《解释几何第四版》讲解与习题第二章轨迹与方程.ppt

第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程主要内容：2.1、平面曲线的方程2.2、曲面的方程2.3、空间曲线的方程2.1 平面曲线的方程解析几何 Chapter 2第一节 平面曲线的方程一、曲线与方程：定定义：当平面上取定了坐当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与系之后，如果一个方程与一条曲一条曲线有着关系：有着关系：（1）满足方程的足方程的(x,y)必是曲必是曲线上某一点的坐上某一点的坐标；（2）曲）曲线上任何一点的坐上任何一点的坐标(x,y)满足足这个方程；个方程；则这个方程称个方程称为这条曲条曲线的方程，的方程，这条曲条曲线称称为方程的方程的图形。形。曲曲线的方程常表示的方程常表示为：F(x,y)=0 或或 y=f(x)二、曲线的向量式方程例例1、求、求圆心在原点，半径心在原点，半径为R的的圆的方程。的方程。解：向量式方程解：向量式方程|OM|=R普通方程普通方程x2+y2=R2例例2、已知两点、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求求满足条件足条件|MA|-|MB|=4的的动点的点的轨迹。迹。化化为普通方程普通方程为xy=2 (x+y 2)故曲故曲线为yxoxy=2解：向量式方程解：向量式方程|MA|-|MB|=41、向量函数 当当动点按某种点按某种规律运律运动时，与它，与它对应的向径也随着的向径也随着时间t t的不同而改的不同而改变（模与方向的改（模与方向的改变），），这样的向径的向径称称为变向量变向量，记为r(t)(t)。如果。如果变数数t(at(a t t b)b)的每一个的每一个值对应于于变向量向量r的一个完全的的一个完全的值（模与方向）（模与方向）r(t)(t)，则称称r是是变数数t t的向量的向量函数函数，记为r=r(t)(t)(a(a t t b).b).2、向量函数的分量表示 设平面上取定的平面上取定的标架架为O;O;e1 1,e2 2,则向量函数可向量函数可表示表示为r(t)=x(t)(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b).b).（1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)的分量，它的分量，它们分分别是是变数数t t的函数的函数。3、向量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb).4、坐标式参数方程曲线 的参数方程常可以写成下列形式：称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的向径r(t)例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P的轨迹。解：取直角坐标系，设半径为 a的圆在x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点，经过一段时间的滚动，圆与直线的切点移到 A 点，圆心的位置移到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设=(CP,CA),于是向量CP对x轴所成的有向角为POraaxCyA则又因为|OA|=AP=a，所以OA=ai,AC=aj从而点P的向量式参数方程为r=a(-sin)i+a(1-cos)（+）其坐标式参数方程为这种曲线称为旋轮线或摆线。xOy例4 已知大圆的半径为 ，小圆的半径为 ,若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆上某一定点P的轨迹的方程。,称为内旋轮形线(或称内摆线)解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，取大圆中心O为原点，OA为x轴，过O点垂直于OA的直线为y轴，经过某一过程之后，小圆与大圆的接触点为B，并设小圆中心为C，那么C一定在半径OB上，有由于 ，所以特殊地，当 应用公式曲线方程化为例例5 5：把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线渐伸线或或切展线切展线（involuteinvolute）三三 曲线的参数方程曲线的参数方程解：设圆的半径为解：设圆的半径为R R，线头，线头P P的最初位置是圆周上的的最初位置是圆周上的点点A A，以圆心为原点，以圆心为原点，OAOA为为x x轴，经过某一过程以轴，经过某一过程以后，切点移至后，切点移至B B，PBPB为切为切线，那么线，那么设 那么且向量且向量 对对x x轴所成的有向轴所成的有向 角为角为而而 所以所以三三 曲线的参数方程曲线的参数方程例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。法一法二设y=tx+b,代入原方程得解得 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取从而在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它看成当t时的交点。第一种参数方程以角度第一种参数方程以角度第一种参数方程以角度 为参数：为参数：为参数：第二种参数方程以斜率第二种参数方程以斜率第二种参数方程以斜率 为参数：为参数：为参数：例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0)为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。一、曲线的方程一、曲线的方程二、曲线的参数方程二、曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程CONTENTS求曲线方程一般需要下面的求曲线方程一般需要下面的5 5个步骤：个步骤：1 1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步可省）；可省）；2 2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；3 3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出）根据曲线上的点所满足的几何条件写出等式；等式；4 4）用点的坐标）用点的坐标x,y,zx,y,z的关系来表示这个等式，并化简得的关系来表示这个等式，并化简得方程；方程；5 5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义.作业 P77-78 2,3,82,3,82.22.2 曲面的方程曲面的方程一一.定定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)满足方程F(x,y,z)=0的(x,y,z)在曲面S上那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0 Sxyzo例例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为|AM|=|BM|用两点间的距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是|y|=|x|即x+y=0 与 x-y=0(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 =R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程.