总体集中趋势的估计 总体离散程度的估计同步练习-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

第二节用样本估计总体同步练习（课时3总体集中趋势的估计 课时4 总体离散程度的估计）一、基础巩固知识点1平均数、中位数、众数1.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,数据如下:则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数分别为()质量指标分组10,30)30,50)50,70)频率0.10.60.3A.60,1303B.40,43C.40,1303D.60,432.2022安徽泾县中学高一段考已知数据3x1+2,3x2+2,3x3+2,3x4+2的平均数为11,则数据2x1,2x2,2x3,2x4的平均数为()A.8B.6C.4D.33.2022河南顶级名校高三联考某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况,在该市的12个区县市中随机抽查到甲、乙两县,考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化考核成绩(均为整数)中各随机抽取20个,得到如图所示的数据(用频率分布直方图估计总体平均数时,每个区间的值均取该区间的中点值).关于甲、乙两县的考核成绩,下列结论正确的是()A.甲县平均数小于乙县平均数B.甲县中位数小于乙县中位数C.甲县众数不小于乙县众数D.不低于80的数据个数,甲县多于乙县4.某中学开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动,如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高,说明该项教育越好).下列说法正确的是()A.高三(2)班五项评价得分的极差为1.5B.高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高C.除体育外,高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分D.各项评价得分中两班的体育得分相差最大5.2022贵州贵阳五校高三联考某小区毗邻一条公路,为了解交通噪声,连续25天监测噪声值(单位:分贝),得到频率分布直方图(图甲).发现噪声污染严重,经有关部门在公路旁加装隔声板等治理措施后,再连续25天监测噪声值,得到频率分布直方图(图乙).把同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,请解答下列问题:(1)根据图乙估算出该小区治理后平均噪声值为59.04分贝,估计治理后比治理前的平均噪声值降低了多少分贝?(2)国家“城市区域环境噪声标准”规定:重度污染:大于65分贝;中度污染:6065分贝;轻度污染:5560分贝;较好:5055分贝;好:小于等于50分贝.根据图甲估算出该小区噪声治理前一年内(365天)噪声中度污染以上的天数为277天,根据图乙估计一年内(365天)噪声中度污染以上的天数比治理前减少了多少天?(精确到1天)6.高一某班有男同学27名、女同学21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分.(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01).(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人?(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么?知识点2方差和标准差7.2022广西钦州高二期末小王与小张二人参加某射击比赛预赛的五次测试成绩如下表所示,设小王与小张成绩的样本平均数分别为xA和xB,方差分别为sA2和sB2,则()第一次第二次第三次第四次第五次小王得分(环)910579小张得分(环)67557A.xA<xB,sA2>sB2B.xA<xB,sA2<sB2C.xA>xB,sA2>sB2D.xA>xB,sA2<sB28.(多选)2022湖南长沙雅礼中学段考已知甲、乙两名同学的6次数学测试的成绩统计如图所示,则下列说法正确的是()A.若甲、乙两组数据的平均数分别为x1,x2,则x1>x2B.若甲、乙两组数据的方差分别为s12,s22,则s12>s22C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定9.设样本数据x1,x2,x2 021的平均数为x,方差为s2,若数据2(x1+1),2(x2+1),2(x2 021+1)的平均数比方差大4,则s2-x2的最大值为()A.-1B.12C.-2D.110.(多选)2022广东梅州高二月考某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为60,70),70,80),80,90),90,100.若不低于80分的人数是35,且同一组中的数据用该组区间的中点值代表,则下列说法中正确的是()A.该班的学生人数是50B.成绩在80,90)的学生人数是12C.估计该班成绩的平均分为85D.估计该班成绩的方差为10011.(多选)2022广东高三质检某高中有学生500人,其中男生有300人,女生有200人,希望获得全体学生的身高(单位:cm)信息,按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高的样本均值为170,方差为17;女生身高样本均值为160,方差为30.下列说法中正确的是()A.样本中男生的人数为30B.每个女生入样的概率均为25C.所有样本的均值为166D.所有样本的方差为22.212.2022吉林长春外国语学校高一下期末电动摩托车的续航里程,是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A,B两个不同型号电动摩托车的续航里程,现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A,B两个型号的电动摩托车各5台,在相同条件下进行测试,统计结果如下图:已知A,B两个型号被测试的电动摩托车续航里程的平均值相等,B型5号摩托车续航里程为a.