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    广东省深圳市福田区红岭中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题.docx

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    广东省深圳市福田区红岭中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题.docx

    红岭中学20222023学年度第一学期第二学段考试高一数学试卷说明:本试卷考试时间为150分钟,满分为150分命题人:周晓波 审题人:王哲一、选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分,每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)1. 已知全集,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解:已知全集,集合,所以,则.故选:D.2. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性:当时,充分性成立;必要性:解得或,必要性不成立;故为充分不必要条件故选:A3. 已知实数a,b,c满足,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a,b,c满足,所以,对于A,所以,故A错误;对于B,所以,故B错误;对于C,所以,故C错误;对于D,所以,故D正确;故选:D.4. 已知,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A,所以A不正确;对于B,所以B不正确;对于C,由B知,所以,则,所以C正确;对于D,.所以D不正确.故选:C.5. 函数,的值域是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令,求出的值域,再根据指数函数单调性求值域.【详解】令,则,所以又在上单调递增,所以即故选:B.6. 设函数,若关于x的方程有4个不等实根,则a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象,数形结合即可求解.【详解】函数的图象如图所示,关于x的方程有4个不等实根,即可转化为函数与直线有4个不同的交点,所以.故选:A7. 已知实数满足,且,若不等式恒成立,则实数的最大值为( )A. 9B. 25C. 16D. 12【答案】B【解析】【分析】根据题目所给条件可知,实数均满足是正数,再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.【详解】由得,又因为,所以实数均是正数,若不等式恒成立,即;,当且仅当时,等号成立;所以,即实数的最大值为25.故选:B.8. 函数是定义在R上的偶函数,且当时,则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的解析式可得,再结合偶函数的性质与单调性求解即可.【详解】因为是定义在R上的偶函数,故当时,.又当时,;当时,故.故即,结合偶函数性质与的单调性可得,即,解得.故选:D二、多选题(共20分)9. 已知函数的图象关于点对称,则( )A. B. 直线是曲线的一条对称轴C. D. 在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据求得,结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.【详解】依题意,由于,所以,A选项错误.则,所以直线是曲线的一条对称轴,B选项正确.的最小正周期,所以,C选项正确.由得,所以不是的递增区间,D选项错误.故选:BC10. 下列说法正确的是( )A. 任取,都有B. 函数最大值为1C. 函数(且)的图象经过定点D. 在同一坐标系中,函数与函数的图象关于轴对称【答案】BC【解析】【分析】A选项:利用特殊值的思路,令,即可得到A不成立;B选项:根据函数的单调性求最大值即可;C选项:将代入到的解析式中验证即可;D选项:求出函数图象关于轴对称后的解析式即可判断D选项.【详解】A选项:当时,故A错;B选项:函数在上单调递增,上单调递减,所以,故B正确;C选项:令,则,所以的图象恒过,故C正确;D选项:函数图象关于轴对称后的解析式为,故D错.故选:BC.11. 下列说法正确的是( )A. 命题“,”的否定为“,”B. “或”是“”的必要不充分条件C. 已知,则D. 当时,的最小值是【答案】BC【解析】【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】A选项,命题“,”的否定为“,”, A选项错误.B选项,若“或”,如,则,即“”不成立;若“”,则“或”,所以“或”是“”的必要不充分条件,B选项正确、C选项,由于,则,所以,C选项正确.D选项,但不成立,所以等号不成立,故D选项错误.故选:BC12. 设,关于函数,给出下列四个叙述,其中正确的有( )A. 任意,函数都恰有3个不同的零点B. 存在,使得函数没有零点C. 任意,函数都恰有1个零点D. 存在,使得函数有4个不同的零点【答案】AC【解析】【分析】画出函数的图像,利用函数的零点转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像: 令所以化为:,令,由 所以有两个不同的实数根,设为:,所以,由所以选项A:任意, 则如图所示: 有两个交点,即此时原函数有两个零点,有一个交点,即此时原函数有一个零点,所以共3个不同的零点,故A选项正确;当时,此时,故此时函数有2个零点当时,由选项A知有3个不同的零点;当时,有,此时函数有1个零点,所以函数至少有1个零点,故B不正确;由选项B,可知C正确;若存在,使得函数有4个不同的零点,如图:则即:有两个交点,即原函数有两个零点,有两个交点,即原函数有两个零点,共4个零点;此时,当时,矛盾;当时,矛盾;当时,矛盾,故D选项错误.故选:AC.三、填空题(共20分)13. _.【答案】1【解析】【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值,直接得到答案.