特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2 =R2 例3、求球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.即 M0 M R解解根据根据题意有意有所求方程所求方程为解:原方程可改写为(x 1)2+(y+2)2+z2 =5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为 的球面.例5:方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样的曲面?例例6 6 方程方程 的的图形是怎形是怎样的？的？根据根据题意有意有图形上不封形上不封顶，下封底，下封底解解二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程1 1、双参数向量函数、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v)或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切值时，径矢OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy S2 2、曲面的向量式参数方程、曲面的向量式参数方程定定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2）表示的向径r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这向径可由u,v的值(aub,cvd)通过（2）完全决定，则称（2）式为曲面的向量式参数方程向量式参数方程，其中u,v为参数。因为向径r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的参数方程也常写成表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程坐标式参数方程。例例6 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。M RxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与OM的交角zOM=，则r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k所以r=(rsincos)i+(rsinsin )j+(rcos)k (4)此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsincos)i中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是0与-。例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以 r=(Rcos)i+(Rsin)j+uk （6）此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式参数方程为（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是-，-u+一般按下列三个步骤进行：一般按下列三个步骤进行：二、曲面的参数方程三三.球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面1.1.球坐标系球坐标系2.柱坐标系柱坐标系就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 CONTENTS一、曲面的方程一、曲面的方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程三、球坐标系与柱坐标系三、球坐标系与柱坐标系作业P8788 2（4），3（3），4（3）2.3 空间曲线的方程解析几何 Chapter 2Contents一、空间曲线的方程二、空间曲线的参数方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲曲线上的点都上的点都满足足方程，方程，满足方程的点都在足方程的点都在曲曲线上，不在曲上，不在曲线上的点上的点不能同不能同时满足两个方程足两个方程.因因此方程此方程组（2.31）表示）表示一条空一条空间曲曲线 的方程，的方程，空空间曲曲线C可看作空可看作空间两曲面的交两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达.我我们把它叫做空把它叫做空间曲曲线的一般方程的一般方程.例例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。解：例例1、写出Oz轴的方程。解：Oz轴可看成两个平面的交线，如或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。例例3 3x xOy yz z例例4:球面 x 2+y 2+z 2=32与平面 z=2的交线是x 2+y 2+z 2=32 z=2一个圆,它的一般方程是例例5:方程组表示怎样的曲线?解:方程方程.它的准线xOy面上的圆,圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.（维维安尼曲线（维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O,半径为a的上半球面.表示母线平行于z 轴的圆柱面二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的坐标式参数方程.例例5:如如果果空空间一一点点 M 在在圆柱柱面面 x2+y2=a2 上上以以角角速速度度 绕 z 轴旋旋转,同同时又又以以线速速度度v 沿沿平平行行于于z 轴的的正正方方向向上上升升(其其中中,v都都是是常常数数),那那末末点点M 构构成成的的图形形叫叫做做圆柱柱螺螺旋旋线,试建立其参数方程建立其参数方程.解解:取取时间t为参参数数,设当当t=0时,动点点位位于于x轴上上的的一一点点 A(a,0,0)处。经过时间t,由由A运运动到到M(x,y,z),M在在xOy面上的投影面上的投影为M (x,y,0).(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acos y=asin z=b 当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.例例6 6 维维安尼曲安尼曲线 一半径一半径为a a的球面与一个直径等于的球面与一个直径等于球的半径的球的半径的圆柱面，如果柱面，如果圆柱面通柱面通过球心，球心，则球面与球面与圆柱面的交柱面的交线称称为维维安尼曲安尼曲线，试写出其一般方程写出其一般方程和参数方程。和参数方程。解：一般方程一般方程参数方程参数方程OxyzP92 2（3），3（2），5（2）