清北学霸高考秘籍-与球有关的问题“心有所依”模型.doc
1“心有所依心有所依”模型模型北大学霸高考数学北大学霸高考数学提分秘籍提分秘籍心有所依模型适用圆锥、侧棱相等的棱锥等几何体，可得球心必在圆锥的高所在的直线上，或者在棱锥一个底面的高所在直线上，由此可把相关信息转嫁到某一个直角三角形内，利用勾股定理求解.【典例【典例 1】（2018 届四川泸州一中一诊）已知圆锥的高为 5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A4B36C48D24【解析】【解析】设球的半径为R，由于圆锥的高为 5，底面圆的半径为5，所以22255RR，解得3R，所以该球的表面积为2436R.故选B【试题点评】【试题点评】本题是两个旋转体的组合，其中圆锥的轴线所在直线垂直于其底面圆，结合球与圆锥的有关性质，球心必在圆锥的高所在的直线上，应用数学建模的素养，建立“心有所依”模型，将有关信息嫁接到如图所示的1Rt OO AV中，利用勾股定理求解.【典例【典例 2】（2018 届山东省实验中学一诊）在三棱锥PABC中，PAPB2 6,4PCACAB，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为_.【解析】【解析】设顶点P在底面中的射影为1O，由于PAPBPC，所以111O AO BOC，即点1O是底面ABC的外心，又ACAB，所以1O为BC的中点，因为PAPB2 6,4PCACAB，所以114 2,2 2,4BCAOPO，BPA1OOO1OPCBA2设外接球的球心为O，半径为R，则O必在1PO上，14OOR，在1Rt OOA中，22242 2RR，解得3R，所以22436SR.【试题点评】【试题点评】此类问题的解决可以灵活地应用“心有所依”模型，顶点在底面内的摄影是底面多边形的外心，如图所示，将有关信息嫁接到如图所示的Rt OHAV中，利用勾股定理求解.本题直角三角形斜边上的中点到直角三角形各顶点的距离相等，只需在过斜边中点与三角形所在平面的垂线上探求球心解决问题.【典例【典例 3】已知四棱锥的PABCD的侧棱长均为30，底面是两邻边长分别为2和3 2的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（）A.18B.323C.36D.48【解析】【解析】因为底面是矩形，所以矩形的对角线AC为截面圆的直径.由题意知该四棱锥外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点H，此时221123 2522AHAC，在PCH中，由勾股定理得222305PH，解得5PH.设该四棱锥外接球的半径为R，则5,OHR OCR，所以在OCH中，由勾股定理得22255RR，解得3R，所以外接球的表面积为2436SR.故选 C.【试题点评】【试题点评】球心与球的截面圆的圆心的连线垂直于该截面圆，而截面圆的圆心是其内接多边形的外心球心与球面上任意一点所连的线段都是球的半径，这些性质是解决球的接、切问题过程中化空间为平面的根本所在.APBCDHO3【典例【典例 4】（2018 届云南昆明一中一检）体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且:2:3R BC，点E为BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是.【解析】【解析】设20Rt t，则3BCt，因为体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，所以213318 334th，解得224ht.由2223RhRt，得2t 或324t（舍），所以4R.由题意知点E为BD的中点，在OBD中，4,6ODOBDB，解得7OE，所以当截面垂直于OE时，截面圆的半径为1673，故截面圆面积的最小值是9.【试题点评【试题点评】过球内一个定点作截面圆可作无数多个，只有球心与定点的连线垂直于截面圆时，截面圆的面积最小.2.2.汉堡模型汉堡模型【典例【典例 5】（2018 届湖北襄阳一模）已知直三棱柱111ABCABC中，090BAC，侧面11BCC B的面积为4，则直三棱柱111ABCABC外接球的半径的最小值为【解析】【解析】由于直三棱柱111ABCABC中，090BAC，所以111,BACB AC的外接圆的圆心分别是11,BC BC的中点1,D D，外接球的球心O就是1DD的中点，设直三棱柱的高为h，由于侧面11BCC B的面积为4，则4BCh，所以222222hRh，当且仅当2h 1CC1BB1AADO1DABCDEOH4时取等号，故直三棱柱111ABCABC外接球的半径的最小值为2.【试题点评【试题点评】对于直棱柱，应用数学建模的素养，结合球与直棱柱的有关性质，建立“汉堡”模型，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心，球心到各个顶点的距离都等于球的半径，如图所示，将有关信息嫁接到如图所示的Rt OHAV中，利用勾股定理求解.【典例【典例 6】（2018 届湖北武汉高三模考）如图，三棱锥SABC内接于球O，SA 平面,2,1ABC SAAB，30BCAo，则球O的体积为.【解析【解析】由SA 平面ABC，则三棱锥SABC为直三棱锥，将其放在直三棱柱中，设三棱柱上下两个底面的外心分别为,M N，连接MN，则线段MN的中点即为球心，设ABC外接圆的半径为r，直三棱柱的高为h，由正弦定理得112sin30r o，2hON，设外接球的半径 2222hRr，故球O的体积为348 233VR.【试题点评【试题点评】采取割补法，将不规则图形转化为规则图形，将棱锥转化为直棱柱，再应用“汉堡”模型解决问题，本题棱锥的外接球亦即直棱柱的外接球，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心.3.3.