第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题（解析版）.docx

第2讲空间几何体运动轨迹与长度问题一、单项选择题1. （2022全国高三专题练习（理）正方体A8CO-A'8'C'D的棱长为4, E,歹分别 为BB C'。'的中点，点P在平面中，尸尸=2指，点N在线段AE上，那么以下结论 正确的个数是（）点P的轨迹长度为2 ；线段FP的轨迹与平面ABCD的交线为圆弧;NP的最小值为6行T° ； *过A、E、尸作正方体的截面，那么该截面的周长为孚+ ：匠+ 2石3 3A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】对于，根据圆的定义得到轨迹，并且中要注意点夕在平面4394上，而非正方形上；对于，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一局部就可以判断；对于，实 质是要计算中的圆心到直线AE的距离；对于，要先作出截面，然后再计算周长.【详解】 设49的中点为0,那么点P的轨迹是平面上以。为圆心，以2为半径的圆，所以点P的轨迹长度为4»,故错误；连接R9,易知线段F尸的轨迹是圆锥尸。的侧面，而平面4夕CO与轴尸。不垂直，所以线段EP的轨迹与平面的交线不是圆弧，故错误；以的中点。为原点，分别以49水平向右、垂直平分49为1轴、轴建立平面直角坐标系，那么AE所在的直线方程为x 2y 6 =。，那么点。到直线x 2y 6 =。的距离为八桂二竿'所以NP的最小值为竿一2 =个故正确;如以下图，过A2尸作正方体的截面，为五边形A项/G,其中"为9。的靠近C'的三等【解析】【分析】A选项，作出辅助线，得到点。在线段nG上，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，作出辅助线，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到区产+巴） 的最小值，求出答案；C选项，作出辅助线，找到直线AP与面AAE的交点轨迹，求出长度；D选项，作出辅助线，分P位于线段。Z上和线段3Z上，分别求出截面的最大面积，比拟 得到结果.【详解】取中点兄的中点G,连接4尸，AQ, FG,那么而=通，ULUl UUU UUII1因为AP = /L43 + AO， = 5，Ae0,1所以衣=2而+/，即点P在线段所上，因为E为线段AA的中点，那么4E = A尸，故4ER=小，7T所以 NAA/= NA，E，由于 NA4E + NAA尸=/44£ + /44月=一，2所以AR£,又6b_1_平面人。，4，4尸匚平面4。，4，所以GF _1_2E，因为GbcA = b,所以平面A/G,所以4PJ.£A，A正确；所以4PJ.£A，A正确；Bi因为APu平面4尸G,BB选项在回上取点凡使得加=!砥在"上取点K,故答案为：巫兀. 350. (2022宁夏石嘴山市第三中学高三期末(理)如图正方体A3CO-A4CQ的棱长为4, 点M是棱4”的中点，点P在面A5CD内(包含边界)，且MP = 26，那么以下四个命题中:点P的轨迹的长度为2万存在尸，使得MP，4c直线MP与平面BQRg所成角的正弦值最大为当)沿线段的轨迹将正方体ABC。-AqGA切割成两局部，挖去体积较小局部，剩余部 分几何体的外表积为88 + 2(逐- 1)乃其中正确命题的序号是.【答案】【解析】【分析】取AO的中点N,求得MRNP的值，确定点P的轨迹，建立合适的空间直角坐标系，求出 所需点的坐标和向量的坐标，设尸(2cosa2 + 2sina。)，由此利用圆的周长公式、空间向量 的数量积的公式，和柱体和锥体的面积公式，分别对四个选项逐一分析，即可求解.【详解】取AQ的中点N,那么MNJL平面A8CO,又由NPu平面ABC。，所以MNLNP,因为 MP = 26,所以 NP = J(26)242 = 2,所以点P的轨迹是以N为圆心，半径为2的圆位于正方形ABCZ)内部的局部，如图(1)所示，以A为坐标原点，A5为x轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示，那么 4(0,0,4),C(4,4,0),M(0,2,4),JT1T设 PQ cos a 2 + 2 sin & 0),(< 6 < -),22对于中，点P的轨迹长度为x2x"x2 = 2»，所以正确；对于中，A。