【教学课件】第二章控制系统数学模型.ppt

第二章第二章 控制系统数学模型控制系统数学模型 数学模型：描述系统各变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。本章主要内容：系统和元件数学模型的建立传递函数的概念结构图建立及化简信号流图的概念及流图总增益的计算21 数学模型 动态模型：描述系统动态过程的方程式称为动态模型。动态模型：描述系统动态过程的方程式称为动态模型。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。静态模型：在静态条件下静态模型：在静态条件下(即变量的各阶导数为零即变量的各阶导数为零)，描述，描述 系统各变量之间关系的方程式，称为静态模型。系统各变量之间关系的方程式，称为静态模型。建立系统数学模型的途径建立系统数学模型的途径：理论推导法理论推导法通过系统本身机理通过系统本身机理(物理、化学规律物理、化学规律)的分析的分析 确定模型的结构和参数，从理论上推导出系确定模型的结构和参数，从理论上推导出系 统的数学模型。统的数学模型。实验测试法实验测试法根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输 入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。数学模型数学模型 2-2 系统微分方程式的建立系统微分方程式的建立建立系统建立系统(或元件或元件)微分方程式的一般步骤：微分方程式的一般步骤：(1)(1)确定输入变量和输出变量确定输入变量和输出变量;(2)(2)根根据物理或化学定律，列出系统据物理或化学定律，列出系统(或元件或元件)的原始方程式；的原始方程式；(3)(3)找出找出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式；原始方程式中中间变量与其它因素的关系式；(4)(4)消去中间变量，消去中间变量，得得到到输入输出关系方程式输入输出关系方程式；(5)(5)若所求若所求输入输出关系输入输出关系为非线性方程为非线性方程，则需进行线性化；，则需进行线性化；(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。建模举例建模举例1 弹簧弹簧质量质量阻尼器系统阻尼器系统 输入输入f(t)输出输出y(t)（1）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有要求写出系统在外力要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式作用下的运动方程式阻尼器阻力 弹簧力（2）消去中间变量 B 阻尼系数 f2(t)=Ky(t)K 弹性系数 代入上式并整理线性定常二阶微分方程式 建模举例建模举例2 R-L-C电路电路 ur(t)为输入电压，为输入电压，uc(t)为输出电为输出电压。压。要求列出要求列出uc(t)与与ur(t)的关系方程的关系方程式。式。（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式）根据克希霍夫定律可写出原始方程式（2）式中）式中i是中间变量，它与输出是中间变量，它与输出uc(t)有如下关系有如下关系（3）消去中间变量）消去中间变量i后，得输入输出微分方程式后，得输入输出微分方程式 或式中式中 T1=L/R，T2=RC 为该电路的两个时间常数为该电路的两个时间常数 建模举例建模举例3 电枢控制的直流电动机电枢控制的直流电动机 电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图如下：电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图如下：（1）列写原始方程式。电枢回路方程式：输入输入电枢电压电枢电压ua，输出输出轴角位移轴角位移q q 或角速度或角速度w w，扰动扰动负载转矩负载转矩ML变化变化式中 La 电枢回路总电感(亨)；Ra 电枢回路总电阻(欧)；Ke 电势系数(伏/弧度/秒)；w 电动机角速度(弧度/秒)；ua 电枢电压(伏)；ia 电枢电流(安)。根据刚体旋转定律，写出运动方程式式中 J 转动部分转动惯量(公斤米2)；ML 电动机轴上负载转矩(牛顿米)；Md 电动机转矩(牛顿米)。（2）Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气隙磁通的乘积成正比，现在磁通恒定，所以有 Km 电动机转矩系数(牛顿米/安)。