《微分方程讲义》PPT课件.ppt

数学模型数学模型 动态模型动态模型北京理工大学北京理工大学 王宏洲王宏洲（微分方程模型）（微分方程模型）关于动态模型关于动态模型动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程微分方程模型的不同目的微分方程模型的不同目的n预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不同时刻的状态；同时刻的状态；n预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存在哪些规律。在哪些规律。行星定位；预测短期人口；预测生物种群数量行星定位；预测短期人口；预测生物种群数量求解析解、数值解求解析解、数值解描绘行星运动轨道；人口稳定数量描绘行星运动轨道；人口稳定数量利用微分方程定性理论，不求解，分析解的性态利用微分方程定性理论，不求解，分析解的性态此前接触过的微分方程模型此前接触过的微分方程模型马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型阻滞增长人口模型（阻滞增长人口模型（LogisticLogistic模型）模型）NNN将自然环境、资源的阻将自然环境、资源的阻滞作用考虑进来。滞作用考虑进来。本部分的主要内容本部分的主要内容n传染病模型传染病模型n药物动力学房室模型药物动力学房室模型n糖尿病的诊断糖尿病的诊断n香烟过滤嘴的功效香烟过滤嘴的功效n烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失n减肥计划减肥计划n新的人口模型新的人口模型n离散人口模型离散人口模型nLanchester战争模型战争模型自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土重来，如结核病、重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠、白喉、登革热、霍乱、鼠疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种新传染病，如：新传染病，如：AIDS、军团病、丙型肝炎、戊型肝、军团病、丙型肝炎、戊型肝炎、出血性结肠炎、炎、出血性结肠炎、SARS我国目前有我国目前有5亿人曾感染结核杆菌，亿人曾感染结核杆菌，2000年第四次全年第四次全国结核病流行病学抽样调查发现，我国的活动性肺结国结核病流行病学抽样调查发现，我国的活动性肺结核患病率为核患病率为367/10万，痰涂片阳性患病率为万，痰涂片阳性患病率为122/10万，万，估计我国现有活动性肺结核病人估计我国现有活动性肺结核病人451万。万。1、传染病概况、传染病概况一、传染病模型一、传染病模型AIDS 正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和中亚地区最为严重。据中亚地区最为严重。据WHO估计，自首例艾滋病被估计，自首例艾滋病被发现以来至发现以来至2003年底，全球约有年底，全球约有34-46million HIV感感染者和艾滋病患者，染者和艾滋病患者，2000万人死亡。万人死亡。我国近年来我国近年来HIV感染人数以每年感染人数以每年30%的速度增长。目的速度增长。目前全国报告前全国报告HIV感染者感染者4万余人，估计约有感染者万余人，估计约有感染者100万人万人(84万万,WHR 2004)感染者主要分布在农村地区，感染者主要分布在农村地区，男女比例约为男女比例约为5.2:1，其中，其中20-29岁年龄组占岁年龄组占57%。经。经静脉途径感染约占静脉途径感染约占72%。