墙角模型墙角模型【典例【典例 7 7】已知三棱锥SABC，满足,SA SB SC两两垂直，且2SASBSC，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为.BSCABSCAMNOBSCA5【解析】【解析】如图，三棱锥SABC满足,SA SB SC两两垂直，由2SASBSC，则2 2ABBCAC，如图，将三棱锥放入正方体中，则正方体的棱长为 2，正方体对角线即为正方体的外接球亦即三棱锥外接球的直径，而22 3R，所以球的半径为3R，因为Q是三棱锥SABC外接球上一动点，所以点Q到平面ABC的距离的最大值为4 33.【试题点评】【试题点评】本题具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建“两两垂直垂直”模型，亦即“墙角”模型，如图所示，将三棱锥放入伴随长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这是处理此类问题的简捷的途径.【典例【典例 8 8】四面体ABCD中，10,2 34,2 41ABCDACBDADBC，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A50B100C200D300【解析】【解析】如图，将四面体ABCD放入长方体中，则四面体的外接球亦即长方体的外接球，BASCCADBBACD6设长方体的长、宽、高为,x y z，则2222222222 41102 34xyyzxz，解得1086xyz，因为长方体对角线即为长方体的外接球亦即四面体外接球的直径，而210 2R，所以球的半径为5 2R，故四面体ABCD的外接球的表面积为24200SR.【试题点评】【试题点评】本题四面体ABCD的对棱两两相等，也可灵活地应用“墙角”模型，将它放入伴随长方体中，所有的棱都是伴随长方体表面的对角线，易得四面体ABCD外接球亦即伴随长方体的外接球.如果将正四面体纳入正方体中得到其伴随正方体，正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球，利用这种伴随关系可以简化求正四面体的有关问题.【典例【典例 9 9】（2018 届成都一诊）在三棱锥PABC，PA 平面ABC，120BACo，2PAABAC，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A10 3B18C20D9 3【解析】法一【解析】法一该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥PABC，120BACo，2PAABAC，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，因为六棱柱的外接球的直径为222422 5R，5R，所以该球的表面积为2420R。法二法二取该三棱锥的底边BC的中点为E，连接AE，则AEBC，以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示，则0,3,0,0,3,0,1,0,0,1,0,2BCAP，设球心为,M x y z，于是有MAMBMCMP，则2222222222222222221313112xyzxyzxyzxyzxyzxyz，ACBPzACBPyxE7解得101xyz，所以1,0,1M，所以外接球的半径为22215MA,表面积为2420R.【试题点评】本题通过两种方法求解：方法一采用补形法，可以灵活应用“墙角”模型，把三棱锥补成正六棱柱，三棱锥的外接球和正六棱柱的外接球是同一个球，可转化为求该六棱柱的外接球的表面积；方法二是坐标法计算，关键是找出两两垂直的三条直线建坐标系，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径，求解球心坐标，即可解决问题.显然补形法比较快捷、易于理解.4.4.由三视图还原几何体由三视图还原几何体【典例【典例 1010】四棱锥ABCDP 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A581B2081C5101D20101【解析【解析】如图，由三视图知识可知，几何体即为四棱锥PABCD，其中平面PCD 平面ABCD，且4,2,3ABBCPCPD，取CD的中点G，2GC，设四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，底面ABCD的外接圆圆心为H，平面PCD的外接圆圆心为K，则OH 平面ABCD，OH 平面PCD，由几何、三角知识可得，139 55,21053HCKCr，22510OHKGKCGC，所以2250510ROCOHHC，KAPBCDHOG8故该四棱锥的外接球的表面积210145SR.【试题点评【试题点评】本题有两个表面具有面面垂直的特征，属于“面面垂直”模型，此类问题的解决关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的【典例【典例 11】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是A.25B.425C.29D.429【解析【解析】如图，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥ABCD，其中AB 平面BCD，1,5,2ABBCBDCD，设BCD的外接圆He的圆心H，半径为r，由几何、三角知识可得，BH经过CD的中点，且115222sin4BCBHrBCD，设该三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，则OH 平面BCD，1122OHAB，所以225129424R，故该三棱锥的外接球的表面积是22944SR.