联立求解，整理后得（续上页）（续上页）若输出为电动机的转角q，则有 三阶线性定常微分方程 机电时间常数，(秒)；电动机电枢回路时间常数，一般比Tm小，(秒)。或或建模举例建模举例4 磁场控制的直流电动机磁场控制的直流电动机设设电枢电流电枢电流Ia=常数，常数，气隙磁通气隙磁通F F(t)=Kf if(t)，激磁回路电感激磁回路电感Lf为常值。为常值。（1 1）激）激磁回路方程式磁回路方程式 uf 激磁电压激磁电压(伏伏)；if 激磁电流激磁电流(安安)；Rf 激激磁磁回回路路电电阻阻(欧欧)；j j 激磁绕组磁链激磁绕组磁链(韦韦)。（2 2）设电动机转矩）设电动机转矩M Md d是用来克服系统的惯性和负载的阻尼是用来克服系统的惯性和负载的阻尼摩擦的，因此有摩擦的，因此有 J 转动部分转动惯量；转动部分转动惯量；B 阻尼摩擦系数。阻尼摩擦系数。（3）消去中间变量）消去中间变量j j,Md 或 Tf激磁回路时间常数激磁回路时间常数(秒秒),；T Tm 惯惯性性和和阻阻尼尼摩摩擦擦时时间间常常数数(秒秒),；Kd 电动机传递系数，电动机传递系数，。建模举例建模举例5 热力系统热力系统 输入量为输入量为 j j i，输出量为输出量为q q 0 0。（1）按能量守恒定律可写出热流）按能量守恒定律可写出热流量平衡方程量平衡方程 j j t 供给水箱中水的热流量供给水箱中水的热流量(瓦特瓦特)；j j0 0 出水带走的热流量出水带走的热流量(瓦特瓦特)；j jc 进水带入的热流量进水带入的热流量(瓦特瓦特)；j js 通过热绝缘耗散的热流量通过热绝缘耗散的热流量(瓦特瓦特)。（2）找出中间变量）找出中间变量 C 水箱中水的热容量水箱中水的热容量(焦耳焦耳/）；q q 0 0 水箱中水的温度水箱中水的温度()。Q 出水流量出水流量(公斤公斤/秒秒)；Cp 水的比热水的比热(焦耳焦耳/公斤公斤)。R 由水箱内壁通过热绝缘扩散由水箱内壁通过热绝缘扩散到周围环境的等效热值到周围环境的等效热值(/瓦特瓦特)。（3）将以上各式代入热平衡方程）将以上各式代入热平衡方程或T=RC为热时间常数(秒)。一阶非线性微分方程式一阶非线性微分方程式 当出水流量当出水流量Q一定，环境温度和进水温度一定，环境温度和进水温度q q i也为常值时，也为常值时，系统为系统为一阶线性定常微分方程一阶线性定常微分方程 建模举例建模举例6 流体过程流体过程 输入量输入量_qi输出量输出量_h（1）设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，）设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得：可得：a为节流阀的流量系数(米2.5/秒)（3 3）消去中间变量消去中间变量q，得得一阶非线性微分方程式一阶非线性微分方程式 S 液罐截面积(米2)；h 液面高度(米)；（2）求出中间变量）求出中间变量q与其它变量的关系。由于通过节与其它变量的关系。由于通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得流阀的流体是紊流，按流量公式可得 非线性方程的线性化非线性方程的线性化（1）单变量非线性方程）单变量非线性方程 的线性化的线性化将非线性函数 在平衡点P(x0,y0)附近展开成泰勒级数，即在平衡点，忽略二次以上高阶无穷小非线性方程的线性化非线性方程的线性化（续）（续）（2）具有两个自变量非线性方程）具有两个自变量非线性方程 的的线性化线性化 设在平衡点(x10,x20)处的各阶偏导数都具有有限值，略去二次以上高阶无穷小，或线性化举例线性化举例 试将流体过程数学模型 线性化，即将 线性化，并写出增量化数学模型。过工作点(h0,q0)作一切线代替原曲线，切线斜率K。由增量化，得整理，得2-3 传递函数传递函数 一、传递函数的概念一、传递函数的概念 RC RC电路如下：根据克希霍夫定律，电路如下：根据克希霍夫定律，可列写微分方程可列写微分方程 消去中消去中间变间变量量i(t)，得，得对上式两端进行拉氏变换：对上式两端进行拉氏变换：求出求出Uc(s)的表达式：的表达式：若若uc(0)=0 或或式中式中 T=RC 二、传递函数的定义二、传递函数的定义 线线性性(或或线线性性化化)定定常常系系统统在在零零初初始始条条件件下下，输输出出量量的的拉拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。若线性定常系统由下述若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：阶微分方程描述：令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，在初始条件为零时，进行拉氏变换，可得到s的代数方程 ansn+an1sn-1+a1s+a0C(s)=bmsm+bm1sm1+b1s+b0R(s)M(s)为传递函数的分子多项式D(s)为传递函数的分母多项式。