多元函数的微分学(IV).ppt
理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心微积分微积分A A 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心第八章第八章第八章第八章 多多多多 元元元元 函函函函 数数数数 微微微微 分分分分 学学学学教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域以及有界闭区域上上 连续函数的性质。连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。解一些简单应用题。重点与难点重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心定理定理1 设设 z=f(x,y)可微可微,且且对对 t 可导可导,则复合函数则复合函数对对 t 可导可导,且且一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则证明证明8.4 复合函数的微分法复合函数的微分法 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心当当由于所设函数由于所设函数 z=f(x,y)可微，故有可微，故有 得到得到根据所设根据所设x,y 对对 t 可导性知可导性知 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数全导数全导数.常称此公式为常称此公式为链式链式(导导)法则法则.哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：元函数的情况：哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心链式法则如图示链式法则如图示 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心zuvwxy 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解令令 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解(标准约定的写法标准约定的写法)哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解练练 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心这里利用了这里利用了 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解练练 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心练练 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心例例5 设设解解 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心例例6 设设解解 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心