【试题点评【试题点评】本题具有某棱垂直与一个表面的特征，应用数学建模素养，借助于“棱面垂直”模型，如图所示，点H是ABCV的外心，将有关信息嫁接到如图所示的Rt OHDV中，利用勾股定理求解.【典例【典例 1212】下图中，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为（）CBADHO9A32B48C.50D64【解析【解析】如图，由三视图知识可知，几何体即为四棱锥PABCD，其中平面PCD 平面PAB，设外接球的球心为O，PCD与PAB的外心分别为,H G，则,HP GP分别为PCD与PAB的外接圆的半径，OHOG，在PCD中，2 5,4PCPDCD，应用正、余弦定理可得5cos5PDC，所以2 515sin,52sin2PCPDCPHPDC，所以外接球O的表面积为222244450SROPOHPH.【试题点评【试题点评】多面体间的“接”的问题，要善于应用相互垂直的平面，过各自的中心且与它们垂直的直线的交点即为球心.5.5.坐标法的妙用坐标法的妙用【典例【典例 1313】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A11B12C13D14解析解析：如图，在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，,B D为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥ABCD，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则0,1,1A，1,0,0,1,1,0,0,0,0BCD，设球心为,M x y z，MAMBMCMDR，于是有22222222222222222211111xyzxyzxyzxyzxyzxyz，BPCDAHGOBACDzxy10解得121232xyz，所以1 1 3,2 2 2M，所以外接球的半径为222113112222MA,表面积为2411R.点评点评：用坐标法求解，要善于借助于长方体.将几何体纳入长方体后，各个顶点的坐标容易求出，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径，求解球心坐标，进而求解问题.类型二类型二多面体的内切球多面体的内切球【典例【典例 1414】四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 6 的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A6B5C.92D94【解析】【解析】由于四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，且PAPBPCPD，所以四棱锥PABCD是正四棱锥，设四棱锥的内切球球心为O，与底面切于点H，与侧面切于点G，则点H是底面的中心，点G在侧面PBC的中线PM上，1OGOH，易知1tan3OMH，所以3tantan24PMHPMH，又tanhPMHHM，所以94h.【试题点评】【试题点评】球与多面体间的“切”的问题，关键突破口是作出过它们的“切”的切点且与轴截面重合的一个截面，将空间问题转化为平面问题解决，在计算过程中要抓住球半径这个主要元素，再利用平面几何、三角函数知识求解.【典例【典例 15】在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥MABCD为阳马，侧棱MA 底面ABCD，且2MABCAB，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为APBCDHOGM11【解析】【解析】因为侧棱MA 底面ABCD，且底面为长方形，所以内切球1O在侧面MAD内的正视图为MAD的内切圆Ye，设Ye的半径为r，根据圆的切线长定理得222MAADMDr，所以内切球1O的半径为22r；设该阳马的外接球半径为R，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径，所以222132RABADAM，所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为2243616 2Rr.【试题点评】【试题点评】由于“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比球的轴截面是大圆，它几乎含有球的全部元素，所以有关球的计算，往可以作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题，把空间问题转化为平面问题.【典例【典例 16】（2018 届湖南常德二模）在九章算术 中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥PABC为鳖臑，侧棱PA 底面ABC，ACBC，且2,3,4PAACBC，则该鳖臑的内切球的半径为【解析】【解析】由鳖臑的性质可知，PCCB，13,5,29PCABBP，所以14,6,3,2 13,33P ABCABCABCPABPBCPCAVSPASSSSVVVVV，故127136142 13r.【试题点评【试题点评】求解三棱锥的内切球的半径也可以应用等体积法：先求出四个表面的面积和整个三棱锥的体积，再设出内切球的半径r，建立等式O PABO PBCO PCAO ABCP ABCVVVVV，利用棱锥的体积AMBCDXYZ1OAPBC12公式可得3P ABCPABPBCPCAABCVrSSSSVVVV.
