中考九年级数学一轮复习：反比例函数与一次函数交点问题.docx

中考九年级数学一轮复习：反比例函数与一次函数交点问题一、综合题1已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数 y=mx （ x>0 ）的图象交于点 P . PAx 轴于点 A ， PBy 轴于点 B . 一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 C 、点 D ，且 SDBP=27 ， OCCA=12 . （1）求点 D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当 x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 2在直角坐标系中，设函数 y1=k1x （ k1 是常数， k1>0 ， x>0 ）与函数 y2=k2x （ k2 是常数， k20 ）的图象交于点A，点A关于 y 轴的对称点为点B。 （1）若点B的坐标为（-1，2），求 k1 ， k2 的值； 当 y1<y2 时，直接写出 x 的取值范围；（2）若点B在函数 y3=k3x （ k3 是常数， k30 ）的图象上，求 k1+k3 的值。3如图，点A是直线y2x与反比例函数y m1x （m为常数）的图象的交点.过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB2. （1）求点A的坐标及m的值；（2）已知点P （0，n） （0n8），过点P作平行于x轴的直线，交直线y2x于点C（x1，y1），交反比例函数y m1x （m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），若x2x3x1，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围.4如图，一次函数ykx+b与反比例函数ymx的图象交于A（2，3），B（3，n）（1）求一次函数的表达式（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+bmx的解集（3）过点B作BCx轴，垂足为C，求ABC的面积5已知一次函数ykxb（k0）与反比例函数y=mx（m0）的图象交于A（a，2），B（1，3）.（1）求这两个函数的表达式；（2）若点P（h，y1）在一次函数的图象上，点Q（h，y2）在反比例函数的图象上，且y1y2，求h的取值范围.6如图，一次函数ykx+2的图象与反比例函数y mx 的图象交于A，B两点，且A（1，3）. （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标；（3）观察图象，直接写出kx+2 mx 时，x的取值范围. 7如图，一次函数 y1=kx+b(k0) 的图象与反比例函数 y2=mx(m0) 的图象交于A（2，4），B（8，n）两点. （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）求OAB的面积.8如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= kx （k为常数，k0）的图象交于点A（1，4）和点B（a，1） （1）求反比例函数的表达式和a、b的值；（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标9如图，直线y1=x+2与双曲线 y2=kx 相交于A，B两点其中点A的纵坐标为3，点B的纵坐标为1（1）求k的值；（2）若y1y2，请你根据图象确定x的取值范围10已知反比例函数 y=mx(m0) 与一次函数ykx+b（k0）交于点A（1，6）、B（n，2） （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点A关于y轴的对称点为A，连接AA，BA，求AAB的面积 11如图，直线y=2x+5的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于P(m，1)，Q(12，n)两点，连接OP，OQ. （1）求反比例函数的解析式；（2）求OPQ的面积；（3）若点M是坐标轴上的动点，当MP+MQ的值最小时，请求出点M的坐标.12如图：反比例函数y1= kx 的图象与一次函数y2=x+b的图象交于A，B两点，其中A点坐标为(1，2) （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）观察图象直接写出当y1<y2时，自变量x的取值范围；（3）一次函数的图象与y轴交于点C，点P是反比例函数图象上的一个动点，若SOCP=6，求此时P点的坐标。