MATLAB8.5教程第2章数值计算.ppt
数值计算主要指数值数组及矩阵的运。数值计算主要指数值数组及矩阵的运。数组是MATLAB中的一个独立的基本运算量单位，可直接进行类似变量的多种运算而无需进行循环结构编程。一维数组按向量的规则实施运算便是向量；二维数组按矩阵的运算规则实施运算便是矩阵。本章重点本章重点表达式及其运算数组及其操作矩阵及其操作第2章 数值计算2.1 表达式MATLAB中的表达式是指由多种运算符将常量、变量、函数等多种运算对象连接起来构成的运算式子，它可以直接用来运算，也可以作为编程之用。2.1.1 常量 1数值表示MATLAB的数值采用习惯的十进制表示方法，可以带小数点或负号。对很大（或很小）的数，采用科学计数法，用字母e表示以10为底的幂次，2永久常数值常量是MATLAB中取不变值的量，主要有数值常量和字符串常量。其中一类常量是系统默认给定一个符号表示的，我们称为永久常数值，或称为系统预定义的变量。2.1.2 变量与基本函数1变量变量是MATLAB语言的基本元素之一，系统会根据该变量被赋予的值或对该变量所进行操作来自动确定变量的类型。（1）变量名区分大小写。（2）变量名最多能包含63个字符，其后的字符都被忽略。（3）变量名必须以字母开头，其后可以是任意数量的字母、数字或者下划线。（4）不允许出现标点符号。2常用函数3运算符MATLAB使用的算术运算符为：加（）、减（）、乘（*）、除（/）、左除（）、幂（），优先规则为小括号（），表示指定的运算顺序。2.1.3 表达式及运算1MATLAB书写表达式的规则（1）表达式由变量名、运算符和函数名组成。（2）表达式将按与常规相同的优先级自左至右执行运算。（3）优先级的规定是：指数运算级别最高，乘除运算次之，加减运算级别最低。（4）括号可以改变运算的次序。2表达式的运算（1）直接输入法在MATLAB中进行基本数学运算，只需将运算式直接打入命令窗口提示号 之后，并按Enter键即可。MATLAB会将运算结果直接存入一变量ans（默认），代表MATLAB运算后的答案（answer），并显示其数值。（2）存储变量法给变量赋予变量名的方法，在命令行窗口显示其数值，并暂存在工作区Workspace内。当关闭MATLAB系统或关机时，这些变量都会自动消失。2.2 一维数值数组及其操作一维数值数组即为向量。日常实际应用中的大量数据都可以看成一个数值向量，然后对向量进行分析、运算等处理。2.2.1 数组创建2.2.2 数组的保存和装载1在命令行窗口保存数组2利用存取数据文件的方式保存数组2.2.3 数组寻址和赋值1数组寻址由于数组是由多个元素组成，因此在访问数组中单个或多个元素时，有必要对数组进行寻址运算。（1）访问一个元素：x(i)表示访问数组x的第i个元素。（2）访问一块元素：x(a:b:c)表示访问数组x的从第a个元素开始，以步长为b，到第c个元素（但不超过c），b可以为负数，b缺省时为1。（3）直接使用元素编址序号：x(a b c d)表示提取数组x的第a、b、c、d个元素构成一个新的数组x(a)x(b)x(c)x(d)。（4）用end参数表示数组的结尾，如x(5:end)。（5）利用索引函数find寻址，如x(find(xc)。2数组的赋值通过数组赋值，可以修改原始数组中的数据。2.2.4 数组排序及维数1数组排序对任意一个数组，其元素大小没有规律，在实际应用中，往往需要对数组元素进行排序。对数组排序的命令是sort函数。2数组维数数组维数是指数组包含元素的个数。向量中元素的数量是向量的长度，用函数length来求得。2.2.5 数组运算1数组运算指令数组运算法则如表2-3所示。2标量-数组运算数组对标量的加、减、乘、除、乘方是数组的每个元素对该标量施加相应的加、减、乘、除、乘方运算。设a=a1，a2，an，c=标量则a+c=a1+c，a2+c，an+c a.*c=a1*c，a2*c，an*c（点乘）a./c=a1/c，a2/c，an/c (右点除)a.c=c/a1，c/a2，c/an (左点除)a.c=a1c，a2c，anc（点幂）c.a=ca1，ca2，can 3数组-数组运算当两个数组有相同维数时，加、减、乘、除、幂运算可按元素对元素方式进行，不同大小或维数的数组是不能进行运算的。设 a=a1，a2，an，b=b1，b2，bn则 a+b=a1+b1，a2+b2，an+bn a.*b=a1*b1，a2*b2，an*bn a./b=a1/b1，a2/b2，an/bn a.b=b1/a1，b2/a2，bn/an a.b=a1b1，a2b2，anbn4向量的常用函数关于一维数组（向量）的常用函数如表2-4所示。2.3 矩阵及其操作MATLAB是基于矩阵运算的一个软件，所有数据都已矩阵形式存储。最基本的数据结构是二维的mn矩阵（11的矩阵为标量、1n的矩阵为向量），矩阵的创建及操作非常灵活、简便。