2、导致新发传染病的主要因素、导致新发传染病的主要因素n人类的人口增长和行为改变n工业技术进步n经济发展和土地开发利用n国际旅游和商贸活动n微生物适应与改变n公共卫生措施的失衡n3、传染病的流行病学分类、传染病的流行病学分类1、按传播方式分类：接触传播；经水和食物传播；、按传播方式分类：接触传播；经水和食物传播；经空气传播；经生物媒介传播；围产期传播经空气传播；经生物媒介传播；围产期传播2、按病原体在自然界的储存形式分类：人；动物；、按病原体在自然界的储存形式分类：人；动物；土壤；水土壤；水4 4、流行环节与影响因素、流行环节与影响因素 病人病人病人病人携带者携带者携带者携带者受感染受感染受感染受感染动物动物动物动物传传传传染染染染源源源源传传传传播播播播途途途途径径径径接触接触接触接触水水水水食物食物食物食物医源性医源性医源性医源性垂直垂直垂直垂直媒介媒介媒介媒介土壤土壤土壤土壤易易易易感感感感人人人人群群群群社社社社会会会会因因因因素素素素经济经济经济经济政治政治政治政治文化文化文化文化宗教宗教宗教宗教风俗风俗风俗风俗自自自自然然然然因因因因素素素素气候气候气候气候地理地理地理地理5、患病过程、患病过程(1)潜伏期潜伏期(incubation period)：自病原体侵入机体：自病原体侵入机体到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。(2)临床症状期临床症状期:出现该病特异性症状和体征的时期出现该病特异性症状和体征的时期,是最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量是最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量繁殖。繁殖。(3)恢复期恢复期:某些传染病临床症状消失后的一段时间内某些传染病临床症状消失后的一段时间内仍可排出病原体仍可排出病原体,继续作为传染源。继续作为传染源。(4)传染期（传染期（communicable period):病人排出病原体病人排出病原体的整个时期为传染期的整个时期为传染期6、传播途径、传播途径(route of transmission)1、经空气传播、经空气传播(air-borne transmission)麻疹、流感麻疹、流感2、经水传播、经水传播(water-borne transmission)霍乱、伤寒、细菌性病疾及甲型肝炎等霍乱、伤寒、细菌性病疾及甲型肝炎等3、经食物传播、经食物传播(food-borne transmission)某些寄生虫病，结核、白喉等某些寄生虫病，结核、白喉等4、接触传播、接触传播(Contact transmission)狂犬病等狂犬病等5、经昆虫、动物传播、经昆虫、动物传播6、经土壤传播、经土壤传播(soil-borne transmission)7、医源性传播、医源性传播(iatrogenic transmission)建建立立传传染染病病要要考考虑虑的的因因素素非非常常多多，如如传传染染速速度度、医医疗疗能能力力、死死亡亡、新新生生人人口口数数量量、人人口口年年龄龄性性别别结结构构等等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。此此外外，传传染染病病模模型型可可以以参参照照用用于于讨讨论论计计算算机机病病毒毒的的传传播播特特征征等方面。等方面。模型目标问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型模型假设模型假设基本假设：传染病是由病人通过基本假设：传染病是由病人通过“接触接触”健健康人进行传播的康人进行传播的.疾病流行区域内的人分为三类：疾病流行区域内的人分为三类：S类类易感人群；易感人群；I类类病人；病人；R类类移出者。移出者。为简单起见，假设本地区总人口不变，为为简单起见，假设本地区总人口不变，为N。1、SI模型（只考虑模型（只考虑S和和I两类人）两类人）(1)除染病、不染病之外，人群的个体之间没有差除染病、不染病之外，人群的个体之间没有差异。病人与易感者的个体在人群中混合均匀，即异。病人与易感者的个体在人群中混合均匀，即S类、类、I类人群的数量只与时间有关。记类人群的数量只与时间有关。记s(t)为为t时刻健时刻健康人占总人口的比例康人占总人口的比例i(t)为为t时刻病人的比例，则时刻病人的比例，则s(t)+i(t)=1。