答案解析部分1【答案】（1）解：一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交， 令 x=0 ，解得 y=3 ，D 的坐标为 (0,3)（2）解：ODOA,APOA ， DOC=CAP=90° ，又DCO=ACP ，RtCODRtCAP ，ODAP=OCCA=12 ，OD=3 ，AP=OB=6 ，DB=OD+OB=9 ，在 RtDBP 中， DB×BP2=27 ，即 9BP2=27 ，BP=6 ，故 P(6,6) ，把 P 坐标代入 y=kx+3 ，得到 k=32 ，则一次函数的解析式为： y=32x+3 ；把 P 坐标代入反比例函数解析式得 m=36 ，则反比例解析式为： y=36x（3）解：如图： 根据图象可得： y=32x+3y=36x ，解得： x=4y=9 或 x=6y=6故直线与双曲线的两个交点为 (4,9) ， (6,6) ，x>0 ，当 x>6 时，一次函数的值小于反比例函数的值.2【答案】（1）解：由题意得，点A的坐标是 (1，2) ， 函数 y1=k1x 的图象过点A，k1=2 ，同理 k2=2 .x>1 .（2）解：设点A的坐标是 (x0，y0) ，则点 B 的坐标是 (x0，y0) ， k1=x0y0 ， k3=x0y0 ，k1+k3=0 .3【答案】（1）解：由题意得，可知点A的横坐标是2， 由点A在正比例函数y2x的图象上，点A的坐标为（2，4），又点A在反比例函数 y=m1x 的图象上，4=m12 ，即m9.（2）解：过点P（0，n）作平行于x轴的直线，交直线y2x于点C（x1，y1），交反比例函数y m1x （m为常数）的图象于点D（x2，y2），交垂线AB于点E（x3，y3），而x2x3x1， 4n8，当n4时，x1+x2+x32+2+26；当n8时，x1+x2+x34+1+27，6x1+x2+x37.4【答案】（1）解：把 A（2，3）代入y= mx，得m=6， 反比例解析式为 y= 6x，把 B（-3，n）代入 y = 6x，得n=-2，即 B（-3，-2），把 A 与 B 代入一次函数解析式，得3=2k+b2=3k+b，解得k=1b=1，一次函数解析式为 y=x+1；（2）解：由图象得kx+bx 的解集为-3x0 或x2；（3）解：过点A作AEBC于点E， 则以BC为底，则BC边上的高AE=3+2=5，SABC=12×2×5=55【答案】（1）解：将点B（1，3）代入到y=mx中，得3=m1，即m=3， 则反比例函数表达式为y=3x，当y=2时，解得a=32，即点A坐标为（32，2），把A，B两点代入一次函数表达式，得2=32k+b3=k+b ，解得k=2b=5，所以，一次函数的表达式为y=2x+5；（2）解：由（1）中得出的一次函数和反比例函数表达式，可绘制函数图象如下， 一次函数与反比例函数图象交于A（32，2），B（1，3），当y1>y2时，由图象可知，h的取值范围为：<0或1<<32.6【答案】（1）解：因为A点是一次函数与反比例函数交点，分别代入到两个函数解析式中得， 3=k+23=m1k=1 ， m=3一次函数表示式为yx+2，反比例函数表达式为 y=3x ；（2）解：联立 y=x+2y=3x ， 化简得，x2+2x30，解得x1或3，当x3时，y1，因为A，B两点是一次函数与反比例函数交点，点B的坐标为（3，1）；（3）解：不等式 kx+2mx 的解集，即为一次函数图象在反比例函数上方的自变量的取值范围或者两者的交点处横坐标. A，B两点是一次函数与反比例函数交点坐标，故根据图象，如图1，当3x0或x1时，kx+2 3x ，即x的取值范围为：3x0或x1.7【答案】（1）解：反比例函数 y2=mx （ m0 ）过点A（2，4）， m=xy2=2×4=8 ，y2=8x 为所求的反比例函数解析式 ，反比例函数 y2=8x 过点B（8，n），n1， B（8，1），直线y1kxb（k0） 