中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与相似问题 .docx

中考数学二轮压轴培优专题二次函数与相似问题1.如图，抛物线yx2bxc过点B(3，0)，C(0，3)，D为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC，CD，DB，求CBD的正切值；(3)点C关于抛物线yx2bxc对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使CDB和BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由2.如图，抛物线yax2bx8与x轴交于A(2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和AOC的面积分别为S四边形PBOC和SAOC，记SS四边形PBOCSAOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2c经过点A(4，3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，连接PO(1)求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；(2)试证明：经过点O的P与直线l相切；(3)如图，已知点C的坐标为(1，2)，是否存在点P，使得以点P，O及(2)中的切点为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由4.已知，二次函数yax2bx3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(1，0)，且 OBOC(1)求二次函数的解析式；(2)当0x4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使PCC'与POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5.在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(2，0)，B(3，3)及原点O，顶点为C(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为t在图1中，当3t0时，求PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6.如图、，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到CED的位置(1)直接写出C的坐标，并求经过O、A、C三点的抛物线的解析式；(2)点P在第四象限的抛物线上，求COP的最大面积；(3)如图，G是以AB为直径的圆，过B点作G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得BOF与AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数yx2bxc的图象经过A和点C(0，3)(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PFx轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由8.如图，抛物线yx2bxc的顶点D坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m，用含有m的代数式表示点E的横坐标为 (直接填空)；当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DMx轴于点M，过点F作FPAD于点P，直接写出DFP与DAM相似时，点F的坐标9.如图，已知抛物线y(x1)2k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB3OA(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限，直线yxb经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；(3)如图，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D点P在直线m上方，点Q在线段AD上，若CPQ与AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22kx2k21与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1kx2)，当x1x22时，y1y20恒成立(1)求该抛物线的解析式；(2)点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MNAC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；(3)点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQl于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使PQF与ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由答案解析解：(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的解析式为yx22x3；yx22x3(x1)24，D(1，4)；(2)如图B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，BC2323218，BC3，CD212(43)22，CD，BD242(31)220，BD2，BD2BC2CD2，BCD是直角三角形，BCD90°，tanCBD；(3)点C关于抛物线yx22x3对称轴的对称点为E点，yx22x3的对称轴为x1，E(2，3)，B(3，0)，直线BE为y3x9，M(1，6)，由(2)知CDB是直角三角形，BCD90°，若CDB和BMP相似，可分两种情况进行解析：MPBBCD90°时，点P在x轴上，M(1，6)，B(3，0)，PM6，