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热力学与统计物理试题与答案 热力学与统计物理一 填空题（共 40 分）1N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为 r，系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维 空间中的一个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为 ，则每一微观状态出现的概率为（ 1/? ），系统的熵为（ kln ? ）。3玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足 0 fs 1。4玻色系统和费米系统在满足（ 经典极限条件 (或 e- >1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。dU al d dal l l5 ll给出内能变化的两个原因，其中（da ）项描述传热， （l la d ）项描述做功。l ll l6对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 升高 ）；如果温度足够低，则会发生（ 玻色 爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量 U0（ 0），压强p0（ 0），熵S0（ 0）。7已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为12m(p_2 )2 2p py za_2b_2，粒子的平均能量为（ 2kT b/4a ）。8当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9如果系统的分布函数为 s，系统在量子态 s 的能量为 Es，用 s 和 Es 表示：系统的平均能量为（E E ），能量涨落为s ss（2(E E) ）（如写成s s2 ( ) 2E E 也得分）。s10与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数 s 具有特点（ ds / dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分 ），同时 s 也满足归一化条件。二计算证明题（每题 10 分，共 60 分）1假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为 0，2， 3 ，。， 而且都是非简并的，如果系统含有 6 个分子，问：（ 1）与总能量 3相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（ 2）根据公式alN!all!lal计算每种分布的微观态数 ?；（ 3）确定各种分布的概率。解：能级： 1， 2， 3， 4，?能量值： 0， ， 2， 3，?简并度： 1， 1， 1， 1，?分布数： a1, a2, a3, a4, ?分布a 要满足的条件为： al N 6lla El l3l满足上述条件的分布有： A： 5,0,0,1,0,alB： al 4,1,1,0,0,C： al 3,3,0,0,0,A6!5! 1!1 6;各分布对应的微观态数为：B6!4! 1! 1!1 30;C6!3! 3!1 20所有分布总的微观态数为： 6 30 20 56A B CpA A/ 6/ 56 0.107;各分布对应的概率为：pB B/ 30 / 56 0.536;pC C/ 20 / 56 0.357;2表面活性物质的分子在液面（面积为 A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为 m，总粒子数为 N。（1）求单粒子的配分函数 Z1；（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在 _ 到 _d_， y 到 ydy 内，动量在 p_ 到 p_dp_， py 到 pydpy 内的分子数 dN；（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解：（1）单粒子的配分函数1 A2 2( p_ p y )z e d_dydp dp (2 mkT )2 m1 2 _ y 2h h（2）d_dydp dp N d_dydp dp( ) _ y _ ydN e e2 2h Z h1（3）将（ 1）代入（ 2），并对 d_dy积分，得分子按速度的分布为mm2 2 2dN N ( )e kT (v v )dv dvv _ y _ y2 kT（4）有（ 3）可得分子按速率的分布为：2 2mv mvm m2kT 2kT2 N ( )e vdv N ( )e vdv2 kT kT3定域系含有 N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级 1 0，20，其中 0 大于零且为外参量 y 的函数。求：（1）温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（1）单粒子的配分函数为：Z e e e e el 1 2 0 01l处于基态的粒子数为：Ne 1 e 0N N1Z e 0 e 01;处于激发态的粒子数为：N e 0N e N22Z e e0 01;0温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：N e 0 e2N e001kTekT极端高温时： 0kT，N2N11, 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；N极端低温时： 0kT， 2N10, 即粒子几乎全部处于基态。（2）系统的内能：ln Z e e0 01U N N ln( e e ) N0 00e e0 0热容量：2U 1 U e eN 0 00 2C ( ) ( ) 1 ( )V V 2 V 2T kT kT e e0 0N（3）极端高温时系统的熵： ln ln 2 ln 2S k k Nk极端低温时系统的熵： S=04对弱简并的非相对论费米气体，求：（1）粒子数分布的零级近似 f0 与一级修正项 f 1；（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 e 。1f 解：费米气体分布函数为：e1（1）1f e e (1 e ) e e1 e2 2f e ， f e0 12 21（2）D( )d CV d21f D( )d e 2 2 CV d2N1N f D( )d01e CV d2ef D( )dU1U f D d( )0e5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度 n，（1）简述： T0K 时电子气体分布的特点，并说明此时化学势 0 的意义；（2）证明： T0K 时电子的平均能量30 50，简并压强2p n；0 05（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。f1T=0K（1）0 表示 T0K 时电子的最能量。电子从 0 的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。f = 1 ( 0)00 (2)1 30 0 02 2fD( )d CV d d 3U0 0 00 1 1 0N 0 fD d( )50 02 2CV d d00 02U 2 U N 2 2 3 2p n n n0 0 0 03 V 3 N V 3 3 5 5(3)T>0K 时:1 1 1f （ ）；f （ ）；f （ ）2 2 2T>0K 时，只有在 附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级，对 CV 有贡献，设这部分电子的数目为 Neff， 则kTN N 。每一电子对effCV 的贡献为 3kT/2, 则金属中自由电子对 Cv 的贡献为3 3k kT 3Nk kT 3Nk kT 3Nk TeC k N N ( ) ( ) ( )V ef f2 2 2 2 kT 2 Tf f晶格的热容量为 Cv3Nk，eC 1 TVC 2 TV f4 50(T :10 10 )fU U06固体的热运动可以视为 3N 个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率 i，内能的表达式为： i遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。e/ kTi1，式中的求和（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于 T3。解：（1）爱因斯坦模型： N 个分子的振动简化为 3N 同频率（ ）的简谐振动，每个振子的能级为德拜模型： N 个分子的振动简化为 3N 个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限 D，1n (n )；22D( )d B d .(2) 爱因斯坦模型 :1 2e( n )Z e e 2l1 1lel n;U 3N ln Z13N 3N2 e 1/ kTU e2C ( ) 3Nk ( )V V / kT 2T kT (e 1)高温时：/kT 1 / , / kT 1, 3e kT e C NkV（3）3N 3 3DB kT ( / kT)i 4DU U U U B ( ) d( )0 / 0 / 0 0 /kT kT kTe i 1 e 1 e 1 kTi1 0上式的第二项与 T 的 4 次方成正比，故C TV3第 14 页 共 14 页
