高数隐函数与参数方程求导.ppt

主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞 高等数学 第十三讲1第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数 隐函数与参数方程求导 第二章 二、对数求导法二、对数求导法2一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.此函数为隐函数隐函数.则称如如 3两边对 x 求导(含导数 的方程)隐函数求导方法求导方法:例例1 设 是由方程所确定的，求解：解：方程两边同时对 x 求导。4例例2 求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数代入(*)求解。5例例3.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即将点代入6求其反函数的导数.解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导例例4.设7由方程确定,解解:方程两边对 x 求导,得再求导,得当时,故由 得再代入 得 求例例5 设若求再将代入上式。8观察函数方法方法:先在方程两边取对数,对数求导法对数求导法-适用范围适用范围:二、对数求导法二、对数求导法然后利用隐函数的求导方法求出导数.9例例6.求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导10 1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:11例例7 求下列函数的导数两边取对数两边对 x 求导1.122.对 x 求导两边取对数求13例例8.设求提示提示:分别用对数微分法求答案答案:14三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数若变量 y 是 x 的函数，其对应关系是通过第三个变量 t 联系在一起的，即 x,y 是 t 的函数,这就是参数方程。参数方程的一般形式为：t 是参变量。例如：例如：表示抛物线表示半径为 a 的圆：例如：例如：炮弹以初速度 v0 与水平方向角 t 射出，其运动轨迹方程为：表示。又如：又如：15若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成 x 是 y 的函数)关系,参数方程求导参数方程求导16求在处的切线方程。解解：点坐标：切线方程：例例9 已知摆线方程17,求解解：例例10 设方程组两边同时对 t 求导,得18极坐标：极坐标：若将直角坐标系中的原点取为极点极点，轴的正半轴取为极轴极轴。设直角坐标系中点的坐标极坐标系中点的坐标称为极坐标的极径极径。称为极坐标的极角极角。把由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：19在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为例例11 求螺线20 求参数方程所表示的函数的二阶导数.解解:已知存在则也可使用一阶导数21例例12 设求?已知注意注意:则有22求解解：例例13 设23,且求已知解解:例例1424内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式25作业作业P109 1;2;3;4；5（1）（3）;6;7(2)（4）;8.26在求对数螺旋线线方程。解解：因为得8.对 求导，对应点处的切故所求切线方程为27