函数的概念与表示 讲义-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

函数及表示【知识梳理】一、函数的概念设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：.其中叫做自变量，是x函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。二、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则 三、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。四、区间的概念和记号设，且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。（3）满足不等式或的实数的集合叫做半闭半开区间，分别表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。（4）实数可以用区间表示为“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足的实数表示为五、函数的表示方法函数的表示方法有三种。（1）解析法（2）列表法（3）图像法六、分段函数在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。七、求函数的定义域的主要依据（1）分式的分母不能等于零； （2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数； （4）指数函数和对数函数的底数且；（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。八、求函数的值域（1）函数值域与函数定义域之间的关系（2）求函数值域的基本方法一次函数（例如：，）二次函数（例如：，）一次分式（例如：，）二次分式（例如：）同次根号问题（例如：）均值不等式（例如：，）数形结合（例如：）【考点分类剖析】考点一 函数的概念【典例】1、下列各组函数中表示同一函数的是 。（1），； （2）；（3）； （4）（1）（3）【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。【变式探究】1、下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）A BCDB【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。2、下面各组函数中为相同函数的是（ ）A、， B、，C、， D、，C【解析】考查同一函数的判定，需要定义域相同，对应关系相同。考点二 已知解析式求定义域【典例】1、函数的定义域是 。【解析】函数f（x）=+lg（3x+1），；解得x1，函数f（x）的定义域是（，1）2、函数的定义域是 。【解析】将化为，所以定义域为 因为，所以 综上，定义域为【变式探究】1、函数的定义域是_.【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为.2、函数的定义域为_.【解析】要使原式有意义，则，解得x故答案为：考点三 抽象函数求定义域【典例】1、已知的定义域为，则函数的定义域为 。【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可， 2、若函数=的定义域为,则函数的定义域是 。【解析】因为=的定义域为,所以，即定义域是.3、已知函数的定义域为-2，3，则函数的定义域为 。【解析】由函数y的定义域为-2，3，对yf（2x+1），有，解得，即yf（2x+1）的定义域为【变式探究】1、若函数的定义域为,则函数的定义域是 。【解析】设，则.由的定义域为知，即的定义域为，要使函数有意义，必须满足，即，解得，2、已知的定义域为，求函数的定义域；已知的定义域为，求的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域【详解】（1）中的的范围与中的x的取值范围相同，即的定义域为（2）由题意知中的，.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，的定义域为（3）函数的定义域为，由，得，的定义域为又，即，函数的定义域为.考点四 根据定义域求参数【典例】1、函数的定义域，则实数的值为 。3【解析】由题意，函数有意义，满足，又由函数的定义域为，所以，解得2、若函数的定义域为，则实数的取值范围是 。【解析】因为f（x）的定义域为R又f（x）有意义需ax2+2ax+10所以ax2+2ax+10无解当a0是方程无解，符合题意当a0时4a24a0，解得 0a综上所述0a【变式探究】1、若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是 。【解析】函数f（x）的定义域为R；不等式mx2mx+2>0的解集为R；m0时，2>0恒成立，满足题意；m0时，则m0=m28m<0；解得0m<8；综上得，实数m的取值范围是2、函数的定义域为，则实数的取值范围是 .【解析】的定义域为，恒成立，即判别式，得，即实数的取值范围是3、函数的定义域是，则的取值范围是 .【解析】由题意,恒成立.若,则成立,符合题意;若,只需二次函数与轴无交点,即,解得.考点五 待定系数法求解析式【典例】1、已知是一次函数，且，求的解析式.