=(4 4, 一4), MP = (2 cos 仇 2 sin 6, -4),所以市,标= 8cose + 8sine + 16 = 8gsin(e + () + 16>0,所以不正确;对于中，取平面片的法向量为 = （l/,0）,那么 sintMP,力=MPn疝（"?号,当且仅当”5时取等号,所以直线与平面所成角的正弦值最大为冷，所以不正确;对于中，如图（1）所示，挖去局部为半圆锥，原正方体的外表积为S = 6x4x4 = 96,挖去局部面积为5=8 + 2,新增加局部面积为S2 = ； x 2后x 2%=2后,所以新几何体的外表积为S-S1+S2=88 + 2（6-1）"，所以正确.故答案为：图2图251. （2022.四川省叙永第一中学校模拟预测（文）正方体A8CQ-44G2棱长为3,点E 在边上，且满足3E=2EC动点M在正方体外表上运动，并且总保持那么动 点”的轨迹的周长为【答案】6H【解析】【分析】根据题意，需找到一个与直线垂直的面世C,然后作平面瓦6平面世。，那么直线5。 垂直面EFG上任意一条直线，即可确定动点的轨迹即为及G的三条边，最终可得出结 果.【详解】如图：AAG连接AC, BD, .四边形ABC。为正方形，乂，,正方体 ABCD ABCiR 中，DD ± |f ABCD, AC cz |I| ABCD.:.DD.LAC 9 又因为 BDG。=D, BD, OQu 平面 8。，面8。，. BQ.同理可证AM，平面43。，即得. BD 1 AC , BD 1 AB. . BD, 1 面 ABC .过点E作EF / BC交5用于点尸，再过点F作FG/AB. A8于点G .很明显，平面石FG 平面AgC. BQ 1 平面 EFG.：,M只在平面石FG上运动才能保持ME ± BD、,又动点”在正方体外表， 动点M的轨迹即为aEFG的三条边.在 RtZSBE户中，BE=BF = 2,EF =1BE? + BF? = V22 + 22 = 272 动点"的轨迹的周长为20x3 = 6后.故答案为：672.52. （2022.青海海东市教育研究室一模（理）。为正方体ABC。-ABCA外表上的一 动点，且满足|/科=血归瓦4? = 2,那么动点。运动轨迹的周长为.【答案】（后+1卜【解析】【分析】首先根据条件确定尸点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹 的长.【详解】 由|尸川二夜|尸斗45 = 2可知，正方体外表上到点A距离最远的点为C1所以P点只可能在面人3耳4,面ABCZ),面58CC上运动，当尸在面A3CO上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，那么 A(0,0),B(2,0),设尸(x,y),由 1PH=阳尸同得:x24-y2=2(x-2)2 + /,即(x-4)2 + y2=8,即P点在平面ABCD内的轨迹是以£ (4,0)为圆心，以20 为半径的一段圆弧，因为 E4 = 20,BE = 2，故 N3£C = H , 4所以尸点在面ABCD内的轨迹的长即为工><2五=叵 42同理，P点在面内情况亦为工x20 = 叵； 42P点在面BBC。上时，因为4PBA = gTT所以 NPA3 = ,PB = 2,4所以此时尸点轨迹为以8为圆心，2为半径的圆弧，其长为一x2ttx2 = , 4综上述，尸点运动轨迹的周长为2x警+”加，故答案为：UUll UUU UUll1因为AP = /L4B + AD，2 = " AeO,l所以点P在线段HK上，将平面与"KG与平面A/7KZ）沿着HK展开到同一平面内，如图1,连接用。交/K于点P,即三点共线时，用。+&）取得最小值，I（if 55 1其中由勾股定理得：用" = .22+ -所以9=彳+3, 1 R22 2所以4。="导=5/m，故B正确；UlUl UUU UUUC 选项，AP = 4AB + AD，Z£O,1, 2 + 4 = 1 Q寸，由向量共线定理的推论可得：P点在线段8。