2.3.1 矩阵的创建1数值矩阵的生成矩阵可直接按行方式输入每个元素来生成：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔；所有元素在同一方括号（）内。2特殊矩阵的生成（1）全零阵。（2）全1阵。（3）单位阵。（4）产生以输入元素为对角线元素的矩阵。（5）Magic(魔方)矩阵。2.3.2 矩阵元素操作（1）矩阵A的第r行：A（r,:）；（2）矩阵A的第r列：A（:,r）；（3）依次提取矩阵A的每一列，将A拉伸为一个列向量：A（:）；（4）取矩阵A的第i1i2行、第j1j2列构成新矩阵：A(i1:i2,j1:j2)；（5）以逆序提取矩阵A的第i1i2行，构成新矩阵:A(i2:-1:i1,:)；（6）以逆序提取矩阵A的第j1j2列，构成新矩阵:A(:,j2:-1:j1)；（7）删除A的第i1i2行，构成新矩阵：A(i1:i2,:)=；（8）删除A的第j1j2列，构成新矩阵:A(:,j1:j2)=；（9）将矩阵A和B拼接成新矩阵(A和B的维数要适当)：A B；A;B。2.3.3 矩阵的维数对于mn的矩阵A，可以使用函数size获得A的维数。2.3.4 矩阵赋值与扩展MATLAB允许用户对一个矩阵的单个元素进行赋值和操作。例如，如果要将矩阵A内第2行第3列的元素赋为10，则可以通过下面的语句来完成：A(2,3)=10这时将只改变该元素的值，而不影响其他元素的值。如果给出的行下标或列下标大于原来矩阵的行数和列数，则MATLAB将自动扩展原来的矩阵，并将扩展后未赋值的矩阵元素置为0。2.3.5 矩阵元素及重排1矩阵元素在MATLAB，也可以采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依此类推。2矩阵重排当向量的元素个数能表示成mn形式，这时我们可以将其排为矩阵形式。2.3.6 矩阵复制当矩阵的阶次在4阶以下，矩阵元素的输入可以逐个写入。但是当矩阵阶次较大且结构相同时，用逐个输入的方法太费时间，这时可以用矩阵复制的办法来加快输入的速度，常用函数repmat来进行矩阵复制。2.3.7 矩阵元素的查找用find命令查找矩阵元素所在的位置及其对应的值。2.4 矩阵的运算MATLAB矩阵运算法则，既适应一维数组运算法则，也更适合线性代数运算规则。只需使用简单的几个函数，即可求解线性代数大部分问题。2.4.1矩阵的运算指令2.4.2 矩阵的加减法两个同型矩阵加减法的运算规则是对应元素相加减。若行数和列数不同的两个矩阵进行相加和相减，则显示出错。标量可以同任意矩阵相加减。2.4.3 矩阵的乘法1两个矩阵相乘运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。2矩阵的数乘数乘矩阵是数与矩阵每一个元素相乘。3两矩阵点乘按数组运算规则，即A.*B表示A与B对应元素相乘。2.4.4 矩阵的左除和右除1除法运算除法运算有左除（）和右除（/）两种。若AB=C，则B=AC，即B等于A左除C；A=C/B，即A等于C右除B。这两种运算常用于解线性方程组，即X=AB是方程组AX=B的解，X=B/A是方程组XA=B的解。2两矩阵点除按数组运算规则，即A./B表示A中元素与B中元素对应相除。2.4.5 逆矩阵1逆矩阵函数2广义逆矩阵函数2.4.6 2.4.6 方阵的行列式方阵的行列式2.4.7 2.4.7 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量2.4.9 矩阵元素的求积对矩阵的元素按列或按行求积，可以利用函数prod来进行。2.4.10 矩阵元素的差分对矩阵的元素按列或按行计算差分，可以利用函数diff来处理。2.5 利用矩阵解线性方程组将一般的线性方程组改写为矩阵形式表示法，利用矩阵运算及函数会很容易将线性齐次、非齐次方程的有解、无解、无穷多解等问题得以解决。2.5.1 线性方程组的唯一解2.5.2 齐次线性方程组的通解2.5.3 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。其步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；第二步：求AX=b的一个特解；第三步：求AX=0的通解；第四步：AX=b的通解=“AX=0”的通解+“AX=b”的一个特解。2.5.4 超定方程组超定方程组是指方程的个数大于未知数的个数的线性方程组，通常无精确解，但存在近似的最小二乘解。其解法不需要检查系数矩阵的秩是否小于行数、列数，而直接利用广义逆矩阵函数pinv计算即可。格式 X=pinv(A)*b%A为超定方程组的系数矩阵，b为常数项列向量