三、三、传递函数的性质传递函数的性质 1.传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶的有理真分式函数，分子的阶数数m一般低于或等于分母的阶数一般低于或等于分母的阶数n，即即mn，且，且所有系数均为实数。所有系数均为实数。2.2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。外作用及初始条件无关。3.3.一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。统的动态性能。例如：-z1,-zm传递函数的零点，传递函数的零点，m m个个 -p1,-pn传递函数的极点，传递函数的极点，n个个4.4.令令s=0 0，则则 称为传递系数，或静态称为传递系数，或静态 放大系数。放大系数。5.5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。函数关系。G(s)=的的零极点分布图零极点分布图 四、典型环节及其传递函数四、典型环节及其传递函数（一）比例环节（一）比例环节 G(s)=K（二）惯性环节（二）惯性环节 （三）积分环节（三）积分环节 式中式中 K环节的比例系数；环节的比例系数；T 环节的时间常数。环节的时间常数。当积分环节的输入信号为单位阶跃函数当积分环节的输入信号为单位阶跃函数时，则输出为时，则输出为t/T，它随着时间直线增长。，它随着时间直线增长。如：如：（四）微分环节（四）微分环节 G(s)=T s（理想微分环节）（实际微分环节）（五）振荡环节（五）振荡环节 式中：式中：w wn无阻尼自然振荡频率，无阻尼自然振荡频率，w wn=1 1/T；z z阻尼比，阻尼比，0z z1。（六）延滞环节（六）延滞环节 c(t)=r(tt)2-4 控制系统结构图与信号流图控制系统结构图与信号流图 一一、结构图的概念结构图的概念RCRC网络的微分方程式为网络的微分方程式为 拉氏变换：拉氏变换：二、系统结构图的建立二、系统结构图的建立步骤步骤（1）建立控制系统各元部件的微分方程。在建立微分方程时，应分清输入量、输出量，同时应考虑相邻元件之间是否有负载效应。（2）对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。（3）按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端。例例1.绘制两级RC网络的结构图。(1)列写原始方程：列写原始方程：(2)画出子方程结构画出子方程结构图：图：（3）连接相关信号线）连接相关信号线得到最终结构图：得到最终结构图：负载效应负载效应 后一级网络作为前一级网络的负载，后一级网络作为前一级网络的负载，对前级网络的输出电压对前级网络的输出电压u1产生影响。产生影响。如果在两级网络之间，接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小如果在两级网络之间，接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，则该电路的结构图就可由两个简单的的隔离放大器，则该电路的结构图就可由两个简单的RC网络结网络结构图组成，这时，网络之间的负载效应已被消除。构图组成，这时，网络之间的负载效应已被消除。注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串联注意：此时，不能用两个单独网络结构图的串联 表示组合网络的结构图。表示组合网络的结构图。例例2.试绘制无源网络的结构图。ur为网络输入，为网络输入，uc为网络输出。为网络输出。(u ur ru uc c)为为R R1 1与与C C并并联支路的端电压联支路的端电压i i1 1+i i2 2=I IR R2 2i i=u uc c直接建立结构图直接建立结构图注意：一个系统或一个环节，其结构图不是唯一的。注意：一个系统或一个环节，其结构图不是唯一的。例例3.位置随动系统如下，试建立系统的结构图。三、结构图的等效变换三、结构图的等效变换 1结构图的基本组成形式结构图的基本组成形式（1）串联连接）串联连接（2）并联连接）并联连接 结论：串联结构总传递函数等于各个环节传递函数的乘积。结论：并联结构总传递函数等于各个环节传递函数的代数和。（3）反馈连接）反馈连接 按照信号传递的关系可写出：消去E(s)和B(s)，得 因此 若反馈通路的传递函数H(s)=1，常称作单位反馈。此处的加号对应于负反馈；减号对应于正反馈。