上，连接交B'E于点、M,交于点N,连接MN, 那么线段MN即为直线P与面的交点轨迹，其中三角形4次）是等边三角形，ZBA.D = 60AM A,E 1厂-2x/2由二角形相似可知：而=而43 = 20,所以,MB 2113同理可得：A、N二当,所以三角形A"N是等边三角形，所以MN = AN = £ 直线4尸与面4石的交点轨迹长度为平'c错误;由C选项的分析可知，：P点在线段8。上，连接AC, 8。相交于点Z,当P位于线段OZ上时，连接AP并延长交C。于点Q,连接，Q,那么平面以，截正方体所得图形为三角形，A。，那么当P与Z重合时，。与。重合，此时截面三角形。质。面积最大，面积为¥乂（2a）2=2百；当P位于线段BZ上时，如图3,连接4P并延长，交BC于点卬，过点W做松交CC于点凡连接那么四边形AWR，即为平面尸A2截正方体所得的截面，设8W = x,那么由平行性质可知：QR = x,那么AW = "l4 + f ,所以四边形AWRA为等腰梯形，其中尺卬=及（2 X）,设梯形的高为，那么=小旷_（独峭2 =新 + 4 ,那么截面面积为0（2一力+ 2血.口知+4 =（,2 V22如图4所示，直角三角形A'3'C,直角边所5' = 20,5'C' = 4,在3'。'上取一点。口连接AD,那么三角形AfDfC的面积即为（j）'x2+8 ,2显然当x = 0时，面积取得最大值，最大面积为40，因为4夜2百，所以2 + = 1时，正方体被平面PAR截的图形最大面积是4正，D正确.A9应选：ABD【点睛】立体几何中的点的运动轨迹问题，或线的运动轨迹问题，要结合题目特征，利用平行或垂直 关系，找出轨迹是线段或圆弧，或是椭圆，抛物线等，进而求出相应的轨迹长度.JT8. （2022湖南岳阳,三模）如图，在直棱柱中，各棱长均为2, ZABC = -,，那么以下说法正确的选项是（）A.三棱锥a-A3C外接球的体积为空叵兀27B.异面直线A与8G所成角的正弦值为" 2C.当点M在棱8片上运动时，阿口 +|最小值为215 + 2GD. N是ABC。所在平面上一动点，假设N到直线AA与的距离相等，那么N的轨迹为抛物【答案】ACD【解析】【分析】A选项，求出ABC的外接圆半径，进而求出三棱锥A外接球的半径，求出体积；B 选项，作平行线，找到异面直线A片与8G所成角，用余弦定理求出余弦值，进而求出正弦 值；C选项，将平面A3左4与平面沿着公共边折叠到同一平面内，利用勾股定 理进行求解；D选项，由抛物线定义进行判断.【详解】71因为在直棱柱A8C0-A4G2中，各棱长均为2,乙钻所以A8C为等边三角形，设三棱锥4 - ABC外接球球心为。，那么0在底面ABC的投影为48C的中心H,2R 2 _4 6设A8C外接圆半径为凡 由正弦定理得：八一一一飞一，sin 3所以48C外接圆半径为拽，3设三棱锥4-A3。外接球的半径为八那么一代+仔=汩_, 3故三棱锥4-A3C外接球的体积为33=空兀，a正确； 327连接A。，BR,那么A"/5G，且从图中可以看出/片入，为锐角，所以异面直线Ag与BG所成角即为Ng A，由勾股定理得：AB、=AD1=2垃,由余弦定理得：4。= J4+4-2x2x2cosl20。=26,Q i Q _ 1 O 1故在AAA中，由余弦定理得：cosNgg=.：W， 2x84所以sin/gA"=卜上=姮,B错误；V 164将平面ABB与平面B'BDD】沿着公共边3片折叠到同一平面内，如图连接A。，与3A的交点即为+ 取得最小值的此时的长度即为最小值，其中 1Ml = 2, |AD|=|A5|+|阳=2+26,由勾股定理得：4。| = ,4 +（2 + 2道=255 + 26，c正确；因为AA J_平面ABCD,故点N到直线AA.的距离即为|4V|的长，又因为8Cu平面A3CO,故在平面A3CO上，到一点N的距离等于到直线5C的距离，由抛物线的定义可知：N的轨迹为抛物线，D正确.应选：ACD【点睛】求解立体几何图形的外接球或内切球问题，要能抓住关键点，比方球心的位置确实定，通常 情况下先找球心在某个三角形或者四边形中的投影来确定.9.（2022广东高二阶段练习）正方体ABC。