BP2，MPBBCD90°，CDB和PBM，P(1，0)；MBPBCD90°时，M(1，6)，B(3，0)，MB2，CDB和BPM，解得PM，点MP的纵坐标为6，P(1，)综上所述，存在，点P的坐标为(1，0)或(1，)解：(1)将点A(2，0)和点B(8，0)代入yax2bx8，解得，yx23x8；(2)令x0，则y8，C(0，8)，SAOC×2×88，SBOC×8×832，设直线BC的解析式为ykxb，解得，yx8，过点P作PGy轴交BC于点G，设P(t，t23t8)，则G(t，t8)，PGt24t，SBCP×8×(t24t)2t216t，S四边形PBOCSBOCSBCP322t216t，SS四边形PBOCSAOC2t216t242(t4)256，点P是第一象限，0t8，当t4时，S有最大值56，此时P(4，12)；(3)OBOC8，BCD是等腰直角三角形，直线BC的解析式为yx8，E(3，5)，设M(3，m)，N(n，n23n8)，当NME90°，MEMN时，OBCMNE，MNx轴，mn23n8，MEm5，MNn3，m5n3，n6或n2，n1，n6，m8，M(3，8)；存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与BOC相似，理由如下：当MEN90°，ENME时，MNEBOC，MEm5，ENn3，MNx轴，5n23n8，m5n3，n3或n3，n1，n3，m5，M(3，5)；当MNE90°，MNEN时，MNEBOC，过点N作NHl交于H，由可知H(3，8)，M与E点关于H点对称，M(3，11)；综上所述：点M的坐标为(3，8)或(3，5)或(3，11)解：(1)抛物线yx2c经过点A(4，3)，34c，c1，抛物线的表达式为yx21，顶点B(0，1)；(2)证明：过P作PHl，垂足为H，设点P坐标(m，m21)，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，PHm212m21，POm21，POPH，即直线l到圆心P的距离等于P的半径，经过点O的P与直线l相切；(3)解：存在理由如下：A(4，3)，B(0，1)，C(1，2)，BC，AC，AB4BCAC，POPH，以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似，PH与BC，PO与AC是对应边，设点P(m，m21)，则H(m，2)，PHm212m21，OH，×m24，解得m±1点P坐标(1，)或(1，)解：(1)二次函数yax2bx3 的图象与y轴交于C点，C(0，3)OBOC，点A在点B的左边，B(3，0)点A的坐标为(1，0)，由题意可得，解得：，二次函数的解析式为yx22x3；(2)二次函数的解析式为yx22x3(x2)24，二次函数顶点坐标为(1，4)，当x1时，y最小值4，当0x1时，y随着x的增大而减小，当x0时，y最大值3，当1x4时，y随着x的增大而增大，当x4时，y最大值5当0x4时，函数的最大值为5，最小值为4；(3)存在点P，设P(0，m)，如图，点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x1对称，C(0，3)C(2，3)CC'OB，PCC'与POB相似，且PC与PO是对应边，即：，解得：m0或m，存在，P(0，9)或P(0，)解：(1)设抛物线的解析式为yax2bx，将A(2，0)，B(3，3)代入，解得，yx22x，C(1，1)；(2)P的横坐标为t，P(t，t22t)，设直线BO的解析式为ykx，3k3，k1，yx，过点P作PGx轴交BO于点G，E(t，t)PGtt22tt23t，S×3×(t23t)(t)2，3t0，t时，S有最大值；yx22x，抛物线的对称轴为直线x1，设E(1，m)，当AO为平行四边形的对角线时，解得，P(1，1)；当AP为平行四边形的对角线时，解得，P(1，3)；当AE为平行四边形的对角线时，解得，P(3，3)；综上所述：P点坐标为(1，1)或(1，3)或(3，3)；(3)存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与BOC相似，理由如下：B(3，3)，C(1，1)，BO3，OC，BC2，BO2CO2BC2，COB为直角三角形，BOC90°，tanCBO，PMAM，BOCPMA，设P(m，m22m)(t0)，PMm22m，AM2m，当MPAOBC时，解得m2(舍)或m3，P(3，3)；当PAMOBC时，解得m2(舍)或m，P(，)；综上所述：P点坐标为(3，3)或(，)解：(1)过点C'作CMx轴，垂足为M，如图：由题意可知OAB和CDE是等边三角形，BAOBAC'60°，AOAC'2，C'AM180°BAOBAC'60°，C'MAC'sinC'AM2sin60°，AMAC'cosC'AM2cos60°1，OMOAAM213，C'(3，)，A(2，0)，O(0，0)在抛物线上，故设抛物线的解析式yax(x2)，将C'(3，)代入得3a，解得a，yx2x；(2)过P作PQx轴，交OC'于Q，连接PC'，OP，如图：设OC'的表达式为：ykx，由(1)知C'(3，)，3k，解得k，OC'的表达式为yx，设P点的横坐标为m，则有：P(m，m2m)，Q(m，m)，PQm2m，SC'OP×3×(m2m)(m)2，当m时，C'OP的最大面积为；(3)抛物线上存在一点M，使得BOF与AOM相似，理由如下：BF与G相切，ABF90°，BAF60°，ABOA2，AF4，OF2，BOF180°BOA120°，BOF为顶角为120°的等腰三角形AOAM2时，点M与点C'重合，如图：此时OAC120°，BOFOAC'，BOFMAO，此时M(3，)；OAOM2时，点M与点C'关于抛物线对称轴直线x1对称，如图：由对称性可知，此时AOM120°，BOFAOM，M(1,)；MOMA时，点M为抛物线顶点(1，)，此时tanAOM，AOM30°，AOMOAM30°BFOFBO，BOFAMO，M(1，)，综上所述，M的坐标为：(3，)，(1，)，(1，)解：(1)由yx3，令y0，则x30，解得x3，A(3，0)，将C(0，3)代入yx2bxc，得c3，将A(3，0)代入yx2bx3，得b2，二次函数的表达式为：yx22x3；(2)由平移性质可得DEAC，DEAC，四边形ACED是平行四边形，CEAD，CEAD，设点D(a，a22a3)，点A(3，0)向下平移3个单位，再向左平移3个单位可以得到点C(0，3)，点D向下平移3个单位，再向左平移3个单位可以得到点