线性代数排列及其逆序数.ppt

第二节排列的逆序数第二节排列的逆序数一、概念的引入一、概念的引入二、排列的逆序数二、排列的逆序数三、对换三、对换四、小结、思考题四、小结、思考题一、排列的逆序数引入说明：一、排列的逆序数引入说明：我们已介绍了我们已介绍了2、3阶行列式，我们希望将阶行列式，我们希望将概念推广到概念推广到n阶的情况，为此，需引入逆序数阶的情况，为此，需引入逆序数的概念来确定行列式展开式中项的符号的概念来确定行列式展开式中项的符号.定义定义排列的逆序数排列的逆序数 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中，我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序二、排列的逆序数定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列一个排列中所有逆序的总数称为此排列 的的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.例例1 1、用多种方法求排列、用多种方法求排列1635248716352487的逆序数的逆序数.2 2、的取值范围？、的取值范围？3 3、求、求n(n-1)n(n-1)21的逆序数。的逆序数。4、若求、若求逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性三、对换三、对换定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如对换与排列的奇偶性的关系对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理定理2 2 在全部在全部 阶排列中阶排列中 ,奇偶排列各奇偶排列各 占一半占一半.2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有多种计算排列逆序数常用的方法有多种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为四、小结四、小结4 对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.计算法的本质：计算法的本质：n本质为计算排列中的每一元与其前面的元本质为计算排列中的每一元与其前面的元所产生的逆序数，然后逐个相加，即得排所产生的逆序数，然后逐个相加，即得排列的逆序数。各种方法的区别在于计算排列的逆序数。各种方法的区别在于计算排列中每一元的逆序数的顺序，第一种方法列中每一元的逆序数的顺序，第一种方法是按元本身从小到大计算，而第二种方法是按元本身从小到大计算，而第二种方法是按元后在的位置从右往左计算。是按元后在的位置从右往左计算。