数与代数-的概念(共12页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上六 整理和复习数与代数（一）1.整数的意义：像，-3，-2，-1，0，1，2，3，这样的数统称整数。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数。自然数是整数的一部分。2.自然数的意义：在数物体个数的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，叫做自然数。一个物体也没有用0表示。自然数的个数是无限的。最小的自然数是0，没有最大的自然数。(1)一个自然数有两方面的意义：一是表示事物的多少，称为基数；二是表示事物的次序，称为序数。如“3个学生”中的“3”是基数，“第三个学生”中的“3”就是序数。(2)自然数的基本单位：任何非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数最基本的单位。1.正数和负数的意义：像1（或+1），2，3这样的数叫做正数；像-3，-2，-1，这样的数叫做负数。自然数是大于或等于0的整数，也可以说是不小于0的整数，即“非负整数”。2.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。(1)分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。（注意：带分数只有化成假分数后，它的分子才能是这个带分数中含有分数单位的个数。）(2)分数的分类。真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”表示。分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能用来表示具体数。因此，百分数是一种特殊的分数，但分数可以有单位，而百分数不能有单位。1.小数的意义：把整数“1”平均分成10份，100份，1000份，这样的一份或者几份是十分之一，百分之一，千分之一，或十分之几，百分之几，千分之几，可以用小数表示。小数的单位是0，1，0.01，0.001，它是十进制分数的另一种表现形式。小数的分类 按小数的整数部分是否为0 纯小数 带小数小数 按小数部分的位数 有限小数 是否是有限的 无限小数 无限不循环小数 无限循环小数 纯循环小数 混循环小数(1)纯小数和带小数：整数部分是0的小数叫做纯小数，纯小数小于1；整数部分不是0的小数叫做带小数，带小数大于1。(2)有限小数和无限小数：小数部分位数有限的小数，叫做有限小数；小数部分位数无限的小数，叫做无限小数。如4.28是有限小数，是无限小数。(3)循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数都是无限小数。(4)循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。(5)纯循环小数和混循环小数：循环节是从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。计数单位和数位1.计数单位：个、十、百、以及十分之一、百分之一、都是计数单位。2.数位：各个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按一定的顺序排列的。3.十进制计数法：“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”，就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位（通常所说的“逢十进一”）。这种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。4.数的分级：按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿数与代数（二）一.数的读法和写法1.整数的读、写法读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读，其他数位连续有几个0，都只读一个零。读数前通常先把这个数分级，再按各数级来读。 写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。2.小数的读、写法 读法：读小数的时候，从左往右，整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分从高位到低位顺次读出每一个数位上的数字，即使是连续的0，也要依次读出。 写法：写小数时，也是按照从左到右的顺序写，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位的右下角，小数部分从高位到低位依次写出每个数位上的数字。3.分数的读、写法 读法：读分数时，先读分数的分母，在读“分之”，最后读分子。读带分数时，先读整数部分，再读分数部分，中间加一个“又”字。 写法：写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子。写带分数时，要先写整数部分，再写分数部分。整数部分要对准分数线，距离要紧凑。再列式计算中，分数要对准“=”号中两横线的中间。4.百分数的读、写法 读法：先读百分号，再读百分号前面的数。 写法：写百分数时，先写分子，再写百分号。5.正、负数的读、写法 正数的读法：“+”读作“正”，正号后面是几就读作几。 负数的读法：“-”读作“负”，负号后面是几就读作几。 正、负数的读法：正、负数表示两种具有相反意义的量，为了区分正、负数，正数就在数的前面加“+”，也可以省略不写；负数则在数的前面写“-”，不可省略。二数的改写1.假分数与带分数、整数之间的互化 假分数化成整数或者带分数的方法：根据分数与除法的关系，用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，原分母不变。 整数化成假分数的方法：把整数（0除外）化成假分数，用指定的分母（0除外）作分母，用分母和整数的乘积作分子。2.分数、小数与百分数之间的互化 判断一个分数能否化成有限小数的方法：要先看这个分数是否是最简分数。如果是最简分数，就要看其分母中含有哪些质因数。如果分母中含有质因数2和5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。三.数的大小比较1.整数的大小比较比较两个整数的大小，要看它们的位数，如果位数不同，那那么位数多的数就大；如果数位相同，就从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大。2.小数的大小比较 先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位的数大的那个数就大以此类推3.分数的大小比较 真、假分数或整数部分相同的带分数：分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或同分子分数再比较大小。