E，E(a3，a22a6)，将点E坐标代入yx3，得：3a3a22a6，解得a13(不符合题意舍去)，a24，把a4代入yx22x3，y5，D(4，5)；(3)PFy轴，OCMCFP，CFP90°，如图，过点D作DGy轴于G，当CPFCOM90°时，COMFPC，yx22x3的对称轴为x1，PCx轴，C(0，3)，P(2，3)，PC2，D(4，5)，C(0，3)，tanDCG，tanCFP，PF2CP4；如图，过点D作DGy轴于G，过点C作CHPF于H，当PCFCOM90°时，COMFCP，CPFPCH90°，CPFCFH90°PCHCFHDCG，tanPCHtanCFH，PHCH，FH2CH，PFCH，设直线CD的解析式为ykxm，C(0，3)、D(4，5)，直线CD的解析式为lCD：y2x3，设P(n，n22n3)，F(n，2n3)，PF2n3(n22n3)n24n，n24nn即2n23n0，解得：n，n0(舍去)，PF，综上所述，存在点P，使得以P，C，F为顶点的三角形与COM相似，此时PF4或解：(1)抛物线yx2bxc的顶点D坐标为(1，4)，y(x1)24x22x14x22x3，抛物线解析式为yx22x3；(2)当y0时，x22x30，解得x11，x23，则A(1，0)，B(3，0)，1m3，设E点的横坐标为t，m11t，t2m，点E的横坐标为2m；故答案为：2m；设F(m，m22m3)(1m3)，则E(2m，m22m3)，矩形EFGH为正方形，FGFE，即m22m3m(2m)，整理得m25，解得m1(舍去)，m2，G点坐标为(，0)；过点D作DMx轴于M，EGAD，而DMx轴，14，RtGEHRtDAM，即GH2EH，即2m22(m22m3)，整理得m2m40，解得m1(舍去)，m2，G点坐标为(，0)；(3)设AD交EF于Q，如图，FPAD，DPF90°，DFP与DAM相似13，12，23，而FPDQ，FDQ为等腰三角形，FDFQ，设直线AD的解析式为ypxq，把A(1，0)，D(1，4)代入得，解得，直线AD的解析式为y2x2，当ym22m3时，2x2m22m3，解得xm2m，则Q(m2m，m22m3)，FQm(m2m)m2(m1)(m1)，而DF2(m1)2(m22m34)2(m1)2(m1)4，(m1)2(m1)4(m1)(m1)2，而m1，1(m1)2(m1)2整理得3m210m70，解得m11(舍去)，m2，F点坐标为(，)解：(1)抛物线y(x1)2k的对称轴为直线x1，OB3OA，OB3，OA1，B(3，0)，A(1，0)，把B(3，0)代入y(x1)2k，得0(31)2k，解得：k4，y(x1)24x22x3，该抛物线的解析式为yx22x3；(2)设P(t，t22t3)，tbt22t3，bt2t3，直线PE的解析式为yxt2t3，设直线BC的解析式为ykxd，B(3，0)，C(0，3)，解得：，直线BC的解析式为yx3，过点P作PHy轴交BC于点H，过点E作EKPH于点K，如图，则H(t，t3)，PHt22t3(t3)t23t，联立得：，解得：，E(t2t，t2t3)，K(t，t2t3)，EKKHt22t，PKt22t3(t2t3)t2t，EK2PK，EKPH，PEPK(t)2，当t时，线段PE的长度随着t的增大而减小，又点P在第一象限，0t3，当线段PE的长度随着t的增大而减小时，t3；(3)直线mBC，设直线m的解析式为yxn，把A(1，0)代入得：1n0，解得：n1，直线m的解析式为yx1，当CPQAOC时，则，CPQAOC90°，过点P作PEy轴于点E，过点Q作QFPE于点F，P(t，t22t3)，C(0，3)，E(0，t22t3)，则PE|t|，CE|t22t|，PECQFP90°，CPEPCE90°，CPEQPF90°，PCEQPF，PCEQPF，PF3CE3(t22t)，QF3PE3t，EFt3(t22t)3t27t，QF3t，Q(3t27t，t2t3)，把Q(3t27t，t2t3)代入yx1，得t2t3(3t27t)1，解得：t2或，P(2，3)或(，)；当CPQCOA时，CPQAOC90°，同理可得：，Q(t2t，t2t3)，代入yx1，得t2t3(t2t)1，解得：t，点P在直线m上方，1t4，P(，)或(，)；综上所述，点P的坐标为(2，3)或(，)或(，)或(，)解：(1)(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线yx22kx2k21上，x1x22k，x1x22k21，y1x122kx12k21，y2x222kx22k21，y1y2(x122kx12k21)(x222kx22k21)(x2x1)(x1x22k)，当x1x22时，y1y20恒成立，(x2x1)(22k)0，x1kx2，22k0，k1，该抛物线的解析式为yx22x3；(2)由(1)知：yx22x3，令y0，得x22x30，解得：x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，令x0，得y3，C(0，3)，在RtAOC中，AC，设直线AC的解析式为ymxn，则，解得：，直线AC的解析式为y3x3，如图1，过点M作MDy轴交AC于点D，设M(t，t22t3)(1t0)，则D(t，3t3)，MDt22t3(3t3)t2t，MNAC，MND90°AOC，MDOC，MDNACO，MDNACO，即，MN(t)2，0，当t时，线段MN取得最大值，此时，M(，)；(3)存在yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线x1，设P(m，m22m3)(m1)，则Q(1，m22m3)，过点P作PHx轴于点H，则H(m，0)，PQl，lx轴，PQx轴，FPQPAH，PQFAHP，PFQAPH，当点P在x轴上方时，如图2，PHm22m3，AHm1，又OA1，OC3，若PFQCAO，则APHCAO，即，解得：m1(舍去)或m，当m时，m22m3()22×3，P(，)；若PFQACO，则APHACO，即，解得：m1(舍去)或m0(不符合题意，舍去)；当点P在x轴下方时，如图3，PHm22m3，AHm1，若PFQCAO，则APHCAO，即，解得：m1(舍去)或m，当m时，m22m3()22×3，P(，)；若PFQACO，则APHACO，即，解得：m1(舍去)或m6，当m6时，m22m3622×6321，P(6，21)；综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(6，21)学科网（北京）股份有限公司