或【解析】设，则，得，解得或.因此，或.【变式探究】1、已知二次函数满足 试求：求 的解析式； 【解析】设，则有，对任意实数恒成立，解之得，.2、已知是一次函数，且满足求【解析】设，则，；考点六 换元法求解析式【典例】1、已知，则的解析式为 。，且【解析】令t=，得到x=，x1，t1且t0，且t0)且x0)，2、已知函数，则函数的解析式为 。【解析】f(x1)=x1令则，且，【变式探究】1、已知，则的解析式为 。【解析】令，得，2、已知f(x)是(0，)上的增函数，若ff(x)ln x1，则f(x) .f(x)ln x1【解析】根据题意，f(x)是(0，)上的增函数，且ff(x)ln x1，则f(x)ln x为定值设f(x)ln xt，t为常数，则f(x)ln xt且f(t)1，即有ln tt1，解得t1，则f(x)ln x1。3、若函数,则的解析式为 。【解析】令，则，所以，所以，即4、已知，则 。【解析】已知，设，则，所以，故考点七 配凑法求解析式【典例】1、已知,则_【解析】，又(，22，)， 【变式探究】1、已知，则的解析式为 。【解析】，因此，.2、如果，则当且时，则= ；【解析】，考点八 解方程组求解析式【典例】1、已知函数满足，则 。【解析】因为，所以用替换，得 由得2、已知函数f(x)的定义域为(0,+)，且f(x)=2f(1x)x1，则f(x)=_23x+13【解析】在f(x)=2f(1x)x1，用1x代替x，得f(1x)=2f(x)1x1，联立得 fx=2f1xx-1f1x=2fx1x-1 ，将f(1x)=2f(x)x1代入f(x)=2f(1x)x1中，可求得f(x)=23x+13【变式探究】1、已知函数满足，则= 。【解析】由,将换成有,即,故有 ,两式相减化简得2、已知，则的解析式是_.【解析】将等式中的换为得到：故有解得：故答案为：考点九 利用解析式求值【典例】1、已知函数满足，则 。【解析】在中,分别令和得: , ,联立消去, 解得:.2、设函数对的一切实数都有，则=_-2017【解析】时，当时， 即 ，解得.故填：-2017.【变式探究】1、已知函数满足，则_【解析】由题意可得：，解得：，令可得：，则.考点九 单调性法求值域【典例】1、若函数的定义域是，则函数的值域为【0,1】【解析】函数在，上单调递增且，（2）其值域为，【变式探究】1、函数的值域为 。【答案】，【解析】，函数的值域为2、函数的值域为 。【解析】；的值域为3、函数的最大值是 。【解析】 故函数的最大值为：.4、函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_3【解析】与y=log2(x2) 都是-1，1上的减函数，所以函数f(x)log2(x2) 在区间-1，1上的减函数，最大值为：f（-1）=3故答案为3考点十 换元法求值域【典例】1、函数在，上的值域为 。【解析】，令，因为，所以，原函数的值域等价于函数的值域，所以【变式探究】1、函数的值域为 。，【解析】由，得函数为上的增函数，函数为，上的增函数，是，上的增函数， 2、函数，的值域为 。，【解析】令，时，时，3、函数的值域为 。，【解析】设，则， 4、已知，则函数的值域为 。，【解析】，在，上单调递增，故当时，函数有最小值4，即函数的值域为，考点十一 分离常数法求值域【典例】1、已知函数，则它的值域为 。【解析】，的值域为【变式探究】1、已知函数，则该函数在，上的值域是 。，【解析】，在上单调递减，在，上单调递增，（2）是在，上的最小值，且（1），（3），在，上的值域为，2、函数的值域是 。或【解析】，当时，有，当且仅当，即，也就是时上式等号成立；当时，有，当且仅当，即，也就是时上式等号成立函数的值域是或3、函数的值域是 。，【解析】，则，即函数的值域是，4、函数的值域为 。【解析】，即，即函数的值域为，考点十二 图像法求值域【典例】1、函数的值域是 。【解析】，当时，单调递增，故；当时，先减后增，当时，函数取得最小值，故，综上可得，函数的值域为【变式探究】1、函数在区间上的最大值_.3【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，又 ，又，即函数在区间上的最大值为3。2、函数在区间上的最大值_.3【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，又 ，又，即函数在区间上的最大值为3，3、函数 的最大值为_.1【解析】因为；易得：当且仅当时取最大值1.考点十三 利用值域求参数【典例】1、已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。，【解析】函数的值域为，能够取到大于0的所有实数，则，解得实数的取值范围是，2、已知函数的值域为，则的取值范围是 。，【解析】当时，对任意实数恒成立，不合题意；要使函数的值域为，则，解得的取值范围是，【变式探究】1、已知函数，的值域为，则实数的取值应为 。【解析】时，；时，依题意可得2、若函数的值域为，则的取值范围是 。，【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，则函数的值域要包括0，即最小值要小于等于0则有：解得：所以的取值范围是，3、若函数的值域是，则实数的取值范围是，【解析】当时，此时值域为，依题意，当时，显然，即，若，即时，单调递增，此时值域为，不可能满足，舍去；若，即时，单调递减，此时值域为，则需，故此时综上，实数的取值范围为， 14 / 14学科网（北京）股份有限公司