-AgCQ的棱长为2,点P为正方形A3C。所在平面内一动点，那么以下命题正确的有（）A.假设点p总满足PR J_z)G，那么动点p的轨迹是一条直线B.假设点尸到直线8月与到直线。的距离相等，那么点P的轨迹为抛物线C.假设点P到直线。2的距离与到点C的距离之和为2,那么动点尸的轨迹是椭圆D.假设。P与A3所成的角为那么点尸的轨迹为双曲线【答案】ABD【解析】【分析】A选项，证明出线面垂直，从而找到点P的轨迹就是直线8C A错误；B选项，由线面垂 直得到P3是点尸到直线8月的距离，从而得到点P的轨迹是以点8为焦点，直线QC为准 线的抛物线；C选项，得到满足条件的点P的轨迹就是线段DC,不是椭圆；D选项，建立 空间直角坐标系，得到空间向量夹角坐标公式求出点尸的轨迹，为双曲线.【详解】对于 A,在正方体 ABC。44GA 中，DC,±D,C, DC 1 BC , DyCBC = C , 所以。C平面A/C。，而点P在侧面A3CQ上运动，且尸。_LQG， 所以点尸的轨迹就是直线8C,故A正确；对于B,由正方体性质知，8耳，平面ABCZ),由线面垂直的性质定理知,即PB是点、P到直线8月的距离，在平面ABCD中，点P到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，所以点P的轨迹是以点B为焦点，直线。为准线的抛物线，故B正确；对于C,假设点尸到直线DR的距离就是点P到点D的距离，即平面AB。内的点。满足|p"+|pq=2=|oq,即满足条件的点尸的轨迹就是线段OC,不是椭圆，故C不正确；对于D,如图以。为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，XXP (x, y, 0), £>,(0,0,2), A (2, 0, 0), B (2, 2, 0),那么" = (x,y,2),丽=(0,2,0),Dp AB2y利用空间向量求夹角知cos与=_ = 一/ 了；3 D、P AB 2xJjv24-/+4化简整理得：3y2_/=4,即彳一了 二 1,3所以P的轨迹为双曲线，故D正确.应选：ABD.【点睛】对于立体几何中的轨迹方程问题，要建立合适的坐标系，利用所学的解析几何知识，进行求解.10. （2022江苏南通模拟预测）设正方体ABCD A4G2的棱长为2,P为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，那么（）A.存在点P,使得A/P平面5cAB.当时，IA/PF的最小值是10 26C.假设APG的面积为1，那么动点P的轨迹是抛物线的一局部D.假设三棱锥尸一的外接球外表积为半，那么动点p的轨迹围成图形的面积为乃【答案】ABD【解析】【分析】A选项，作出辅助线，证明面面平行，从而得到点P在线段3。上；B选项，作出辅助线,找到14尸|2的最小值的位置，求出最小值；C选项，求出以AG为轴，半径为半的圆柱，与 平面A3CQ的交线即为P点的轨迹，是椭圆的一局部；D选项，根据外接球外表积求出外 接球半径，分析出动点P的轨迹是1为半径的圆，从而求出面积.【详解】A选项，连接848,那么片，ARu平面3c，平面8c，所以瓦) 平面BCR ,同理可证：AQ /平面BCD，而AQc 8。=。，所以平面AQB /平面BCD, 故点尸在线段BD上时，满足A/P平面ACR, A正确；AAB选项，取CO中点£,以石为圆心，EC为半径在平面A3CO中作圆，如图，为圆弧CO, 当P点在弧C。上时，能够满足PC_LPZ),连接AE交圆弧CO于点P,此时AP的长度最 小，那么IA/PK取得最小值，其中由勾股定理得：AE = VT+4 = V5 , AP = #-L由勾股定理 得：A.P2 = AP2 + AjA2 = (V5 -1)2 + 4 = 10- 275 , B 正确；连接AG，由勾股定理可得：|ACj = 2g,假设aAPG的面积为1，那么动点P到直线AG的距离为耳=£,以AG为轴，半径为由的圆柱，与平面43co的交线即为尸点的轨迹， 27333由平面知识可知：用平面不垂直于轴去截圆柱，得到的是椭圆的一局部，C错误；D选项，假设三棱锥p44G的外接球外表积为可，设外接球半径为凡 那么47比2=3兀， 44解得：/?