整数部分不同的带分数：整数部分大则分数大。 4.正负数的大小比较 正数大于负数。负数与负数比较，负号后面的数越大，这个数反而越小；负号后面的数越小，这个数反而越大。数的认识（三） 数的性质1、分数的基本性质：分数的分子或分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。2、小数的基本性质：（1）小数的基本性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。（2）小数的基本性质与分数的基本性质之间的关系：小数的基本性质与分数的基本性质是一样的。4.小数点位置移动引起小数大小变化的规律：小数点向右移动一位、两位、三位该数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍小数点向左移动一位、两位、三位该数就缩小到原来的10/1、100/1、1000/1应用小数位置移动的变化规律，如果要把一个数扩大到原来的10倍、100倍、1000倍就要把它的小数点向右移动一位、两位、三位如果要把一个数缩小到原来的10/1、100/1、1000/1就要把它的小数点向左移动一位、两位、三位数的认识（四）1、已知a、b、c均为整数（为了方便，在研究因数和倍数时，所指的数不包括0）且a×b=c，那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。倍数和因数是相互依存的。2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。3、2的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8。4、3的倍数的特征：各个位数上的数字的和是3的倍数。5、5的倍数的特征：个位上的数字是0或者是5。6、既是2又是5的倍数的特征:个位上的数字是0。7、奇数:在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。8、偶数:在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。9、研究奇数、偶数时包括0，因此自然数不是奇数就是偶数。最小的奇数是1，最小的偶数是0，没有最大的奇数和偶数。10、质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。11、合数的意义：一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4，没有最大的合数。12、1既不是质数也不是合数。13、最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。14、最小公倍数: 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫做这几个数的最小公倍数。15、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。数的运算整数小数分数加法意义把两个数合成一个数的运算。与整数加法的意义相同。与整数加法的意义相同。减法意义已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。与整数减法的意义相同。与整数减法的意义相同。乘法意义求几个相同加数的和的简便运算。小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几是多少。分数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。除法意义已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。与整数除法的意义相同。与整数除法的意义相同。一、 四则运算的意义二、 整数四则运算中各部分间的关系各部分间的关系加法和=加数+加数 加数=和-另一个加数减法差=被除数-除数 减数=被减数-差 被减数=减数+差乘法积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数除法商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=除数×商三、0与1在四则运算中的特殊性：a+0=a a-0=a a-a=0 a×0=0 a×1=a a÷1=a 0÷a=01÷a= a÷a=1（a作除数时不为0）四、四则运算定律、运算性质1、运算定律名称文字叙述字母表示加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。a×b=b×a或ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，它们的积不变。a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积加起来。(a+b)×c=a×c+b×c2、运算性质减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c除法的运算性质（除数不为0）：a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c五、四则混合运算的顺序1、四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。2、在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。四则运算定律、运算性质1.运算定律。(1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。 字母表示：a+b=b+a(2)加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。 字母表示：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)(3)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。 字母表示：a×b=b×a(4)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，在和第一个数相乘，他它们的积不变。 字母表示：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)(5)乘法分配律：两个数的和与第一个数相乘，等于把这两个数分别于这个数相乘，再把两个积加起来。 字母表示：(a+b)×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c1.运算性质。 (1)减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b+c)=a-b+c（2）除法的运算性质(除数不为0)：a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c四则混合运算的顺序1.