2结构图的等效变换法则结构图的等效变换法则（1）综合点（比较点）的移动）综合点（比较点）的移动 a.综合点前移综合点前移 b.综合点后移综合点后移 c.综合点之间的移动综合点之间的移动（2）引出点（分支点）的移动）引出点（分支点）的移动 a.引出点后移引出点后移 b.引出点前移引出点前移 c.相邻引出点之间的移动相邻引出点之间的移动 四、四、结构图变换举例结构图变换举例 例例1.1.简化结构图，并求系统传递函数C(s)/R(s)。例例2.化简两级RC网络结构图，并求出传递函数Uc(s)/Ur(s)。简化结构图求总传递函数的一般步骤：简化结构图求总传递函数的一般步骤：1.1.确定输入量与输出量，如果作用在系统上的输入确定输入量与输出量，如果作用在系统上的输入量有多个量有多个(分别作用在系统的不同部位分别作用在系统的不同部位)，则必须，则必须分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自分别对每个输入量逐个进行结构变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别变换。别变换。2.2.若若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。3.3.对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。五、五、控制系统的信号流图控制系统的信号流图1.信号流图的定义信号流图的定义 信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络。节点标志变量(信号)，在图中用小圆圈表示；方框图：信号流图：运算表达式：节点支路支路是连接两个节点的定向线段，它有一定的增益(即传递函数)，称为支路增益;信号只能在支路上沿箭头方向传递，经支路传递的信号应乘以支路的增益。2.信号流图的常用术语：信号流图的常用术语：输入节点 只有输出支路的节点，它一般表示系统的输入变量。输出节点 只有输入支路的节点称为输出节点，它一般表示系统的输出变量。混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。通路 从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点所构成的路径称为通路。前向通路 是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其它节点相交不多于一次的通路。回路 如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的通路称为回路。不接触回路 如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路。3.信号流图的画法信号流图的画法由系统结构图按照对应关系绘制；例如：由系统结构图按照对应关系绘制；例如：举例举例2H(s)111举例举例3此处的单位传输不能舍去4.梅逊梅逊(S.J.Mason)公式公式梅逊公式的表达式为：梅逊公式的表达式为：式中：式中：P P 总增益；总增益；特征式，且特征式，且 n所有前向通路的条数；所有前向通路的条数；Pk第第k条前向通路的增益；条前向通路的增益；k在在中，将与第中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后条前向通路相接触的回路除去后 所余下的部分，称为余子式；所余下的部分，称为余子式；Li所有回路的增益之和；所有回路的增益之和；LiLj所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；LiLjLk 所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和。5.信号流图应用举例（一）信号流图应用举例（一）图中共有图中共有4 4个回路个回路、回路互不接触回路互不接触 因为因为P P1 1=G G1 1G G2 2G G3 3G G4 4G G5 5G G6 6，D D1 1=1=1，所以，所以5.信号流图应用举例（二）信号流图应用举例（二）4 4个回路：个回路：2 2个互不接触回路个互不接触回路L L1 1L L2 2：3 3条前向通路：条前向通路：前向通路相应的余子式：前向通路相应的余子式：总增益：总增益：5.信号流图应用举例（三）信号流图应用举例（三）试绘制三级试绘制三级RC滤波网络结滤波网络结构图，并求其传递函数构图，并求其传递函数Uc/Ur。1.绘制结构图。用复阻抗与电压、电流关系，可以直接绘出网络的结构图：2.求传递函数。