【教学课件】第4讲矩阵的乘法、转置n阶方阵的行列式.ppt

本讲内容1.矩阵的乘法矩阵的乘法2.矩阵的转置矩阵的转置 3.n阶方阵的行列式阶方阵的行列式 第第4讲讲 矩阵矩阵的乘法、转置的乘法、转置n阶方阵的行列式阶方阵的行列式1/9/20231目的要求p掌握矩阵的乘法掌握矩阵的乘法p掌握掌握矩阵的转置矩阵的转置p知道知道n阶方阵的行列式阶方阵的行列式第第4讲讲 （续）（续）1/9/202321.矩阵的乘法矩阵的乘法p电设备专业学生应交学费总额电设备专业学生应交学费总额p机电设备专业学生应交学费总额为机电设备专业学生应交学费总额为 523800553900643950=664,900（元）（元）1/9/202331.（续一）（续一）p定义定义3-3 矩阵矩阵A与与B矩阵的矩阵的乘积乘积则则CAB1/9/202341.（续二）（续二）p矩阵乘法的矩阵乘法的行乘列规则行乘列规则p只有当左边矩阵只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵的列数等于右边矩阵B的行数时，两矩阵才能相乘；并且，的行数时，两矩阵才能相乘；并且，乘得矩阵乘得矩阵C的行数等于矩阵的行数等于矩阵A的行数，的行数，列数等于矩阵列数等于矩阵B的列数，如下图所示。的列数，如下图所示。1/9/202351.（续三）（续三）p例例3-14 利用矩阵乘法计算前面所举实例利用矩阵乘法计算前面所举实例中各专业学生应交学费和书费的总额。中各专业学生应交学费和书费的总额。p解解 1/9/202361.（续四）（续四）p例例3-15 设设 求求(1)AB，(2)BA1/9/202371.（续五）（续五）p解解 (1)1/9/202381.（续六）（续六）p续解续解 (2)1/9/202391.（续七）（续七）p例例3-16 设设求求(1)AB，(2)BA1/9/2023101.（续八）（续八）p解解 (1)1/9/2023111.（续九）（续九）p续解续解 (2)1/9/2023121.（续十）（续十）p例例3-17 设设求求(1)AB，(2)BA1/9/2023131.（续十一）（续十一）p关于矩阵乘法有以下几点值得注意关于矩阵乘法有以下几点值得注意(1)只有左边矩阵只有左边矩阵A的列数与右边矩阵的列数与右边矩阵B的的行数相等时，行数相等时，A与与B才能相乘，称为才能相乘，称为行乘行乘列规则列规则。通常称。通常称AB为为A左乘左乘B（或（或B右乘右乘A）。）。(2)如果如果A能左乘能左乘B，并不保证，并不保证B一定能左一定能左乘乘A（如例（如例3-14）。）。1/9/2023141.（续十二）（续十二）(3)如果如果AB和和BA都存在，它们可能不是同都存在，它们可能不是同型矩阵（如例型矩阵（如例3-15），也可能是同型矩阵），也可能是同型矩阵（如例（如例3-16、例、例3-17）。）。(4)如果如果AB和和BA是同型矩阵，一般情况下是同型矩阵，一般情况下AB和和BA不相等（如例不相等（如例3-16），只有在很），只有在很特殊的情况下才有特殊的情况下才有ABBA（如例（如例3-17）。）。1/9/2023151.（续十三）（续十三）p进行矩阵乘法时，不能随意改变乘的次进行矩阵乘法时，不能随意改变乘的次序，即序，即矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律。还要指。还要指出的是：出的是：矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律，即不，即不能由能由ABAC一定得到一定得到BC。p为简便起见，对于方阵为简便起见，对于方阵A，通常将，通常将AA、AAA分别记为分别记为 、等等。等等。1/9/2023161.（续十四）（续十四）p矩阵乘法运算满足下列性质矩阵乘法运算满足下列性质(1)(AB)C=A(BC)(2)k(AB)=A(kB)(3)(A+B)C=AC+BC(4)A(B+C)=AB+AC(5)，(6)当当A是是n阶方阵时，阶方阵时，(7)，1/9/2023171.（续十五）（续十五）p显然，显然，一个矩阵与单位矩阵相乘的结果一个矩阵与单位矩阵相乘的结果仍然是这个矩阵。仍然是这个矩阵。这表明，这表明，单位矩阵在单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数矩阵乘法中的作用与数1在数的乘法中的在数的乘法中的作用类似。作用类似。1/9/2023181.（续十六）（续十六）p矩阵矩阵A和矩阵和矩阵B都是非零矩阵（都是非零矩阵（AO，BO），但），但AB可能是零矩阵。这就是说，可能是零矩阵。这就是说，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例例如，如，都是非零矩阵，而都是非零矩阵，而 是零矩阵。是零矩阵。