《格林公式证明》PPT课件.ppt

1 证明平面上的格林公式：证明平面上的格林公式：其中其中 C 是区域是区域 D 的边界曲线，的边界曲线，ds 是弧微分是弧微分.首先证明第一格林公式首先证明第一格林公式格林公式一般表示为：格林公式一般表示为：Dxy两式相减得两式相减得3：建立二维情况下调和函数的积分表达式。：建立二维情况下调和函数的积分表达式。取取 u 为调和函数，为调和函数，=0在圆周在圆周 上，上，代入到等式：代入到等式：0同理同理称称 为拉普拉斯方程为拉普拉斯方程格林函数。格林函数。则平面上则平面上狄氏问题狄氏问题解的表达式为解的表达式为则则4.平面上平面上狄氏问题解的表达式狄氏问题解的表达式求球域(R)的Green函数及Laplace方程的Dirichlet问题的解.解：1)设M0 0为球内任一点，p o 连接OM0 0并延长至M1,1,使得 是 M0 0 关于球面 的反 演点，P 为球面上一点。为球面上一点。由 PO则Green函数为由余弦定理，在极坐标下其中 是 OM0 0与 OM 的夹角。又 2)计算所以球坐标下Laplace方程Dirichlet问题的解为：球的球的PiossonPiosson公式公式5 求证圆域求证圆域 的格林函数为的格林函数为其中其中二维平面上基本解为 设M0 0为圆域(R)内的一点，在M0 0点放一单位正电荷点放一单位正电荷 在OM0的延长线上某点 PO物理意义物理意义：平面上M0点处单位正线电荷在介电常数为1的介质中产生的场。M0点处电荷密度为q的线电荷产生的场的大小为处放一电量为q负电荷，则这两个线电荷在圆内点 所产生的电势为 由余弦定理，在极坐标下其中 是 OM，OM0 0与与x轴的夹角的夹角。由条件上式对任意 都成立，故即化简可得线性无关，故得解之代入解得解得 又 所以极坐标下圆域的Green函数为：6 用二维问题的格林函数法求下列上半平面用二维问题的格林函数法求下列上半平面 狄氏问题的解：狄氏问题的解：