该结构图有5个反馈回路，回路传递函数均相同，即有6组两两互不接触的回路，它们是、及，因此 有1组三个互不接触的回路，即，故（续上页）（续上页）流图特征式流图特征式 前向通路只有一条，即前向通路只有一条，即 且前向通路与各反馈回路均有接触，余子式且前向通路与各反馈回路均有接触，余子式1=1则由梅逊公式可求得总传递函数则由梅逊公式可求得总传递函数2-5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 闭环控制系统的典型结构如下图所示：闭环控制系统的典型结构如下图所示：r(t)输入信号输入信号n(t)扰动（或干扰）扰动（或干扰）1.系统的开环传递函数系统的开环传递函数 断开系统的主反馈通路，这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)，称为该系统的开环传递函数。也即 注意：开环传递函数并不是第一章所述的开环系统的传递函数，而是指闭环系统在开环时的传递函数。2.r(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 GB(s)输入信号输入信号r r(t t)作用下系统的闭环传递函作用下系统的闭环传递函数。数。输出函数的拉氏变换式输出函数的拉氏变换式：因此，当系统中只有因此，当系统中只有r(t)信号作用时，系统的输出完全取信号作用时，系统的输出完全取决于决于c(t)对对r(t)的闭环传递函数及的闭环传递函数及r(t)的形式。的形式。求出闭环传递函数：求出闭环传递函数：令令n(t)=0，结构图变为：，结构图变为：3.n(t)作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 G Gn n(s s)为在干扰为在干扰n n(t t)作用下系统的闭环传递函数。作用下系统的闭环传递函数。输出函数的拉氏变换式输出函数的拉氏变换式 ：干扰干扰n(t)在系统中的作用位置与输入信号在系统中的作用位置与输入信号r(t)的作用点不一定的作用点不一定是同一个地方，故是同一个地方，故Gr(s)与与Gn(s)一般是不相同的。一般是不相同的。求出闭环传递函数：求出闭环传递函数：令令r(t)=0，结构图变为：，结构图变为：4.系统的总输出系统的总输出 根据线性系统的迭加原理，系统的总输出应为根据线性系统的迭加原理，系统的总输出应为各外作用引起的输出的总和。各外作用引起的输出的总和。举例举例 位位置置随随动动系系统统结结构构图图如如下下。试试求求系系统统在在给给定定值值q q r(t)作作用用下下的的传传递递函函数数及及在在负负载载力力矩矩ML作作用用下下的的传传递递函函数数，并求两信号同时作用下，系统总输出并求两信号同时作用下，系统总输出q q c(t)的拉氏变换式。的拉氏变换式。解解：（1）令）令ML=0，求求q q r(t)作用下系统的闭环传递作用下系统的闭环传递 函数函数q qc(s)/q qr(s)。（续上页）（续上页）（2）令令q qr=0，求求ML作作用用下下系系统统的的闭闭环环传传递递函数函数q qc(s)/ML(s)。（3）系统总输出）系统总输出在在q qr及及ML同时作用下，系统的总输出为两部分迭加，即同时作用下，系统的总输出为两部分迭加，即 q qc(s)=Gq q(s)q qr(s)+Gm(s)ML(s)5.闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 规规定定：代代表表被被控控量量c(t)的的测测量量装装置置的的输输出出b(t)和和给给定定输输入入r(t)之之差差为系统的误差为系统的误差e(t)，即，即 或 r(t)作用下的误差传递函数，取n(t)=0时的E(s)/R(s)。n(t)作用下系统的误差传递函数，取r(t)=0时的E(s)/N(s)。系统的总误差，E(s)=Ge(s)R(s)+Gen(s)N(s)6.闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程上述导出的传递函数的分母均为上述导出的传递函数的分母均为1+G1(s)G2(s)H(s)令令 D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0 闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程 如果系统中控制装置的参数设置，能满足|G1(s)G2(s)H(s)|1及|G1(s)H(s)|1 则系统的总输出表达式(291)可近似为 即 R(s)-H(s)C(s)=R(s)-B(s)=E(s)0表明：采用反馈控制的系统，适当地匹配元部件的结构参数，有可能获得较高的工作精度和很强的抑制干扰的能力，同时又具备理想的复现、跟随指令输入的性能，这是反馈控制优于开环控制之处。