1、SI模型（只考虑模型（只考虑S和和I两类人）两类人）(2)人人群群数数量量足足够够大大，只只考考虑虑传传播播过过程程中中的的平平均均效效应，即函数应，即函数s(t)和和i(t)可以视为连续且可微的。可以视为连续且可微的。(3)每每个个I类类的的人人每每天天“有有效效接接触触”的的人人数数（包包括括病病人人、健健康康人人）为为常常数数。这这个个常常数数实实际际上上就就是是传传染染率，反映本地区的卫生水平。率，反映本地区的卫生水平。(4)不不考考虑虑出出生生与与死死亡亡，以以及及人人群群的的迁迁入入迁迁出出因因素素。（简化问题）（简化问题）构造模型构造模型 考虑考虑t到到t+t时间内病人人数的变化，根据假设时间内病人人数的变化，根据假设(1)，应该分别是，应该分别是Ni(t)和和Ni(t+t)，所以在，所以在t时间内受感时间内受感染的人数为：染的人数为：令令t 0，得到微分方程：，得到微分方程：(Logistic模模型型)模型求解模型求解(Logistic模模型型)它的通解为它的通解为 这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。发展规律，并预测传染高峰的时间。返回实际问题返回实际问题SI模型图形分析模型图形分析 i di/dt tm t 0 1/2 i1 (d i/d t)m1/2i 0病人比例随时间的变化规律病人比例随时间的变化规律 病人数增长速率与病人数的关系病人数增长速率与病人数的关系 增派防疫、医疗人员增派防疫、医疗人员采取放假、隔离等措施采取放假、隔离等措施普及防疫措施、知识普及防疫措施、知识调整临床医疗策略调整临床医疗策略SI模型结果分析模型结果分析 这个模型的缺陷是显而易见的这个模型的缺陷是显而易见的.比如比如t+时，时，i(t)1，这表明本地区最后所有人，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。会被治愈的因素。1.假设假设(前面四条都和模型前面四条都和模型A一样，再添加一条一样，再添加一条)（5 5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为每天被治愈的病人数占病人总数的比例为。2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）模型（可治愈但不免疫模型）表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。从发病到被治愈经历的时间。根据假设根据假设5，Logistic模型被修改为：模型被修改为：构造模型构造模型定义一个常数定义一个常数=，根据，根据和和1/的定义，的定义，就是一个就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。将里被称为接触数。将代入方程中，得到代入方程中，得到 求解这个方程，得到解为求解这个方程，得到解为模型求解模型求解1时，时，t+则则 i(t)1-1/。画出解的图象为画出解的图象为：1，t+时时i(t)0.=1-1/iti0i0模型结果分析模型结果分析ii00 t1 0。根据极限的定义，对于充分大的根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有，都应该有i(t)/2，把这个结论代入方程组。，把这个结论代入方程组。模型分析模型分析dr/dt=i/2 这会导致这会导致r(t)+，这跟上面，这跟上面r(t)的极限也存在的结的极限也存在的结论有矛盾。论有矛盾。所以只能有：所以只能有：i =0。也就是说传染病最终将消失。也就是说传染病最终将消失。其次，考虑随着其次，考虑随着t的变化，的变化，i-s平面上解的轨线变化情平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：况。