历经的；是严格各态历经的；如果如果(1.5-8)(1.5-8)中只有前两式成立，则称此随机过程中只有前两式成立，则称此随机过程X X(t t)是是2 2 2 2阶各态历经。一阶各态历经。一般情况下所讲的各态历经性，指的就是般情况下所讲的各态历经性，指的就是2 2 2 2阶各态历经。阶各态历经。很明显，各态历经随机过程一定是平稳随机过程；反之则不一定成立。很明显，各态历经随机过程一定是平稳随机过程；反之则不一定成立。第36页/共96页4.4.功率谱密度函数 设平稳随机过程设平稳随机过程X X(t t)的自相关函数为的自相关函数为R Rxxxx(t t t t)，R Rxxxx(t t t t)的傅立叶变换存在，记的傅立叶变换存在，记为为(1.5-9)(1.5-9)S Sxxxx(w w w w)称为称为X X(t t)的自功率谱密度函数，是的自功率谱密度函数，是w w w w的非负实偶函数，的非负实偶函数，w w w w为圆频率。为圆频率。S Sxxxx(w w w w)与与R Rxxxx(t t t t)形成傅立叶变换对，即又有形成傅立叶变换对，即又有 第37页/共96页 要要(1.5-9)(1.5-9)和和(1.5-10)(1.5-10)的傅立叶变换对存在，对变换函数有一定数学性质的要求。根据傅立叶变换存在性的傅立叶变换对存在，对变换函数有一定数学性质的要求。根据傅立叶变换存在性的绝对可积条件，可以证明，的绝对可积条件，可以证明，(1.5-9)(1.5-9)存在的要求是存在的要求是 (1.5-11)(1.5-11)(1.5-10)第38页/共96页(1.5-11)(1.5-11)成立要求成立要求 ，这要求过程，这要求过程X X(t t)的均值的均值m m m mx x=0=0，此对，此对一般平稳随机过程成立（或可以通过零均值化成立）。一般平稳随机过程成立（或可以通过零均值化成立）。其物理基础是：随着两时刻间隔其物理基础是：随着两时刻间隔t t t t趋于无穷大，两时刻对应的随机过程值之间趋于无穷大，两时刻对应的随机过程值之间的相关性应趋于零。的相关性应趋于零。第39页/共96页 如均值不等于零，可通过线性变换如均值不等于零，可通过线性变换Y Y(t t)=)=X X(t t)-m m m mx x来进行零均值化。来进行零均值化。可以对照的是，对一般平稳随机过程可以对照的是，对一般平稳随机过程X(X(t t)，由于平稳性的要求，肯定没有，由于平稳性的要求，肯定没有 ，因此不满足绝对可积条件使得，因此不满足绝对可积条件使得X(X(t t)的傅立叶变换并不存在。的傅立叶变换并不存在。因此直接对因此直接对X(X(t t)作傅立叶变换以讨论其频谱是要非常小心的。作傅立叶变换以讨论其频谱是要非常小心的。第40页/共96页 对于工程常用的以对于工程常用的以H H H Hz z z z计的频率变量计的频率变量f f，因为，因为w w w w=2=2=2=2p p p pf f，并考虑到，并考虑到e e-j j wtwtwtwt=coscoswt-wt-wt-wt-j jsinsinwt wt wt wt 以及自相关函数的偶函数性质以及自相关函数的偶函数性质,有有 (1.5-12)(1.5-12)(1.5-13)(1.5-13)可以证明，有可以证明，有 S Sxxxx(f f)=2)=2p p p pS Sxxxx(w w w w)(1.5-14)(1.5-14)第41页/共96页 由于工程上负频率无意义，故分析中有时要使用单边谱密度，其定义为由于工程上负频率无意义，故分析中有时要使用单边谱密度，其定义为 (1.5-15)(1.5-15)对自相关函数有对自相关函数有 (1.5-16)(1.5-16)第42页/共96页 自功率谱密度函数的物理意义。对自功率谱密度函数的物理意义。对(1.5-13)(1.5-13)令令t t t t=0=0，有，有 可见，过程可见，过程X X(t t)的平均能量的平均能量s s s sxxxx2 2可由可由S Sxxxx(f f)在全频带在全频带(，)()(或单边谱或单边谱GGxxxx(f f)在正频带在正频带(0(0，)上积分得到，由此说明上积分得到，由此说明S Sxxxx(f f)代表了随机振动过代表了随机振动过程程X X(t t)的平均能量在频率域上的分布情况。