过点A（2，4）和B（8，1），4=2k+b1=8k+b ， 解得 k=12b=5 ，y1=12x+5 为所求的一次函数解析式（2）解：过点A作ADx轴于D，过点B作BEx轴于E，设直线y1=kx+b与x轴交于C， A（2，4），B（8，1），AD4，BE1，直线 y1=12x+5 与x轴交与点C，0=12x+5 ，x10 ，C（10，0），OC10，SAOC=12OCAD=20 ， SBOC=12OCBE=5 ，SAOB= SAOCSBOC=158【答案】（1）解：点A（1，4）在反比例函数y= kx （k为常数，k0）的图象上，k=1×4=4，反比例函数解析式为y= 4x 把点A（1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中，得： 4=1+b1=a+b ，解得： a=4b=5（2）解：连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示A、O两点关于直线l对称，点M为线段OA的中点，点A（1，4）、O（0，0），点M的坐标为（ 12 ，2）直线l与线段AO的交点坐标为（ 12 ，2）9【答案】（1）解：把y=3代入y1=x+2得x=1，把y=1代入y1=x+2得x=3，A（1，3），B（3，1），把A（1，3）代入 y2=kx 得k=3（2）解：由图象知：当x3，或0x1时，y1y2，即若y1y2，x的取值范围为：x3，或0x110【答案】（1）解：反比例函数 y=mx(m0) 的图象过点A（1，6）， 6 m1 ，即m6， 反比例函数的解析式为：y 6x ； 比例函数y 6x 的图象过点B（n，2），2 6n ，解得n3，B（3，2），一次函数ykx+b（k0）的图象过点A（1，6）和点B（3，2），k+b=63k+b=2 ，解得 k=2b=8 ； 一次函数的解析式为：y2x+8（2）解：点A（1，6）关于y轴的对称点为A， A（1，6），AA2， B（3，2）， AAB的面积： 12 ×2×（62）411【答案】（1）解：P(m，1) ， Q(12，n) 两点在直线 y=2x+5 的图象上， 2m+5=1，2×12+5=n， 解得 m=2，n=4.P(2，1) ， Q(12，4) .点 P(2，1) 在反比例函数 y=kx(x>0) 的图象上，1=k2 ，即 k=2 .反比例函数的解析式为 y=2x .（2）解：在直线 y=2x+5 中，令 x=0 ，则 y=5 ；令 y=0 ，则 x=52 . OA=52 ， OB=5 .SOPQ=SAOBSOAPSOBQ=12OAOB12OAyP12OBxQ=12×52×512×52×112×5×12=154 .（3）解：当点 M 在 x 轴上时，作点 P 关于 x 轴的对称点 P1 ，则点 P1 的坐标为 (2，1) ，连接 QP1 ，则当点 M 在线段 QP1 上时， MP+MQ 的值最小. 设直线 QP1 的解析式为 y=ax+b ，2a+b=1，12a+b=4， 解得 a=103，b=173.直线 QP1 的解析式为 y=103x+173 .当 y=0 时， 103x+173=0 ，解得 x=1710 .点 M 的坐标为 (1710，0) .当点 M 在 y 轴上时，作点 P 关于 y 轴的对称点 P2 ，则点 P2 的坐标为 (2，1) ，连接 OP2 ，则当点 M 在线段 QP2 上时， MP+MQ 的值最小.设直线 QP2 的解析式为 y=px+q ，2p+q=1，12p+q=4， 解得 p=65，q=175.直线 QP2 的解析式为 y=65x+175 .当 x=0 时， y=65×0+175=175 .点 M 的坐标为 (0，175) .综上所述，点 M 的坐标为 (1710，0) 或 (0，175) .12【答案】（1）解：将A(1，2)代入y1= kx 得k=2，反比例函数为y= 2x ，将A(1，2)代入y2=x+b得b=1， 一次函数为y=x+1 （2）解：x>1或-2<x<0理由如下： y=2xy=x+1 x+1= 2x ，x2+x-2=0，x1=-2，x2=1， B(-2，-1)，y1<y2时，x>1或-2<x<0（3）解：由题意得C(0，1)，SCOP= 12 ×1×|xp|=6， |xp|=12 当xp=12时，yp= 16 当xp=-12时，yp=- 16P(-12，- 16 )1或(12， 16 ) 学科网（北京）股份有限公司