【高中数学】离散型随机变量的方差课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册.pptx

7.3.2 离散型随机变量的方差甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：情境引入如何比较甲、乙两人的技术？问题情境中的问题，我们可以分别求出甲、乙两人不合格品数的均值，但是两人的均值相等，我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平？提示我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度情境引入1.离散型随机变量的数学期望2.数学期望的性质数学期望是反映离散型随机变量的平均水平回顾旧知3.样本方差 叫做这组数据的方差.设在一组数据 中,是它们是它们的平均数,那么探究新知 随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.探究新知如何评价这两名同学的射击水平？因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.问题2.从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03两个均值相等探究新知比较两个图形,哪一名同学的射击成绩更稳定?除平均中靶环数以外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度.乙同学的射击成绩更稳定下图分别是X 和Y 的概率分布图.YP1098706XP1098706探究新知思考:怎样定量刻画随机变量的离散程度？(1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？样本方差(2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？随机变量 X 的方差探究新知离散型随机变量方差设离散型随机变量X 的概率分布为：我们称为随机变量X 的方差.为随机变量X 的标准差.有时也记为Var(X),探究新知 随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.探究新知6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03即乙同学的射击成绩相对更稳定下面用两名同学射击成绩的的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性探究新知在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化探究新知离散型随机变量方差的性质一般地,有下面的结论成立证明：探究新知解:抛掷散子所得点数X 的分布列为P654321X例1.掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差探究新知解:随机变量X 的分布列为例1.掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差.探究新知例2、投资A,B两种股票,每股收益的分布列如下表所示股票A收益的分布列股票B收益的分布列(1).投资那种股票的期望收益大?(2).投资那种股票的风险较高?探究新知解：(1).股票A、B的投资收益的期望分别为(2).股票A、B的投资收益的方差分别为探究新知1 离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2，(xnE(X)2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称新知探索2几个常见的结论(1)D(aXb)_(2)若X服从两点分布，则D(X)_a2D(X)p(1p)新知探索1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 ()提示随机变量的方差越小，随机变量越稳定2若a是常数，则D(a)0.()3离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度()新知探索1若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p0.5,则E(X)和D(X)分别为()A0.5和0.25 B0.5和0.75C1和0.25 D1和0.75解析E(X)p0.5，D(X)p(1p)0.50.50.25.答案A新知探索2设随机变量X的方差D(X)1，则D(2X1)的值为()A2 B3 C4 D5解析D(2X1)4D(X)414.答案C新知探索离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.新知探索题型一求离散型随机变量的方差角度1用定义求离散型随机变量的方差【例1】设离散型随机变量X的分布列为练习巩固答案C新知探索角度2求两点分布的方差【例2】若某运动员投篮命中率p0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为_解析依题意知：X服从两点分布，所以D(X)0.8(10.8)0.16.答案0.16新知探索规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)p(1p)求解(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况新知探索变1袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差新知探索解(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.新知探索(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球所以X的可能取值为3，5，6，7，新知探索所以X的分布列为新知探索题型二方差的性质的应用【例3】已知随机变量X的分布列为：新知探索新知探索规律方法求随机变量YaXb方差的方法求随机变量YaXb的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aXb)a2D(X)求解新知探索变2设随机变量X的分布列为新知探索答案D新知探索题型三均值与方差的综合应用【例4】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)新知探索解E(XA)1100.11200.21250.41300.11350.2125，E(XB)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D(XA)0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250，D(XB)0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165.由此可见E(XA)E(XB)，D(XA)D(XB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好新知探索规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程新知探索变3袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值解(1)X的分布列为新知探索(2)由D(Y)a2D(X)，得a22.7511，得a2.又E(Y)aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.新知探索1.离散型随机变量取值的方差、标准差3.求离散型随机变量X 的方差、标准差的一般步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值;求X取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出 E(X)；4.若 X 服从两点分布，则 根据方差、标准差的定义求出 、课堂小结