的平均能量在频率域上的分布情况。第43页/共96页 考察平稳随机振动位移考察平稳随机振动位移X X(t t)功率谱密度函数与对速度和加速度的功率谱密度函功率谱密度函数与对速度和加速度的功率谱密度函数的关系。数的关系。设对设对X X(t t)功率谱密度函数为功率谱密度函数为S Sxxxx(w w w w)，则由自相关函数的微分性质，有，则由自相关函数的微分性质，有 第44页/共96页 (1.5-17)(1.5-17)(1.5-18)(1.5-18)对应于考虑两平稳随机过程对应于考虑两平稳随机过程X X(t t)和和Y Y(t t)的互相关函数，可以定义互功率的互相关函数，可以定义互功率谱密度函数为谱密度函数为 (1.5-19)(1.5-19)第45页/共96页 其逆傅立叶变换为其逆傅立叶变换为(1.5-20)(1.5-20)(1.5-21)(1.5-21)即即S Syxyx(w w w w)是是S Sxyxy(w w w w)的复共轭。上标的复共轭。上标“*”“*”代表复共轭。代表复共轭。第46页/共96页可以证明可以证明 (1.5-22)(1.5-22)第47页/共96页5.5.平稳随机过程的谱特性分类 由于自功率谱密度函数由于自功率谱密度函数S Sxxxx(f f)（或（或GGxxxx(f f)）反映了平稳随机过程的平均能量随频率分布的特性，可以根据它）反映了平稳随机过程的平均能量随频率分布的特性，可以根据它分类一些典型平稳随机振动过程，以便把握它们的本质特征。分类一些典型平稳随机振动过程，以便把握它们的本质特征。第48页/共96页1)1)窄带平稳过程窄带平稳过程 典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图 (a)(a)，(b)(b)和（和（c c）。谱带宽相比于它的中心频率）。谱带宽相比于它的中心频率w w w wc c大概要小一个数量级。谱分量主要集中在中心频率附近，说明振动能量主要在大概要小一个数量级。谱分量主要集中在中心频率附近，说明振动能量主要在w w w wc c附近。附近。第49页/共96页图图 (a)(a)窄带过程单边谱窄带过程单边谱 (b)(b)相关函数相关函数R Rx x(t t t t)(c)(c)时域样本函数时域样本函数x x(t t)第50页/共96页 一般随机振动经过缓冲系统后，响应往往是窄带随机振动。一般随机振动经过缓冲系统后，响应往往是窄带随机振动。例如汽车在凹凸不平的道路上行驶时，车身的振动即为窄带随机振动。这是例如汽车在凹凸不平的道路上行驶时，车身的振动即为窄带随机振动。这是因为汽车具有缓冲系统，只有车身部件的固有频率附近频带的振动才能传至因为汽车具有缓冲系统，只有车身部件的固有频率附近频带的振动才能传至车身，使车身在比较窄的频带范围振动。车身，使车身在比较窄的频带范围振动。第51页/共96页 观察窄带随机振动的时域历程曲线可以发现，它的峰值变化是随机的，但却近似地具有周期性，好像是峰观察窄带随机振动的时域历程曲线可以发现，它的峰值变化是随机的，但却近似地具有周期性，好像是峰值随时间随机变化的正弦振动，所以有时也称它为准正弦振动。值随时间随机变化的正弦振动，所以有时也称它为准正弦振动。第52页/共96页2)2)2)2)宽带平稳过程宽带平稳过程 宽带平稳过程的谱带宽分布于较宽的范围，带宽与中心频率相比是同数量级的，或更大。其典型谱密度函宽带平稳过程的谱带宽分布于较宽的范围，带宽与中心频率相比是同数量级的，或更大。其典型谱密度函数，相关函数和时域样本函数分别如下图。数，相关函数和时域样本函数分别如下图。第53页/共96页图(a)宽带过程单边谱 (b)相关函数Rx(t t)(c)时域样本函数x(t)第54页/共96页3)3)理想白噪声过程理想白噪声过程 白噪声过程是宽带平稳过程的极限特例。对此过程有白噪声过程是宽带平稳过程的极限特例。对此过程有S Sxxxx(f f)=)=S So o(或或GGxxxx(f f)=2)=2S So o)，S So o为常数。谱密度在整个频率轴为常数。谱密度在整个频率轴(,)上均匀分布，即频上均匀分布，即频带宽达整个频率轴。带宽达整个频率轴。