大概的走势图为：模型分析模型分析i10 1/s=i10 1/ss0 1/时，时，i(t)先升后降至先升后降至0传染病蔓延传染病蔓延s0 T,c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于零按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt 参数估计参数估计各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t),c2(t)取决于参数取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉注射D0,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A,由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B,参数估计参数估计进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除模型评价模型评价n本案例是机理分析与数据处理相结合的有效方法，本案例是机理分析与数据处理相结合的有效方法，帮助我们了解处理实际应用问题时应有的思路。帮助我们了解处理实际应用问题时应有的思路。n关于房室模型，究竟选取几个房室比较好好没有定关于房室模型，究竟选取几个房室比较好好没有定论。通常的做法是先取一个，如果达不到满意的结论。通常的做法是先取一个，如果达不到满意的结果就再多取一个，甚至可以采用非线性结构，直到果就再多取一个，甚至可以采用非线性结构，直到满意为止。满意为止。n可以借鉴用于物质在水源、土壤、空气中传播和检可以借鉴用于物质在水源、土壤、空气中传播和检测等问题中，测等问题中，总的思路是把一个整体问题，分成若总的思路是把一个整体问题，分成若干个模块，讨论这些模块间的物质、能量转移干个模块，讨论这些模块间的物质、能量转移三、糖尿病的诊断三、糖尿病的诊断问题背景：糖尿病是一种代谢系统疾病，表现为血液问题背景：糖尿病是一种代谢系统疾病，表现为血液和尿中含有过多的糖，主要原因是病人本身不能提供和尿中含有过多的糖，主要原因是病人本身不能提供足够的胰岛素促使肝脏吸收体内多余的糖。足够的胰岛素促使肝脏吸收体内多余的糖。诊断早期糖尿病通常采用葡萄糖耐量检查诊断早期糖尿病通常采用葡萄糖耐量检查(GTT)：空腹：空腹一夜，先测量血一夜，先测量血糖糖G0，再服用或注，再服用或注射大量葡萄糖。在射大量葡萄糖。在随后的三到五个小随后的三到五个小时内，测量病人血时内，测量病人血糖若干次，观察血糖若干次，观察血糖曲线与标准曲线糖曲线与标准曲线的偏差。的偏差。血糖调节机制血糖调节机制实际问题分析实际问题分析医学背景知识：医学背景知识：1 1、葡萄糖是人体的能量源泉，人体有一个最佳的、葡萄糖是人体的能量源泉，人体有一个最佳的血糖浓度，过高过低都会致病；血糖浓度，过高过低都会致病；2、血糖调节系统框架：、血糖调节系统框架：葡萄糖输入系统葡萄糖输入系统葡萄糖葡萄糖肝脏肝脏组织吸收组织吸收内分泌内分泌激素激素激素代谢激素代谢记记G 为血糖浓度，为血糖浓度，H 为激素浓度，以此判断早期糖尿病。为激素浓度，以此判断早期糖尿病。模型假设模型假设n1、在血糖调节系统中只考虑、在血糖调节系统中只考虑G和和H；n2、假定受检者到医院时，体内、假定受检者到医院时，体内G、H达到稳定值达到稳定值G0、H0，平衡状态；，平衡状态；n3、只考虑在平衡状态、只考虑在平衡状态G0、H0附近的小偏差；附近的小偏差；n4、G增则刺激增则刺激H增，促进体内吸收葡萄糖而降低血增，促进体内吸收葡萄糖而降低血糖浓度；糖浓度；H增则增则G降，最后导致降，最后导致H也降下来。也降下来。G 为血糖浓度，为血糖浓度，H 为激素浓度为激素浓度模型构造模型构造由假设由假设 1 和和 4 可以得到下面方程组：可以得到下面方程组：1、在血糖调节系统中只考虑、在血糖调节系统中只考虑G和和H；4、G 刺激刺激 H 增，促进体内吸收葡萄糖而降低血增，促进体内吸收葡萄糖而降低血糖浓度；糖浓度；H 增则增则 G 降，最后导致降，最后导致 H 也降下来。也降下来。其中其中F1 表示表示G、H 对血糖浓度变化对血糖浓度变化的影响；的影响；F2 表示表示G、H 对激素浓度变化的影对激素浓度变化的影响；响；J(t)为做为做 GTT 时，外加葡萄糖的速时，外加葡萄糖的速率，可以认为是一个脉冲函数。