(1)求a的值;(2)小李需要购买一款电动摩托车,从中位数和方差相结合的角度,帮小李选择一款电动摩托车,并说明理由.二、能力提升1.小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词,若将超出记为“+”,不足记为“-”,则上周一至周五,他的完成情况分别为-2,-1,x,+4,y,已知这五个数据的平均数是0,方差是5.2,则上周一至周五,小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是()A.13,14B.-2,-1C.13,13D.-2,-22.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛,参赛学生每分钟录入汉字的个数(即成绩)经统计计算后得到下表:班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135则下列结论正确的是()A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数150为优秀)D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数3.2022皖豫名校联盟高一下段考科研人员在某实验中采集了10个样本数据,这10个数据的平均数为6,方差为3.后来又增加了一个数据6,则这11个数据组成的新样本的方差为()A.910B.1110C.2011D.30114.2022福建泉州高一段考PM 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一,划分等级为:PM 2.5日均值在35 g/m3以下,空气质量为一级;PM 2.5日均值在3575 g/m3,空气质量为二级;PM 2.5日均值超过75 g/m3为超标.如图是某地12月1日至10日的PM 2.5日均值变化的折线图,则()A.这10日PM 2.5日均值的80%分位数为60B.前5日PM 2.5日均值的极差小于后5日PM 2.5日均值的极差C.前5日PM 2.5日均值的方差大于后5日PM 2.5日均值的方差D.这10日PM 2.5日均值的中位数为415.(多选)2022吉大附中实验学校高一下期末为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果,现随机抽取了该地区三个县市在2021年建档立卡人员年人均收入提升状况.经统计,A县建档立卡人员年人均收入提升状况用扇形图表示,B县建档立卡人员年人均收入提升状况用条形图表示,C县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122百元,方差为4,A,B,C三县建档立卡人数比例为345,则下列说法正确的有()A.A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122B.B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6C.估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元D.C县精准扶贫的效果最好6.2022安徽黄山高一下期末某校有高中生3 600人,其中男女生比例约为54,为了获得该校全体高中生的身高信息,采取了以下两种方案.方案一:采用按比例分配的分层随机抽样方法,抽取了样本容量为n的样本,得到频数分布表和频率分布直方图.身高/cm145,155)155,165)165,175)175,185)185,195频数420q64方案二:按照性别分类进行简单随机抽样,抽取了男、女生样本容量均为25的样本,计算得到男生样本的均值为172,方差为16,女生样本的均值为160,方差为20.(1)根据图表信息,求n,q的值并补充完整频率分布直方图,估计该校高中生的身高均值;(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表)(2)计算方案二总样本的均值及方差;(3)你觉得用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适?(说明理由)7.在一场文艺比赛中, 10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组,分别为小组A、小组B.给参赛选手甲、乙打分如下.小组A:甲:7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.5乙:7.07.87.87.88.08.08.38.38.58.5小组B:甲:7.47.57.57.68.08.08.28.99.09.0乙:6.97.57.67.87.88.08.08.59.09.0(以下计算结果保留两位小数.)(1)选择一个可以度量打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值,根据这个值判断小组A与小组B哪个更专业.(2)根据(1)的判断结果,计算专业评委给参赛选手甲、乙打分的平均分.(3)若用专业评委打分的数据,选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后.剩下8个评委评分的平均分.那么这两位选手的最后得分是多少?若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分,两位选手的排名有变化吗?你认为哪种评分办法更好(只判断不说明)?参考答案一、基础巩固1.C根据题中数据可知,频率最大对应的分组为30,50),所以众数约为40.设中位数为x,则0.1+x-3050-30×0.6=0.5,解得x=1303,所以中位数约为1303,故选C.2.B方法一由题意知3x1+2+3x2+2+3x3+2+3x4+2=44,所以x1+x2+x3+x4=12,所以2x1+2x2+2x3+2x4=24,故其平均数为244=6.