【详解】依题意,根据诱导公式,原式.故答案为:14. 已知函数的图像经过点,若,则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先求出函数解析式,再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点,所以,易知函数在上是奇函数,且单调递增,所以可化为,即,解得,故取值范围为.故答案为:15. 下列命题中:与互为反函数,其图象关于对称;函数的单调递减区间是;当,且时,函数必过定点;已知,且,则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析,从而确定正确答案.【详解】对于,因为与互为反函数,其图象关于对称;所以当时,与互为反函数,其图象关于对称,故命题正确;对于,由反比例函数可知,函数的单调递减区间是,故错误;对于,因为,所以令,即,则,故过定点,故命题正确;对于,因为,所以,所以,故由得,即,即,所以,故命题错误.故答案为:16. 若对于任意,任意,使得不等式成立,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意,使得不等式成立,设,则又因为,所以.所以即设,对于任意,应用一次函数性质可知即得,解得则实数的取值范围是.故答案为: .四、解答题(共70分)17. 若集合,(1)若,求(2)若,求实数m的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】根据交集和子集的定义,即可求解.【小问1详解】解:当时,因为,所以;【小问2详解】解:由得,所以m的取值范围是.18. 已知.(1)化简;(2)若角为第二象限角,且,求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由诱导公式化简;(2)由平方关系求得,再由商数关系得,从而得结论【小问1详解】.【小问2详解】,角为第二象限角,.19. 某公司为了提高生产效率,决定投入160万元买一套生产设备,预计使用该设备后,前年的支出成本为万元,每年的销售收入98万元(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利;(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种:方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以20万元的价格处理;方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以30万元的价格处理哪种方案较为合理?并说明理由(注:年平均盈利额)【答案】(1)3 (2)方案二更合理,理由见解析【解析】【分析】(1)先设为前年的总盈利额,由题中条件得出,列出不等式求解,即可得出结果;(2)分别求出两种方案的总利润,以及所需要的时间,即可得出结论.【小问1详解】设为前年的总盈利额,单位:万元;由题意可得,由得,又,所以该设备从第年开始实现总盈利;【小问2详解】方案二更合理,理由如下:方案一:由(1)知,总盈利额,当时,取得最大值;此时处理掉设备,则总利润为万元;方案二:由(1)可得,平均盈利额,当且仅当,即时,等号成立;即时,平均盈利额最大,此时,此时处理掉设备,总利润为万元;综上,两种方案获利都是万元,但方案二仅需要4年即可,故方案二更合适.20. 已知函数的最小正周期(1)求函数单调递增区间和对称中心;(2)求函数在上的值域【答案】(1)答案见解析 (2)【解析】【分析】(1)先由最小正周期求得,再结合的性质即可求得所求;(2)利用整体法及的单调性即可求得在上的值域【小问1详解】因为的最小正周期,所以,得,故,则由得,由得,所以单调递增区间为,对称中心为.【小问2详解】因为,所以,所以,故,即,所以在上的值域为.21. 已知是定义在上的奇函数,且当时,.(1)求函数的解析式;(2)当时,方程有解,求实数的取值范围.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)当时,则,再利用为奇函数,和,即可求出答案.(2)利用函数是奇函数把方程化为,再利用是上的单调减函数得,在上有解. 再令,则在有解.分离参数有解问题,即可求出答案.【小问1详解】当时,则,是奇函数,.又当时,.【小问2详解】由,可得.是奇函数,.又是上的单调减函数,所以在有解.令,则在有解.即在有解,设易知函数在(1,2)递减,(2,3)递增,故值域为实数的取值范围为22. 已知函数与,其中偶函数(1)求实数的值及的值域;(2)求函数的定义域;(3)若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围【答案】(1),函数的值域为 (2)答案见解析 (3)【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义可求得实数的值,利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得函数的值域;(2)由已知可得出,对实数的取值进行分类讨论,结合指数函数的单调性可解得函数的定义域;(3)令,由可知关于的方程有且只有一个正根,对实数的取值进行分类讨论,结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式(组),综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解:由函数是偶函数可知,所以,所以,则,故,所以,当且仅当时,等号成立,故函数的值域为.【小问2详解】解:对于函数,则有.当时,不合乎题意;当时,得;当时,得.综上所述,当时,函数的定义域为;当时,函数的定义域为.【小问3详解】解:函数与的图象有且只有一个公共点,即方程有且只有一个实根,即方程有且只有一个实根,令,则方程有且只有一个正根.当时,不合题意;当时,由得或,若,则不合题意;若,则满足要求.若,可得或.则此时方程应有一个正根与一个负根,所以,解得,因为或,故.综上,实数的取值范围是【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.

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