四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。(1)在没有括号的算式里，如果只含有同一级要先做第二级运算运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。复合应用题1.复合应用题：是用两步或两步以上计算来解答的应用题。分析此类问题，一般采用分析法或综合法。2.用算术方法解应用题的一般步骤：(1)审清题意，并找出已知条件和所求问;(2)分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；(3)列式计算；(4)检验并写出答语。复合应用题的类型及解法1.“归一”问题：此类应用题中暗含着单一量不变，文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量(即归一),再以它为标准，根据题目要求算出所求量。2.“归总”问题：此类题中暗含着总量不变，即乘积不变。其解题的关键是求出总数(即归总),再根据总数算出所求量。3.行程问题：根据速度、时间和路程之间的关系，计算相向、相背或同向运动的问题，称为行程问题。其基本的数量关系式为：速度×时间=路程。一.相遇问题，即同时相向而行并相遇(或同时背向而行)：速度和×(相遇)时间=总路程。二.追及问题，即同时同向而行，速度慢的在前，速度快的在后：速速度差×追及时间=路程差4.工程问题：把工作总量看作单位“1”，工作效率用单位时间内完成工作总量的“几分之一”表示。根据工作总量、工作效率、工作时间其中两种量求出第三种量。数量关系式为：工作效率×工作时间=工作总量5.分数应用题：关键是找准标准量，即单位“1”。若单位“1”已知，用乘法计算；若单位“1”未知，用除法计算。（1）求甲比乙多(或少)几分之几的解题规律：甲乙的差÷乙；（2）已知甲比乙多(或少)几分之几，求甲的解题规律：乙×(1±几/几)。常见的量1、长度、面积和体积单位及其同类量之间的进率。长度单位：1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米面积单位：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米体积单位：1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 1升=1000毫升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升2.质量单位及其之间的进率。1吨=1000千克 1千克=1000克3.时间单位及其之间的进率。一年有12个月（平年全年365天，闰年全年366天）按大小月份大月1,3,5,7,8,10,12月（每月31天）每月分三旬：上旬（110日）中旬（1120日）;下旬（21日月底）。小月4,6,9,11（每月30天）既不是大月，也不是小月平年2月28天，闰年2月29天按四个季度分第一季度1月，2月，3月第二季度4月，5月，6月第三季度7月，8月，9月第四季度10月，11月，12月（3）日、时、分、秒等其他时间单位。1世纪=100年 1日=24时 1时=60分 1分=60秒 1星期=7天（4）平年、闰年的判断方法。根据公历年份判断，整百、整千的年份是400的倍数，其他年份是4的倍数的年份都是闰年，反之则是平年。4.人民币的单位及其进率。人民币的单位有元、角、分。1元=10角 1角=10分5.名数的意义。计量的结果，要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把他们合起来叫做名数。只带有一个单位名称的，叫做单名数，如1米、30天等；带有两个或两个以上的单位名称的，叫做复名数，如3吨50千克、1米5厘米等。6.换算单位。把高级改写成低级单位的乘这两个单位之间的进率，把低级单位改写成高级单位的要除以这两个单位间的进率。如果进率是10,100,1000时，也可以把小数点向右（或左）移动一位，两位，三位来完成。比和比例比和比例的联系与区别：比比例意义表示两个数相除表示两个比相等的式子各部分名称9 ： 6 = 1.5 前项 比号 后项 比值9 ：6 = 3 ：2内项外项基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。化简比的根据解比例的根据比和分数、除法的联系：名称联 系比前项：（比号）后项比值分数分子（分数线）分母分数值除法被除数÷（除号）除数商求比值和化简化：意义方法结果求比值前项除以后项所得的商用前项除以后项一个数（是整数、分数或小数）化简化把两个数的比化成最简单的整数比前项和后项都乘或除以同一个数（0除外），也可以用求比值的方法，用前项除以后项，得出一个分数值。一个比正比例和反比例的意义和判断方法1、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 正比例关系式：y/x=k（一定）2、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系式：x×y=k（一定）1、判断正、反比例的方法一找二看三判断，即：1）找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。2） 看定量：分析这两种相关联的量，它们之间的关系是商一定还是积一定。3） 判断：如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例；如果商或积都不是定量，就不成比例。1、 正比例、反比例的区别与联系名称不同点相同点意义不同点变化方向不同点关系式不同点正比例两种量中相对应的两个数的比值，也就是商一定一种量扩大（或缩小），另一种量也随之扩大（或缩小）y/x=k（一定）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。反比例两种量中相对应的两个数的积一定一种量扩大（或缩小），另一种量却随之缩小（或扩大）x×y=k（一定）用比例知识解决问题1、按比例分配问题1）按比例分配应用题：把一个数量按照一定的比分配成几部分，求部分数量各是多少的应用题叫做按比例分配应用题。2）解题方法。一般方法：把比转化为分数，用分数方法解答，即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数=平均每份的量（归一）”，再用“1份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分的量。用比例知识解答：首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式，再解比例求出x。2、用正、反比例知识解答应用题的步骤1）分析数量关系。判断成什么比例。2）找等量关系。如果是成正比例，则按“等比”找等量关系式；如果是成反比例，则按“等积”找等量关系式。3）列比例式。设未知数为x，并代入等量关系式，得正比例式或反比例式。4）解比例。5）检验并写出答语。专心-专注-专业