随机变量函数的数学期望、期望的性质.ppt

第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望（2）第二讲第二讲 我们经常要求随机变量函数的数学期望我们经常要求随机变量函数的数学期望 ，例如飞机的机翼受到的压力是风速的二次函数例如飞机的机翼受到的压力是风速的二次函数如果知道风速这个随机变量的分布情况，需要如果知道风速这个随机变量的分布情况，需要求压力的数学期望，就是求随机变量函数的数求压力的数学期望，就是求随机变量函数的数学期望。学期望。2 2、随机变量函数的数学期望、随机变量函数的数学期望设设 X为为随机变量随机变量，Y=g(X),g(x)是连续函数是连续函数（1）若离散型随机变量若离散型随机变量X 的分布律为的分布律为 则则（2）若连续型随机变量若连续型随机变量X 的概率密度为的概率密度为 f(x)则则例例1 设设随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为求求E(X)及及E(X2)解：解：例例2 设设风速风速V在在(0,a)上服从均匀分布，即密度函数上服从均匀分布，即密度函数又设飞机机翼受到的正压力又设飞机机翼受到的正压力W是是V的函数的函数W=kV2,求求W 的数学期望的数学期望。解：解：例例3 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利m元元,而积压一件产品导致而积压一件产品导致n元的损失。再者，他元的损失。再者，他们预测销售量们预测销售量Y(件件)服从指数分布，概率密度为服从指数分布，概率密度为问若要获得利润的问若要获得利润的数学期望数学期望最大，应生产多少最大，应生产多少件产品？件产品？(m,n,均为已知均为已知)解：解：设生产设生产 x 件，则获利件，则获利 Q 是是 x 的函数的函数Q是随机变量，且是是随机变量，且是 Y 的函数，数学期望为的函数，数学期望为m=500元元，n=2000元元，则则故取产量故取产量x=2231件，可使得利润的件，可使得利润的数学期望数学期望取得最大值。取得最大值。3 3、数学期望的性质、数学期望的性质(1)设设C为常数，则为常数，则E(C)=C(2)设设X是一随机变量是一随机变量，C为常数，则有为常数，则有E(CX)=CE(X)(3)设设X、Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)可推广为可推广为(4)设设X、Y是两个相互独立随机变量，则有是两个相互独立随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)例例4 一空港巴士载有一空港巴士载有20位旅客自机场开出，沿途位旅客自机场开出，沿途有有10个车站可以下客。如到达一个车站没有旅客个车站可以下客。如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求表示停车的次数，求X 的数的数学期望（假设每位旅客在各个车站下车是等可能学期望（假设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各位旅客是否下车相互独立）。的，且各位旅客是否下车相互独立）。解：解：引入随机变量引入随机变量任一旅客在第任一旅客在第i站下车的概率为站下车的概率为1/10，在第在第i站不站不下车的概率为下车的概率为9/10。因此，第因此，第i 站没人下车的概站没人下车的概率为率为第第i 站有人下车的概率为站有人下车的概率为即该空港巴士在到达目的地的途中平均停车即该空港巴士在到达目的地的途中平均停车8.784次次。例例5 求二项分布随机变量求二项分布随机变量 X b(n,p)的数学期望的数学期望解：解：二项分布的分布律为二项分布的分布律为小 结:1 1、离散型随机变量函数、离散型随机变量函数 g(X)的数学期望的数学期望 2 2、连续型随机变量函数、连续型随机变量函数 g(X)的数学期望的数学期望3 3、数学期望的性质、数学期望的性质E(a X+b)=a E(X)+b a,b为常数为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)若若X、Y独立，则独立，则E(XY)=E(X)E(Y)