白噪声过程的自相关函数为白噪声过程的自相关函数为R Rxxxx(t t t t)=2)=2p p p pS S0 0d d d d(t t)，是集中在，是集中在t t t t=0=0处强度为处强度为2 2p p p pS So o的的脉冲函数。脉冲函数。第55页/共96页 而而t t t t=0=0处等于无穷大，处等于无穷大，t t t t0 0 0 0处都等于零的处都等于零的d d d d函数性质说明白噪声过程函数性质说明白噪声过程“自己自己”与与“自己自己”的相关性为无穷大，任何不是的相关性为无穷大，任何不是“自己自己”的两点间的的两点间的相关性为零。相关性为零。第56页/共96页 由于能量被要求均匀分布于整个频率轴，白噪声过程的均方值为由于能量被要求均匀分布于整个频率轴，白噪声过程的均方值为s s s sxxxx2 2 2 2=E E x x2 2(t t)=)=R Rxxxx(0)=(0)=。这要求其平。这要求其平均能量为无穷大，这在物理上是不可实现的。因此理想白噪声只有理论上的意义。均能量为无穷大，这在物理上是不可实现的。因此理想白噪声只有理论上的意义。第57页/共96页 在某一有限频带内有常数谱密度在某一有限频带内有常数谱密度S So o的有限带宽白噪声过程物理上是可能实现；如果该有限频带带宽的有限带宽白噪声过程物理上是可能实现；如果该有限频带带宽“相对相对”较大，可以一定程度上视为理想白噪声过程。较大，可以一定程度上视为理想白噪声过程。第58页/共96页3 3 线性系统在平稳随机激励下的响应 1.1.1.1.单自由度系统单自由度系统 设系统是确定性的，激励为随机性的，对应的随机运动微分方程可写为设系统是确定性的，激励为随机性的，对应的随机运动微分方程可写为 （1.5-231.5-23）第59页/共96页 设设F Fr r(t t)为为平平稳稳随随机机激激励励力力过过程程，X X即即为为随随机机位位移移响响应应过过程程，z z z z和和w w w wn n如如前前定定义义为确定的系统特征参数。为确定的系统特征参数。假定初始时刻系统处于静止，即假定初始时刻系统处于静止，即 （1.5-241.5-24）第60页/共96页 线性系统随机响应分析研究的是线性系统随机响应分析研究的是随机微分方程的均方意义下的解过程随机微分方程的均方意义下的解过程，要获，要获得该解过程的概率结构及建立它们与激励随机过程的概率结构之间的联系。得该解过程的概率结构及建立它们与激励随机过程的概率结构之间的联系。根据线性随机常微分方程解的构成理论，在线性情况下，对确定性系统，随根据线性随机常微分方程解的构成理论，在线性情况下，对确定性系统，随机激励的机激励的均方解均方解与确定性激励的解有相同的形式。由此，根据前零初始条件与确定性激励的解有相同的形式。由此，根据前零初始条件下响应的杜哈梅积分表达式（下响应的杜哈梅积分表达式（1.2-281.2-281.2-281.2-28），有），有 第61页/共96页 h h(t t)为（为（1.2-251.2-251.2-251.2-25）定义的系统的单位脉冲响应函数。考察响应过程的数字特）定义的系统的单位脉冲响应函数。考察响应过程的数字特征，如前所述，仍主要关心其征，如前所述，仍主要关心其1 1 1 1，2 2 2 2阶矩函数。阶矩函数。响应均值函数为响应均值函数为 （1.5-251.5-25）第62页/共96页将（将（1.2-251.2-251.2-251.2-25）代入上式，有）代入上式，有 考虑稳态响应令考虑稳态响应令t t，有，有 系统（系统（1.5-231.5-231.5-231.5-23）的频率响应函数）的频率响应函数HH(w w w w)为为（1.5-261.5-261.5-261.5-26）（1.5-271.5-271.5-271.5-27）（1.5-281.5-281.5-281.5-28）第63页/共96页 为激励的均值，如果它为零，则响应均值亦为零；否则，稳态响应的均值将以为激励的均值，如果它为零，则响应均值亦为零；否则，稳态响应的均值将以HH(0)(0)为乘数放大；对瞬为乘数放大；对瞬态情况，（态情况，（1.5-261.5-261.5-261.5-26）表明响应均值函数和时间有关，因此是非平稳的。）