=苧，设尸球心o在平面44G上的投影为尸，那么尸在线段AG的中点，Ab， 设点p在平面4与G。投影为G,过点。作。于点儿 连接。A，op,贝iOH二尸G, OF=HG, OA=OP = R =殍,其中尸G=2,那么由勾股定理得：0尸=收一卡=；,那么35 GH =-,PH = 2-GH =-,那么 OH = Jop2-PH2 =1，所以1G = 1,FP = J1 + 4 =石,所以 P 点到厂点的距离为定值逐，故动点P的轨迹围成图形是半径为1的圆，面积为兀，D正确.应选：ABD【点睛】对于外接球问题，要能找到球心和球心在特殊平面上的投影，比方此题中，由于底面是直角 三角形，所以球心在底面上投影是斜边中点，作出辅助线后利用勾股定理，余弦定理等列出 方程，求出半径.11.（2022.山东.高一阶段练习）如图，在棱长为36的正方体ABC。-A/GR中，点P是 平面A8G内一个动点，且满足OP+P4=5 + 2jF,那么以下正确的选项是（）3（参考数据：sin530 = -, sin 37° = -）5分点，G为。的靠近D的四等分点.可计算得 AG =142 + 32 = 5,G尸=，22+/=小,AEnd+A2 =26，ME =旧 + （$2 =学,五M = / +4）2 =半,故错误.所以该截面的周长为5 +石+ 2石+四+豆叵=生+ 36 + 亚， 3333应选：D.应选：D.【点睛】 关键点睛：此题一是要注意点P在平面A班，4上，而非正方形A班，4上，二是要正确的 作出过AE,产的截面.2. （2022.江西.模拟预测（理）正方体ABCD-ABCQ的棱长为3,点P在AC出的内部及其边界上运动，且。P = JI7,那么点P的轨迹长度为（）A.叵iB. 2 兀C. 20兀D. 3 兀【答案】A【解析】【分析】 连接BD、BR、BD, AG n与2 =£，连接be交与。于o,证明平面4GB得。OLOP, 求出。尸长度，确定。的位置，确定P的轨迹形状，从而可求P的轨迹长度.【详解】连接 A。、BD、BD,连接 A。、BD、BD,A. PBLBfiB.点P的轨迹是一个圆c.直线8/与平面AfC所成角为53。D.设直线与尸与直线A，所成角为凡 那么37。0"90。【答案】ABD【解析】【分析】此题很复杂，先要求出直线。片与平面45G的交点，判断其位置，利用点。到。与用的距 离之和为常数，计算出点P的运动轨迹，再进行分析.【详解】如上图，建立直角坐标系，各点坐标如下：4（330,0）,8（3后36,0），4（3后。,36），4（3后333码,0（0,3历3码 ,*= 06,3g,3百）,AQ =（-3V3,3>/3,0）, 48 = （0,373,-373）,那么有：DBrA = 0 , DBrA = Q，.二。q J" 平面 43G ；尸£平面436，/5，。3,故A正确；设。B1与平面AfG的交点为O,并设。（x,y,z）,由于。在。用上，设加=4函,x = y = z = 3a/3A , A(9 = (x-y,z-,由空间向量基本定理可知：4。=机43 + 401 =（一36,36加+ 3/,一3百加）,3 届=-3 岛 + 373得方程： 3曷=3岛1 + 3岛得方程： 3曷=3岛1 + 3岛解得:故0（252区26）,.£耳=43可+（3百+（3扃 =9 ，2DO = DB,=6 , OB, =3 ,将平面48G的直观图别离出来如下: 1OB； + OP2 = PB；0D2-0P2 = PD2依题意：DP+PB =5 + 2屈，04=3,00 = 6 , DB1 ±OP ,解得。夕=4 ,故P点的轨迹是以。为圆心，半径为4的圆,故B正确;与P与平面43G的夹角就是/3/。，sinNAPO = = g,故C错误;r £（3由于AR/ABG ,P与AR的夹角就是用P与8G的夹角，（3 石 3 m .由于。（26,26,26）,取A5的中点/，那么M 36,羊，丹一,= /A MOLA.B,知0 = 述 ,MO = -MQ ,即点。是VA/G的重心， 23V43C；是等边三角形，其边长为VL36=3指，.二以。为原点，为X轴，过。点垂直于GM的直线为y轴，建立坐标系如以下图:BiG各点坐标为：,芈,孚,01,。