方法二设x1,x2,x3,x4的平均数为a,则由题意得3a+2=11,即a=3,所以2x1,2x2,2x3,2x4的平均数为2a=6.3.C由条形图可知,甲县样本的平均数为120(57×2+58+59+67+68×2+69×2+79×6+87+88×2+89+98)=74.8,中位数为79,众数为79,不低于80的数据共5个.由频率分布直方图,可知乙县样本的平均数为x乙=55×10×0.02+65×10×0.025+75×10×0.03+85×10×0.02+95×10×0.005=71.5<74.8,设中位数为x中,由0.02×10+0.025×10=0.45<0.5,0.02×10+0.025×10+0.03×10=0.75>0.5,故中位数x中70,80),0.02×10+0.025×10+(x中-70)×0.03=0.5,解得x中71.67<79,众数x众70,80)且x众N*,即70x众79,不低于80的数据共有20×10×0.025=5(个),所以A,B,D选项错误,故选C.4.BA高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5,所以极差为9.5-8.5=1.B高三(2)班的平均分为9.5+9+9.5+9+8.55=9.1,设高三(1)班劳育分为a,则9<a<9.5,则高三(1)班平均分为9.5+9.5+9+9.5+a5=7.5+a5>9.3>9.1.C两班的德育分相等,智育分相差9.5-9=0.5,体育分相差9.5-9=0.5,美育分相差9.5-9=0.5,劳育分相差大于0.5,故C,D错误.D5.解析(1)设治理前、后样本的平均值分别为x,y,则x=2×(0.02×56+0.04×58+0.12×60+0.2×62+0.08×64+0.04×66)=61.6,又y=59.04,所以xy=61.6-59.04=2.56,所以治理后比治理前的平均噪声值降低了2.56分贝.(2)由题意知样本中度污染以上的噪声值大于60,治理后中度污染以上的频率为2×(0.02+0.08+0.182)=0.38,所以0.38×365=138.7139,则277-139=138,故一年内噪声中度污染以上的天数比治理前减少了138天.6.解析(1)这次测验全班的平均分x=148(82×27+80×21)81.13(分).(2)因为男同学的中位数是75分,所以至少有14人得分不超过75分.又女同学的中位数是80分,所以至少有11人得分不超过80分.所以全班至少有25人得分在80分以下(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学的得分两极分化现象严重,得分高的和低的相差较大.7.C 因为xA=15(9+10+5+7+9)=8,xB=15(6+7+5+5+7)=6,所以xA>xB;因为sA2=15×1+4+9+1+1=165,sB2=15×0+1+1+1+1=45,所以sA2>sB2.8.ACDA由题图知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,知x1>x2.B甲同学的成绩比乙同学稳定,故s12<s22.DC极差为样本数据的最大值与最小值的差,由题图知甲成绩的极差小于乙成绩的极差.9.A设数据2(x1+1),2(x2+1),2(x2 021+1)的平均数为x0,方差为s02,则x0=2(x+1),s02=4s2,由题意可得2(x+1)=4s2+4,所以s2=12x12,则s2-x2=12x12x2=-(x14)2-716.因为s2=12x120,所以x1,故当x=1时,s2-x2取得最大值-1,故选A.10.ACD11.AC对于A,由题意得样本中男生有110×300=30(人),故A正确;对于B,每个女生入样的概率为50500=110,故B不正确;对于C,由分层随机抽样知样本中男生有30人,女生有20人,所有样本的均值为170×30+160×2050=166,故C正确;对于D,设样本中男生的身高分别为x1,x2,x30,平均数x=170,sx2=17,样本中女生的身高分别为y1,y2,y20,平均数y=160,sy2=30,总体的平均数为x=166,方差为s2,则s2=150i=130(xi-166)2+i=120(yi-166)2,因为i=130(xi-166)2=i=130(xi-170)+(170-166)2=i=130(xi-170)2+i=130(170-166)2+2i=130(xi-170)(170-166),而i=130(xi-170)(170-166)=4×(i=130xi-30×170)=0,所以i=130(xi-166)2=i=130(xi-170)2+i=130(170-166)2=30×17+42×30=990,同理可得i=120(yi-166)2=i=120(yi-160)2+i=120(160-166)2=20×30+62×20=1 320,所以s2=150×(990+1 320)=46.2,故D不正确.故选AC.12.解析(1)因为A,B两个型号被测试的电动摩托车续航里程的平均值相等,所以120+125+122+124+1245=118+123+127+120+a5,解得a=127.(2)A型号被测试的电动摩托车续航里程从小到大排列为120,122,124,124,125,B型号被测试的电动摩托车续航里程从小到大排列为118,120,123,127,127,所以A型号被测试的电动摩托车续航里程的中位数为124 km,B型号被测试的电动摩托车续航里程的中位数为123 km,A型号的中位数大于B型号的中位数;A型号被测试的电动摩托车续航里程的平均数为xA=120+125+122+124+1245=123,xB=xA=123,则A型号被测试的电动摩托车续航里程的方差为sA2=15(120-123)2+(125-123)2+(122-123)2+2×(124-123)2=165,B型号被测试的电动摩托车续航里程的方差为sB2=15(118-123)2+(123-123)2+(120-123)2+2×(127-123)2=665,所以B型号的方差大于A型号的方差,所以B型号被测试的电动摩托车续航里程数不稳定,波动比较大,且A型号的中位数大于B型号的中位数,所以小李应选择A型号电动摩托车.