1/9/2023191.（续十七）（续十七）概念题1.下列说法哪些是对的？为什么？下列说法哪些是对的？为什么？A.任意两个矩阵都可以相加。任意两个矩阵都可以相加。B.3与一个矩阵相乘就是将与一个矩阵相乘就是将3与这个矩与这个矩阵的第阵的第1行的每个元素相乘。行的每个元素相乘。C.矩阵乘法满足交换律。矩阵乘法满足交换律。D.矩阵乘法满足结合律。矩阵乘法满足结合律。E.矩阵矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然与单位矩阵相乘的结果仍然是是A。1/9/2023201.（续十八）（续十八）2.下列说法哪些是对的？为什么？下列说法哪些是对的？为什么？A.矩阵矩阵A43与与B34可以相加。可以相加。B.矩阵矩阵A43可以左乘可以左乘B34。C.矩阵矩阵A41左乘左乘B14的结果是一个的结果是一个4行行4列的矩阵。列的矩阵。D.矩阵矩阵A23左乘左乘B32的结果是一个的结果是一个3行行3列的矩阵。列的矩阵。1/9/2023212.矩阵的转置矩阵的转置p定义定义3-4 转置矩阵转置矩阵p两矩阵的关系是：行列互换两矩阵的关系是：行列互换1/9/2023222.矩阵的转置（续一）矩阵的转置（续一）p矩阵的转置运算满足下列性质矩阵的转置运算满足下列性质(1)(AT)TA(2)(AB)TATBT(3)(kA)TkAT(4)(AB)TBTAT1/9/2023232.矩阵的转置（续二）矩阵的转置（续二）p如果方阵如果方阵A满足满足ATA，即，即 ajiaij(i,j1,2,n)，则称，则称A为为对称对称矩阵矩阵。p如果方阵如果方阵A满足满足ATA，即，即 ajiaij(i,j1,2,n)，则称，则称A为为反反对称矩阵对称矩阵。显然，。显然，反对称矩阵的主对角反对称矩阵的主对角元素都是元素都是0。1/9/2023242.矩阵的转置（续三）矩阵的转置（续三）1.下列说法哪些是对的？下列说法哪些是对的？A.在在对称矩阵中，如果对称矩阵中，如果a137，则必定，则必定有有a317。B.在在反对称矩阵中，如果反对称矩阵中，如果a137，则必，则必定有定有a317。C.如果矩阵如果矩阵A中第中第1行第行第3列的元素是列的元素是7，则，则在在AT中第中第3行第行第1列的元素是列的元素是7。1/9/2023252.矩阵的转置（续四）矩阵的转置（续四）p例例3-18 设设计算计算(AB)T和和BTAT。p解解 由于由于 1/9/2023262.矩阵的转置（续五）矩阵的转置（续五）p续解续解 所以所以又因为又因为所以所以1/9/2023273.n阶方阵的行列式阶方阵的行列式p定义定义3-5 n阶方阵的行列式阶方阵的行列式p对于单位阵对于单位阵En，显然有，显然有det(En)1。1/9/2023283.（续一）（续一）pn阶矩阵阶矩阵A的行列式有下列性质：的行列式有下列性质：(1)det(AT)detA(2)det(kA)kndetA(3)det(AB)detAdetB1/9/2023293.（续二）（续二）2.设设A是是3阶方阵，阶方阵，k为实数，下列各式成为实数，下列各式成立的是（立的是（）。）。A.det(kA)=kdetA B.det(kA)=|k|detA C.det(kA)=k3detA D.det(kA)=|k3|detA1/9/2023303.（续三）（续三）p例例3-19 设设验证验证det(AB)detAdetB。p解解 因为因为 1/9/2023313.（续四）（续四）p续解续解 所以所以又因为又因为所以所以 detAdetB7(10)70det(AB)1/9/2023323.（续五）（续五）p补充例题补充例题2 设设求求AB、BA、det(AB)、det(BA)p解解1/9/202333本讲小结本讲小结p只有左边矩阵的列数等于右边矩阵的行只有左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，两矩阵才能相乘。矩阵乘法不满足数，两矩阵才能相乘。矩阵乘法不满足交换律和消去律。交换律和消去律。难点p矩阵乘法的行乘列规则矩阵乘法的行乘列规则1/9/202334本讲小结（续一）本讲小结（续一）p矩阵的转置运算满足下列性质矩阵的转置运算满足下列性质(1)(AT)TA(2)(AB)TATBT(3)(kA)TkAT(4)(AB)TBTAT1/9/202335本讲小结（续二）本讲小结（续二）p定义定义3-5 n阶方阵的行列式阶方阵的行列式p对于单位阵对于单位阵En，显然有，显然有det(En)1。1/9/202336本讲小结（续三）本讲小结（续三）pn阶矩阵阶矩阵A的行列式有下列性质：的行列式有下列性质：(1)det(AT)detA(2)det(kA)kndetA(3)det(AB)detAdetB1/9/202337课后作业课后作业pP9596习题习题第第3-43-8题。题。1/9/202338