卜3&,0,0）田（0,0,3）,。（无,乂0）,用P = (x, y, - 3)|阿卜3后席卜5 ,设房与RP的夹角为。，那么 cos。=那么 cos。=BC'BP BCy.BP/x1 + y2 =6 ,6x+y <8.0<|cos|< ,即37°49490。；故D正确.应选：ABD.12. （2022广东,佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）如图，假设正方体的棱长为1,点M是 正方体A3CD-A4CQ的侧面AORA上的一个动点（含边界），P是棱CG的中点，那么以下 结论正确的选项是（）A.沿正方体的外表从点A到点P的最短路程为正2B.假设保持|PM|=0,那么点M在侧面内运动路径的长度为9c.三棱锥的体积最大值为: 6D.假设M在平面4。同内运动，且/加。3 = /用。3,点M的轨迹为抛物线【答案】AB【解析】【分析】A选项，把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间，线段最短进行求解，注意展开方式 可能有多种；B选项，找到点M在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求解弧长；C选项，利用 等体积法和建立空间直角坐标系，求出匕一gmq的最大值，即为最大值；D选项，在空 间直角坐标系中利用余弦定理得到点M的轨迹方程为线段.【详解】将平面ABBA,与平面BCC'Bi展开到同一平面内，连接APy此时AP ° += 姮，V （2）2也可将平面ABCD与平面展开到同一平面内，此时AP =1+； j =半， < ,故A正确； 22过点P作PEJL。交于点连接那么E为。的中点，PE=1,且P£J_平面AQAA，£Mu 平面所以因为由 |PM|=0可知，EM =PM2-PE2 =b 故加在侧面AORA上得轨迹为以E为圆心，1为半径的半圆，故点M在侧面内运动路径的长为吟g B正确; 63它-7c连接 C出,CQ , BD, MD, MB, "C ,那么 B3 = CQ = G8 = 3，所以 S。犷=1（后=立，以D为坐标原点，分别以D4, DC,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 那么。（0,0,0）, B（l,l,o）, q（0,1,1）,设 M（私 0川,（0<m<l, 0<n<l）,设平面 C/D 的法向量为 = （x,y,z）,那么一，令y = i,得：x = z = -l9 所以扑=（一1,一1）,n DCj = y + z =。设(20,/7)到平面。出。的距离为力，贝股=-m - nVl+l+l2 + 故当"2 = 1, n = 时，力取得最大值，为2 _273乖rr此时三棱锥B - CMD体积最大,V"gm。c错误;ms 3 233ms 3 233A a 夜遍所以cosNMQ13 =逅，连接MR, MB,因为M(%0,),cos /MD、B =cos /MD、B =MD； + BD； - MB)2MD BD、2m 一 2 + 22瓜/+gl)2=T，化简得:(0</n<l, 0<n<l),所以=苏+(_1)2 , MB = &m-iy+l +几2 ,m+n-=Q,可知M点的轨迹不是抛物线，D错误.X应选：AB【点睛】对于立体几何中的满足一定条件下的点的轨迹问题，往往需要建立空间直角坐标系来进行求 解，当然建立空间直角坐标系还可以求解角度和距离，将几何问题代数化可以大大减少思考 难度，提高做题效率.13. （2022.广东佛山.高二期末）如图，在棱长为2的正方体A3CD-A4CQ中，M为QQ的 中点，连接设3M的中点为£,动点N在底面正方形A3CO内（含边界）运动，那么下 列结论中正确的选项是（）A.存在无数个点N满足丽.丽7 = 0B.假设京=2祝，那么4, E, N三点共线C.假设|相|+|孙=26,那么|AN|的最大值为近TTD.假设与平面A3CZ）所成的角为不，那么点N的轨迹为抛物线的一局部【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，借助空间向量逐一分析各选项，计算判断作答.【详解】在正方体中，连接AC5。