江苏省淮安市淮阴中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题.docx

江苏省淮阴中学2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1. 若且为第三象限角，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.【详解】因为且为第三象限角，所以，则.故选C【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题.2. 已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定A的元素，根据元素和集合的关系以及集合间的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合，即 ,故，正确；，错误；，正确；由于A中元素，故，正确，故选：B3. 任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围.【详解】因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，因为，所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：B4. 在下列区间中，函数的零点所在的区间可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由零点存在定理判断可得结果.【详解】因为，所以，所以函数的零点所在的区间可能为，故选：D.5. 已知，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件确定的范围，由此确定的正负，再计算的值.【详解】因为，所以，所以，所以，(故A，B，C错误，排除，选择D)又，所以，故选：D.6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；由函数的图象关于轴对称，所以，即，因为，所以当时，取到最小值.故选：B.7. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（ ）A. B. 1.5C. D. 【答案】A【解析】【分析】设日本地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案【详解】解：设日本地震所释放出的能量是，汶川地震所释放出的能量是，则，；故选：A【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题8. 若函数满足，当时，若在区间上，方程有两个实数解，则实数的取值范围为是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件求出函数在上的解析式，结合图象研究方程的解的个数，由此确定的取值范围.【详解】因为，当时，所以当时，作函数在上的图象，作函数的图象如下；设直线的斜率为，由图象可得若在区间上，方程有两个实数解，则，因为直线过点，所以，所以，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的值域为，则函数定义域可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】利用函数的奇偶性，以及单调性，分别判断每个选项，可得答案.【详解】由于为偶函数，其图象如图示：故当时，则；当时，此时递增，则；当时，此时递减，当时，故函数的值域为，则函数定义域可能为，故选：10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】分别在同一坐标系中画出三个函数图像，利用其函数值相等画出所有可能的自变量大小的情况，即可作出判断.【详解】由题意可知，分别画出三个函数图像，如图所示：当满足时，如图中细虚线所示，即可能是A；对于B选项，当时如上图所示，需满足，即不可能是B；如图所示，可能是C；如上图所示，可能是，即可能是D.故选：ACD11. 徳国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（ ）A. 的值城为B. ，.C. 为偶函数D. 为周期函数【答案】BCD【解析】【分析】根据函数，可判断其值域，判断A；讨论x为有理数或无理数，求得，判断B;根据奇偶性定义可判断C；根据周期函数定义判断D.【详解】由题意函数，则其值域为，A错误；当x为有理数时，则，当x为无理数时，则，故，B正确；当x为有理数时，为有理数，则，当x为无理数时，为无理数，则，故为偶函数，C正确；对于任何一个非零有理数,若x为有理数，则也为有理数，则，若x为无理数，则也为无理数，则，即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，D正确，故选：12. 记函数的最小正周期为T，若，在区间恰有三个零点，则关于下列说法正确的是（ ）A. 在上有且仅有1个最大值点B. 在上有且仅有2个最小值点C. 在上单调递増D. 的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】由题意可求得，根据函数在区间恰有三个零点，结合余弦函数图象可列不等式，求得范围，判断D；根据范围，判断出，即可判断在上得最大值点和最小值点的个数，判断；利用余弦函数的单调性可判断C.【详解】由题意函数的最小正周期为T，则，由可得，即，由于，故，由在区间恰有三个零点，而时，结合函数的图象如图示：则在原点右侧的零点依次为，则，即的取值范围为，D正确；由于时，结合图象可知，仅在时取得最大值，故在有且仅有1个最大值点，A正确；由A的分析可知，在时取得最小值，由于，故可能取到，也可能取不到，故在可能有1个最小值点，也可能有2个最小值点，B错误；当时，由于，所以，因为在上单调递减，C错误；故选：【点睛】方法点睛：解答此类有关复合型三角函数的性质问题，要注意整体代换的方法，即将当做一个整体处理，然后结合正余弦函数的性质或图象来解答.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域为，设，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.【详解】解：由题可知，函数，则，解得：，所以函数的定义域为，设，则时，为增函数，时，为减函数，可知当时，有最大值为，而，所以，而对数函数在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，函数的值域为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14. 若都是正数，且，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为都是正数，且，所以，当且仅当，即时取等号，故答案为：.15. 