二、能力提升1.A由题意知15×(-2-1+x+4+y)=0,15×(22+12+x2+42+y2)=5.2,解得x=-2,y=1或x=1,y=-2,不管取哪一组解,这5天的单词量都是以下几个数:13,14,13,19,16,所以众数和中位数分别是13,14.2.ABC因为故两班成绩的平均数相同,所以A正确;又所以B正确;所以C正确;所以D错误.A甲、乙两班学生成绩的平均数都是135.Bs甲2=191>110=s乙2,所以甲班成绩不如乙班稳定,即甲班的成绩波动较大.C甲、乙两班人数相同,但甲班的中位数为149,乙班的中位数为151,从而知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班.D由题表得不出两班学生成绩的众数.3.D设x1+x2+x1010=6,则x1+x2+x10=60,于是新样本的平均数x=x1+x2+x10+611=6,新样本的方差s2=111(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-x)2+(6-x)2=1011×110(x1-6)2+(x2-6)2+(x10-6)2+(6-6)2=1011×3=3011.4.BA将这10日PM 2.5日均值从小到大排序为30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,所以这10日PM 2.5日均值的80%分位数是60+782=69.B前5日PM 2.5日均值的极差为41-30=11,后5日PM 2.5日均值的极差为80-45=35. C由折线图和方差的定义,知前5日PM 2.5日均值的方差小于后5日PM 2.5日均值的方差.D这10日PM 2.5日均值的中位数为41+452=43.5.BCDAA县建档立卡人员年人均收入提升的均值为123×712+114×16+121×14=121.BB县建档立卡人员年人均收入提升的平均数为115×10%+117×20%+119×50%+123×20%=119,B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为(115-119)2×0.1+(117-119)2×0.2+(119-119)2×0.5+(123-119)2×0.2=5.6.C该地区建档立卡人员的年人均收入提升112×121×3+119×4+122×5=120.75(百元).DA县建档立卡人员年人均收入提升的方差为(123-121)2×712+(114-121)2×16+(121-121)2×14=10.5,所以xC>xA>xB,sC2<sB2<sA2,故C县精准扶贫的效果最好.6.解析(1)因为身高在区间185,195的频率为0.008×10=0.08,频数为4,所以n=40.08=50,q=50-4-20-6-4=16,所以身高在区间165,175)的频率为1650=0.32,在区间175,185)的频率为650=0.12,由此可补充完整频率分布直方图:由频率分布直方图可知,样本的身高均值为:150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10=12+64+54.4+21.6+15.2=167.2.(2)把男生样本记为x1,x2,x25,其均值记为x,方差记为sx2;把女生样本记为y1,y2,y25,其均值记为y,方差记为Sy2,则总样本均值z=2525+25x+2525+25y=25×172+25×16050=166,总样本方差s2=15025sx2+(xz)2+25sy2+(yz)2=1502516+(172-166)2+2520+(160-166)2=54.(3)用方案一比较合适,因为方案一是按比例抽取样本,所以样本的代表性比较强,能够更好地反映总体的情况.7.解析(1)选择方差进行分析.小组A的打分中,甲的均值x1=110×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5)=8.1,甲的方差s12=110×(7.5-8.1)2×2+(7.8-8.1)2×2+(8.0-8.1)2×2+(8.2-8.1)2+(8.3-8.1)2+(8.4-8.1)2+(9.5-8.1)20.30,乙的均值x2=110×(7.0+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8,乙的方差s22=110(7.0-8)2+(7.8-8)2×3+(8.0-8)2×2+(8.3-8)2×2+(8.5-8)2×2=0.18;小组B的打分中,甲的均值x3=110×(7.4+7.5+7.5+7.6+8.0+8.0+8.2+8.9+9.0+9.0)=8.11,甲的方差s32=110×(7.4-8.11)2+(7.5-8.11)2×2+(7.6-8.11)2+(8.0-8.11)2×2+(8.2-8.11)2+(8.9-8.11)2+(9.0-8.11)2×20.37,乙的均值x4=110×(6.9+7.5+7.6+7.8+7.8+8.0+8.0+8.5+9.0+9.0)=8.01,乙的方差s42=110×(6.9-8.01)2+(7.5-8.01)2+(7.6-8.01)2+(7.8-8.01)2×2+(8.0-8.01)2×2+(8.5-8.01)2+(9.0-8.01)2×20.39.由以上数据可得,在甲、乙得分均值均差0.1的情况下,小组B的打分方差较大,所以小组A的打分更专业.(2)由(1)可得,小组A为专业评委,所以选手甲的平均分x1=8.1,选手乙的平均分x2=8.(3)由专业评委的数据,去掉一个最高分,去掉一个最低分后,甲、乙的均值分别为:x甲=7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.48=8,x乙=7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.588.06.去掉一个最低分,一个最高分之后,乙的均值高于甲,按照10个数据计算时,甲的均值高于乙的均值,所以两位选手的排名有变化.我认为去掉一个最低分和一个最高分的评分方法更好.学科网（北京）股份有限公司