交于点o,取正方形A由G2中心。1,连0。那么。Q_L平面A3CQ,而建立如下图的空间直角坐标系，A(0,叵0),B(&0,0),C(0,0,0),Z)(-V2,0,0),“(-0,0,1),4(0,-72,2),那么线段 中点 E（0,0,1）,设 N（x, y, 0）（& < x<夜且血 < y < 0）, 乙对于 A,击= （x,y + 0,O）, W = （-2a/2,0,1）,由福加=0 得 x = 0,而-工 y 4 日所以存在无数个点N满足前.加=0 , A正确；对于B,因丽=2祈，即丽=2/=（0,逑,0）,那么N（0,00）,福= （“"；）， 3332病=（0,逑2） = 3还，所以4，E, N三点共线，B正确；对于C,因|M?|+|ND|=2g>2应那么点N的轨迹是以点&。为焦点，长轴长为2G的椭圆（在正方形A3CZ）及内部），方程为 +y2=l(y |>、JAN = Jf+(y + 扬 2+4= /所以当且仅当 >=也土逅时， 4对于D,倔=(工+后,乂 1), sin =| cos", MN = 3 "凶 二-），-3y2 +（_y + -/2）2 +4 = -2j,2 + 2>/2y+ 9 =-+10，|aM取最大值位等8, c不正确；平面ABC。的法向量3 = （0,0,1）,依题意，二，1二旦.戴理徨.*、,=_一 2, r31L +所以点N的轨迹为圆的T|3分，D不正确.应选：AB【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题, 算建立动点坐标的关系解决.y+i2止工、一 '3'可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运14.（2022.全国模拟预测）如图，点M是棱长为1的正方体ABC。- 上的一个动点（包含边界），那么以下结论正确的选项是（）DiCi：Bi AB-446。中的侧面4。，4A.存在无数个点M满足B.当点M在棱。上运动时，|M4|+M4|的最小值为6+ 1C.在线段A2上存在点”，使异面直线M与。所成的角是30。D.满足|MD|=2|Mn|的点M的轨迹是一段圆弧【答案】AD【解析】【分析】根据空间线面关系，逐个分析判断即可.【详解】对A,假设M在A。上，此时必有证明如下：。£>_1_平面4。小,所以 COJ.AA，又所以平面 4OC,所以,所以A正确；对B,如图，旋转面A。A使之与面加QQ共面,连接4瓦交。A于M,此时|M4|+M4最短为4片，大小为耳鼻方，故B错误,当在4。和A"交点处时,当在4。和A"交点处时,此时直线BM与。所成的角即直线B.M与A4所成角,此时此异面直线所成最小，其正切值为正， 2即最小角大于30。，故不存在，即C错误，对D,在面上建立直角坐标系，设0（I，0）,2（；,0）,设由 |M0二2|Mn| 整理可得：f + y2gx + ； = o.根据解析式可得用的轨迹是圆的一局部，故D正确, 应选：AD.【点睛】此题考查了空间几何体相关的线面关系，考查了线线垂直，异面直线所成角以及动点轨迹和 最值问题，要求较高的空间想象能力和转化能力，属于难题.此题的关键有：(1)转化思想的应用，根据两点之间线段最短求距离的最值；(2)异面直线所成角的平行转化法；(3)建系利用解析几何求动点轨迹.15. (2022福建厦门一中高一阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4G，中，。为正方形A8CD的中心，P为棱A4上的动点.那么以下说法正确的选项是()A.点P为A4中点时，PO上DgB.当尸点运动时，折线段。尸+PC长度的最小值是3+石c.当P点运动时，三棱锥P-3OG外接球的球心总在直线4。上D.当P为A4的中点时，正方体外表到P点距离为2的轨迹的总长度为(g + 6)"【答案】ACD【解析】【分析】根据点P为棱A4上的动点，那么根据对应点P在不同位置，对各项进行分析即可.【详解】对于A,根据题意得PO为4CA的中位线，所以PO/M1c，又ACJ面8OG，所以尸。，面灰)G，Z)Gu面那么尸o，QG，故A正确；对于B,将平面ADD,沿AA翻折到平面ACGA，如图，折线段D.P+PC的长度最小为D,C = .