已知函数，若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同零点，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由已知写出函数g（x）的解析式，分段求出方程g（x）=0的实根，由实根都在相应的区间内求得m的范围【详解】f（x）=，g（x）=f（x）2x=，由42x=0，得x=2；由x2+2x3=0，得x=3，x=1又函数g（x）恰有三个不同的零点，方程g（x）=0的实根2，3和1都在相应范围上，即1m2实数m的取值范围是（1，2故答案为【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法，正确理解题意是关键，是中档题16. 设表示函数在闭区间上的最大值.若正实数满足，则正实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据的表达式，画出其图象，根据图象，分和两种情况讨论，结合图象得在区间的最大值即可列不等式求解.【详解】函数的图像如下：的对称轴为，；当时，分类讨论如下：（1）当时，,依题意，而函数在时是增函数，此时，故不可能；（2）当时，依题意，即，令，解得：，则有：并且，解得：；或者并且，无解；综上：故答案为：四、本小题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于 两点，且.（1）若点A的横坐标为，求的值；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）确定A点坐标，根据三角函数的定义求得 ，利用诱导公式求得，即可求得答案；（2）利用三角函数诱导公式化简求值，可得答案.【小问1详解】由题意可知点A的横坐标为，则A点坐标为， ，又，故，则，.【小问2详解】，.18. 已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为万元，设该公司一年内共生产这种手机万部并全部销售完，且每万部的销售收入为万元，生产这种手机每年需另投入成本万元，且当.时，当时，.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式（年利润年销售收入年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）；（2）年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是万元.【解析】【分析】（1）根据公式：年利润年销售收入年成本，分别求出和时的年利润，然后再写成分段函数的形式；（2）分别求出和时的最大值，再比较两者的大小，取较大者为年利润的最大值.【详解】（1）当时，当时，.（2）若，当时，；若，当且仅当，即时，年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润万元.19. 已知函数，与函数有相同的对称中心.（1）求，的值；（2）若函数在上单调递减，求出函数的单调区间.【答案】（1），. （2）单调增区间为，单调减区间为.【解析】【分析】（1）根据题意可知两函数周期相同，即可求得的值；根据余弦函数的对称中心，即可求得的值；（2）根据函数在上单调递减，确定，利用正弦函数的单调性，即可求得答案.【小问1详解】若两个函数图象的对称中心相同，则函数周期必然相同，则 ， 故，由，得，数，与函数有相同的对称中心，则 ，则 ，即【小问2详解】因为函数与函数有相同的对称中心， 所以 或， 若函数在 上单调递减，对于函数，时，由于在上单调递增，故函数在上递增，所以，故令,则，即的单调递增区间为，则函数的单调减区间为；令,则，即的单调递减区间为，则函数的单调增区间为.20. 已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）当时，有两解，求实数的范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)由题意得，解不等式即可；(2)由题意得，令，分离参数得，再结合函数的单调性辨析.【小问1详解】当时，则，即，即，解得.【小问2详解】，即故令，因为，则，则有两解，即在上有两解，令，当且仅当时，即(舍)时取等，故在上递减，在上递增，且，故.21. 已知函数，且.（1）若，令，若对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，试确定的取值范围.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】(1)先应用常数分离化简函数，再化简不等式,应用基本不等式求解即可.(2)先代入化简已知不等式，再应用对勾函数单调性，解关于不等式可得.【小问1详解】因为,且当时, 又因为恒成立,所以即得又因为,所以即得.【小问2详解】因为,且所以,即当,为增函数, ,在上单调递增所以当时是单调递增的,当,为增函数, ,在上单调递减当,是单调递减的,因为,是单调递增的, ,所以因为,是单调递减的, ,所以所以或.22. 对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数.（1）已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明；（2）给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由；（3）函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式.【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解 （2）不存在，理由见详解 （3）（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解【解析】【分析】（1）取，结合题意证明；（2）假定存在，根据的定义域、值域以及零点，分，两种情况，结合函数的单调性、零点分析判断；（3）取，结合题意证明.【小问1详解】设，则函数是区间上单调递增，不妨设任意，令，则，故，则，则，则，故函数是区间上的压缩函数.【小问2详解】不存在，理由如下：假定存在实数，使是区间上的闭函数， 函数的定义域为，值域为，且函数的零点为，则或，当时，则在区间上单调递减，则可得，整理得，两式相减得，不合题意，舍去；当时，则在区间上单调递增，则可得，即有两个零点，则，故函数在区间上有两个零点，则必须满足，解得，若，函数的对称轴为，则函数必有一个零点小于，故函数在区间上至多只有一个零点，不合题意，舍去；综上所述：不存在实数，使是区间上的闭函数.【小问3详解】若，则函数区间上单调递增，且，则函数在区间上的值域为，故函数是区间上的闭函数；不妨设任意，令，则，即，则函数是上的压缩函数；综上所述：函数是区间上闭函数，且是上的压缩函数.