第一章 间向量与立体几何 单元测试--高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册.docx
第一章空间向量与立体几何（单元测试卷）(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平面和平面的法向量分别为m(3,1，5)，n(6，2,10)，则()ABC与相交但不垂直 D以上都不对2.已知a(3,2,5)，b(1,5，1)，则a·(a3b)()A(0,34,10) B(3,19,7)C44 D233.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若a，b，c，则等于( )Aabc BabcCabc Dabc4.三棱锥A-BCD中，ABACAD2，BAD90°，BAC60°，则·等于( )A2 B2C2 D25.已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，则x，y的值为( )A.x13，y8 B.x13，y5C.x7，y5 D.x7，y86.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. BC. D7.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A5，AB12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )A5 B8C. D8.如图，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD与平面成30°角，则C，D间的距离为()A.1 B.2C. D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，下列结论正确的有()A. B.C.是平面ABCD的一个法向量 D.10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB5，AD4，AA13，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()A点B1的坐标为(4,5,3)B点C1关于点B对称的点为(5,8，3)C点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)D点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)11在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是()A.A1C1平面CEF B.B1D平面CEFC. D.点D与点B1到平面CEF的距离相等12.若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的有()A.AD与BC所成的角为45° B.AC与BD所成的角为90°C.BC与平面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13.已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_14.点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是_15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ADAA12，AB3，若E为AB中点，则点B1到平面D1EC的距离为_16.如图，在三棱锥S-ABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为_，直线SM与平面SAC所成角的大小为_四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量18.(12分)已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)19.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，BAC90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；(2)求点P到平面DEF的距离20.(12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，AA1ABAC2.(1)证明：DFAE；(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值21.(12分)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长22.(12分)在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD平面ABCD，PDCD，平面ABCD是直角梯形，ABDC，ADC90°，ABADPD1，CD2.(1)求证：BC平面PBD；(2)设E为侧棱PC上异于端点的一点，试确定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为.参考答案及解析：一、 单项选择题1.B 解析：n(6，2,10)，m(3,1，5)，n2m.mn.与平行2.C 解析：a3b(3,2,5)3(1,5，1)(0,17,2)，则a·(a3b)(3,2,5)·(0,17,2)0341044.3.D 解析：如图，bac.4.A 解析：··()··2×2×cos 90°2×2×cos 60°2.5.A 解析：因为ab且a0，所以ba，即(x1)m8n2yp3m2n4p.又因为m，n，p不共面，所以，所以x13，y8.6.A 解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.7.C 解析：以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0)设平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得n·(a，b，c)·(x,0,0)ax0，n·(a，b，c)·(0，12，5)12b5c0，所以a0，bc，所以可取n(0,5,12)又(0,0，5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为. 因为B1C1平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.8.C 解析：|2|2|2|2|22·2·2·111002×1×1×cos 120°2，|.二、 多项选择题9.ABC 解析：因为·0，·0，所以A、B正确；因为所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；(2,3,4)，(1,2，1)不满足，则D不正确故选A、B、C.10.ACD 解析：根据题意知：点B1的坐标为(4,5,3)，A正确；B的坐标为(4,5,0)，C1坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，C正确；点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，D正确故选A、C、D.11.AC解析：对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，所以EFA1C1，故A1C1平面CEF成立对B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，则(2，2，2)，(0,1，2)所以·02420，故，不互相垂直又CF平面CEF，故B1D平面CEF不成立对C，由图可知(1，2,2)，(2,0,0)(0,0,2)(0,2,0)(1，2,2)故成立对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等等价于点D与点B1的中点O在平面CEF上连接AC，AE，易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1的中点O在平面A1ACC1上，则点O不在平面CEF上故D不成立12.BCD解析：取BD的中点O，连接AO，CO.若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则OABD，OCBD，OAOC，以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设OC1，则A(0,0,1)，B(0，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,1,0)，cos，AD与BC所成的角为60°，故A不正确；易得(1,0，1)，(0,2,0)，·0，ACBD，故B正确；设平面ACD的法向量为t(x，y，z)，则取z1，则xy1，t(1,1,1)，又(1,1,0)，设BC与平面ACD所成的角为，sin |cos，t|，故C正确；易知平面BCD的一个法向量n(0,0,1)，(0,1,1)，(1,1,0)，设平面ABC的一个法向量为m(x，y，z)，则取x1，则y1，z1，m(1，1,1)，设平面ABC与平面BCD的夹角为，则cos |cosm，n|，sin ，tan ，平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确故选B、C、D.三、填空题13.答案：±解析：设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则即令z1，得所以n，故平面ABC的单位法向量为±±.14.答案：0,4解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则·()·()2·()·|21.1|，·0,415.答案：解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接CB1，由题意得C(0,3,0)，E，D1(0,0,2)，B1(2,3,2)，(0，3,2)，(2,0,2)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则即令z6，得n(3,4,6)，点B1到平面D1EC的距离d.16.答案：，解析：因为ASBBSCCSA，所以以S为坐标原点， ，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)设SASBSC2，则S(0,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2)，M(1,1,0)，N(0,0,1)，所以(1,1,0)，(0，2,1)，所以cos，所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为.易得平面SAC的一个法向量为(0,2,0)，则由cos，得，所以直线SM与平面SAC所成角的大小为.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.解：G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()， (如图所示)18解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若b，则·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时点E的坐标为.19.解：(1)如图所示，以A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.由ABAC1，PA2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F.设平面DEF的法向量n(x，y，z)，则即解得取z1，则平面DEF的一个法向量n(2,0,1)设PA与平面DEF所成的角为，则sin ，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.(2)，n(2,0,1)，点P到平面DEF的距离d.20.(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1A1B1.又因为AEA1B1，所以A1B1平面AA1C1C.因为A1C1平面AA1C1C，所以A1B1A1C1.所以ABAC，ABAA1，ACAA1，如图，分别以AC，AA1，AB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则C(2,0,0)，B(0,0,2)，A(0,0,0)，A1(0,2,0)，F(1,0,1)，E(2,1,0)设D(0,2，t)，则(1,2，t1)，(2,1,0)，·(1,2，t1)·(2,1,0)0，所以DFAE.(2)当D为A1B1的中点时，D(0,2,1)，(1，1,1)，(1,2,0)，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得n(2,1,3)，易知平面ABC的法向量为n0(0,1,0)，所以cosn，n0，即平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为.21.解：依题意，以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh(h>0)，则F(1,2，h)(1)证明：依题意知，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得·0，因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以线段CF的长为.22.(1)证明：因为侧面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，PD平面PCD，PDCD，所以PD平面ABCD，所以PDAD.又因为ADC90°，即ADCD，因此以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，所以·0，所以DBBC.由PD平面ABCD，可得PDBC，又因为PDDBD，所以BC平面PBD.(2)因为(0,2，1)，又，设E(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z01)(0,2，)，所以E(0,2，1)，(0,2，1)设平面EBD的法向量为n(a，b，c)，由得令a1，可得平面EBD的一个法向量为n.又(1,1,0)是平面PBD的一个法向量，n·112，n ，代入，化简得32210，解得或1，又(0,1)，故.11学科网（北京）股份有限公司