+(2 + 2可。3 +石，故B错误；对于c,体对角线AC过aBDC的中心且垂直于平面BDG，故以5OG为底的三棱锥，球心在AC上，故c正确；对于D,在平面ABA4和平面AOA4上轨迹是以P为圆心，2为半径，TT圆心角为飞的两段弧，在平面4片G2和平面ABCD上，轨迹是以G为半径，圆心角为+的两段弧，故/=孑+岳，故D正确.应选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据正方体的性质及线线、线面关系判断线线位置、线段长的最值，分析锥体 外接球球心位置.16.（2022山东聊城三模）在直四棱柱48CO-ABC。中，所有棱长均2, ZB4） = 6O。，P 为CG的中点，点。在四边形。CG2内（包括边界）运动，以下结论中正确的选项是（）A.当点Q在线段上运动时，四面体A8PQ的体积为定值B.假设A。平面A3P,那么AQ的最小值为逐那么 AG，BQ, A.C ± DD ,.AG J_平面B、DD, AG 1 BQ ,同理Af J. BQ,耳。，平面4GB.设4Gn5Q=E,连接3石交耳。于O,由 BOQs/EOg且 3。=2与£可知 OD=2B0 ,那么。=2与。=26,连接。P,那么 ODLOP, J OP = DP? 一 OD? = 旧 了 一（2 可=0,可得点P的轨迹为以点。为圆心，V2为半径的圆在AC出内部及其边界上的局部,OB=2OE, E为AG中点，及 43G为等边三角形可知。为 48G中心，OE=-BE = -x x3y/2= <y/2= 9 如图：33 222OF =曰 OE = , cos/EOF =些=叵=/EOF =%, 2OF 267T那么 NOFE=N4=一，A OF/,同理易知 OG AG，TT故四边形A/OG是菱形，那么/OG = *FG的长度为工x形 =变兀，故点尸的轨迹长度为3x变兀=0兀. 333应选：A.3. （2022.河南河南.三模（理）正四棱柱43CO-A4CQ , AB = 2, AA=。，点M为CG点的中点，点P为上底面4gG。上的动点，以下四个结论中正确的个数为（）257r当二百且点P位于上底面的中心时，四棱柱P-ABCD外接球的外表积为学；当。=2时，存在点P满足Q4+尸河=4；当。=2时，存在唯一的点。满足N4PM=90。；当 =2时，满足的，AM的点P的轨迹长度为啦.A. 1B. 2C. 3D. 4C.假设A3。的外心为M,那么邛.丽;为定值2D.假设4。=将，那么点。的轨迹长度为年【答案】ABD【解析】【分析】由题易证得2。面45尸，所以直线cr到平面ABP的距离相等，又45P的面积为定值， 可判断A；取。2，。的中点分别为M,N,连接AM,MN,AN,由面面平行的判定定理可 得平面ABP 面AMN,因为AQu面AA/N,所以A。平面45尸，当AQ_LMN时，AQ 有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点 4,4，使得。4=百，。&=1,易知点。的轨迹为圆弧4A可判断D.【详解】对于A,因为48/RC,又因为面3C（z面所以£）C 面A3P,所以 直线C。到平面A8P的距离相等，又ABP的面积为定值，故A正确；对于B,取。的中点分别为M,N,连接4M,MN,4V,那么易证明：AM II PC,面48尸，尸Cz面所以AM 面4BP,又因为 A8/MN, W 面 A8P, ABZ 面所以 MN 面 A3P,MNcAM = M ,所以平面面AAW, AQu面AMN,所以AQ平面A&P当AQLMN时，A。有最小值，那么易求出411=逐,“代=夜，AN l AD2 + DN2 - 2AD - DN cos 120° =j4 + l- 2x2xlx ；=近，所以 Q,M 重合，所以 那么AQ的最小值为AM =石，故B正确;DiCi对于C,假设A1BQ的外心为M,过M作于点”，|褶力22+2? =2夜 1 -2那么454用=545 =4.故C错误;TT对于D,过4作ao，CQ于点。，易知4。，平面CQD，O=AAcoS = 1在。,RG上取点4,4，使得RA=g，。4=1,那么 44=44=近，OA3=OA1=y；73 =