表明响应均值函数和时间有关，因此是非平稳的。第64页/共96页响应自相关函数为响应自相关函数为 由（由（1.5-291.5-291.5-291.5-29）可见，即使激励是平稳随机过）可见，即使激励是平稳随机过程，响应一般也不是平稳随机过程。这对计程，响应一般也不是平稳随机过程。这对计算响应的数字特征带来麻烦，所幸的是可以算响应的数字特征带来麻烦，所幸的是可以通过考虑稳态情况使问题相对简化。通过考虑稳态情况使问题相对简化。（1.5-291.5-291.5-291.5-29）第65页/共96页由定义可知由定义可知将上代入相关函数（将上代入相关函数（1.5-291.5-291.5-291.5-29），有），有 （1.5-301.5-301.5-301.5-30）（1.5-311.5-311.5-311.5-31）第66页/共96页 将（将（1.2-251.2-251.2-251.2-25）的）的h h(t t)代入（代入（1.5-311.5-311.5-311.5-31），所得再代入（），所得再代入（1.5-301.5-301.5-301.5-30），整理后考），整理后考虑稳态情况令虑稳态情况令 令令t t t t=t t2 2-t t1 1，对照定义，对照定义 （1.5-321.5-321.5-321.5-32）（1.5-331.5-331.5-331.5-33）第67页/共96页（1.5-331.5-331.5-331.5-33）是平稳随机激励与响应的功率谱密度函数之间的关系，注意它只）是平稳随机激励与响应的功率谱密度函数之间的关系，注意它只适用于稳态情况。适用于稳态情况。以类似的方法，可以推导出响应和激励的自谱及互谱密度函数之间的关系，以类似的方法，可以推导出响应和激励的自谱及互谱密度函数之间的关系，有有 （1.5-341.5-341.5-341.5-34）（1.5-351.5-351.5-351.5-35）第68页/共96页2.2.多自由度系统 对于线性振动多自由度系统，随机运动微分方程扩展为矩阵方对于线性振动多自由度系统，随机运动微分方程扩展为矩阵方程，即程，即 由于考虑的系统本身是确定性的，质量、阻尼及刚度矩阵与前由于考虑的系统本身是确定性的，质量、阻尼及刚度矩阵与前（1.3-221.3-221.3-221.3-22）中定义的一样。）中定义的一样。（1.5-361.5-361.5-361.5-36）第69页/共96页 和单自由度系统解法类似，随机响应向量的解法可以利用对确定性的线和单自由度系统解法类似，随机响应向量的解法可以利用对确定性的线性多自由度系统的模态分析法。性多自由度系统的模态分析法。设系统本身满足利用实模态分析法的条件，令设系统本身满足利用实模态分析法的条件，令 （1.5-371.5-371.5-371.5-37）第70页/共96页 为系统的正则化实模态矩阵；为系统的正则化实模态矩阵；Y Y为对应的随机模态坐标响应向量。将（为对应的随机模态坐标响应向量。将（1.5-371.5-371.5-371.5-37）代入（）代入（1.5-361.5-361.5-361.5-36），左乘），左乘 ，由正交性得解耦的随机模态响应坐标方程为，由正交性得解耦的随机模态响应坐标方程为 （1.5-381.5-381.5-381.5-38）第71页/共96页 假设系统初始条件为零，则各随机模态坐假设系统初始条件为零，则各随机模态坐 标响应的初始条件都为零。标响应的初始条件都为零。对杜哈梅积分，对杜哈梅积分，可以证明它的一个等价形式为可以证明它的一个等价形式为 （1.5-391.5-391.5-391.5-39）（1.5-251.5-251.5-251.5-25）第72页/共96页 在随机响应分析时，认为（在随机响应分析时，认为（1.5-391.5-391.5-391.5-39）与（）与（1.5-251.5-251.5-251.5-25）是有差别的。差别在于）是有差别的。差别在于（1.5-391.5-391.5-391.5-39）的积分上下限扩展到正负无穷大是对应于系统的稳态响应；而）的积分上下限扩展到正负无穷大是对应于系统的稳态响应；而（1.5-251.5-251.5-251.5-25）积分上下限在）积分上下限在 0 0,t t 之间而对应瞬态响应情况