率，可以认为是一个脉冲函数。由假设由假设 2，GTT 前有前有J(t)0，且，且G、H 都达到平衡状态都达到平衡状态(不变不变化化)，所以应有，所以应有模型分析模型分析再由假设再由假设 3，g 和和 h 都非常小，所以可以都非常小，所以可以将将F1、F2 在在(G0,H0)附近做泰勒展开。附近做泰勒展开。模型分析模型分析先考虑简化调整后的模型系数的正负。先考虑简化调整后的模型系数的正负。设设t=0时外部输入的葡萄糖被完全吸收，则当时外部输入的葡萄糖被完全吸收，则当t 0时时J(t)=0，g(0)=J(0)即所有注入的糖都转化成了血糖。即所有注入的糖都转化成了血糖。模型分析模型分析g 0,h=0 时，时，血糖恢复正常时，血糖恢复正常时，g=0,h 0，根据微分方程平衡点的稳定性理论，根据微分方程平衡点的稳定性理论，0时特征根为实负的，时特征根为实负的，故故 t 时时g(t)0，即，即GG0.这表明血糖浓度最终会趋于稳定浓度，与实际情况吻合。这表明血糖浓度最终会趋于稳定浓度，与实际情况吻合。模型分析模型分析当当 0时特征根为一对共轭复根，可以计算得到时特征根为一对共轭复根，可以计算得到最终得到人体内血糖浓度的变化函数：最终得到人体内血糖浓度的变化函数：参数估计参数估计注意到模型中含有注意到模型中含有5个未知参数，估计参数的办法有两个：个未知参数，估计参数的办法有两个：1、病人注射糖前，先测、病人注射糖前，先测G0，然后在随后，然后在随后 4 个时刻测量血糖浓个时刻测量血糖浓度，代入模型中。列方程计算求解；度，代入模型中。列方程计算求解；2、最小二乘法：病人注射糖前，先测、最小二乘法：病人注射糖前，先测G0，然后在随后，然后在随后 n 个时个时刻测量血糖浓度，代入模型中，利用最小二乘法求解。刻测量血糖浓度，代入模型中，利用最小二乘法求解。第一种方法操作简单，但精度差；第二种方法精度较高，但操第一种方法操作简单，但精度差；第二种方法精度较高，但操作起来有些复杂。作起来有些复杂。模型的灵敏度分析模型的灵敏度分析则称模型在则称模型在 M 的水平下的水平下对参数不灵敏。对参数不灵敏。则称参数在则称参数在 M 的水平下的水平下对模型不灵敏。对模型不灵敏。所谓所谓“灵敏灵敏”、“不灵敏不灵敏”的具体含义的具体含义下面尝试对我们的糖尿病诊断模型进行灵敏度分析。下面尝试对我们的糖尿病诊断模型进行灵敏度分析。灵敏度分析灵敏度分析所以应该在注射糖之后多等一段时间再开始测量、所以应该在注射糖之后多等一段时间再开始测量、估计参数较好。估计参数较好。灵敏度分析灵敏度分析从上面还能看出，模型对从上面还能看出，模型对w 的反应并不很敏感，所以的反应并不很敏感，所以w可以作为可以作为GTT的基本指标来对糖尿病进行诊断。的基本指标来对糖尿病进行诊断。模型评价模型评价n诊断指标：一般采用自然周期诊断指标：一般采用自然周期T=2/w作为诊断的依作为诊断的依据。一般而言，正常人的据。一般而言，正常人的T=4小时，当受检人的小时，当受检人的T明明显大于显大于4小时后，可以确诊得了糖尿病。小时后，可以确诊得了糖尿病。n注意：注意：4小时正是正常两餐的间隔。小时正是正常两餐的间隔。n模型缺陷模型缺陷1：只适用于轻微患者：只适用于轻微患者(模型中假设模型中假设g、h都都非常小非常小)；n模型缺陷模型缺陷2：有时正常人也会出现指标异常，需要进：有时正常人也会出现指标异常，需要进一步检验，可能是其他激素在起作用，模型失效。一步检验，可能是其他激素在起作用，模型失效。模型评价模型评价1、对于相对复杂的问题，这里先建立概略模型，描、对于相对复杂的问题，这里先建立概略模型，描述变量之间的大致关系，然后利用数学方法转变成相述变量之间的大致关系，然后利用数学方法转变成相对简单的问题加以分析和讨论；对简单的问题加以分析和讨论；2、这里引入了灵敏度分析的概念，对于模型获取参、这里引入了灵敏度分析的概念，对于模型获取参数以及实用化具有重要意义。数以及实用化具有重要意义。西班牙安达鲁西亚是欧洲阳光最充裕、西班牙安达鲁西亚是欧洲阳光最充裕、最干燥的地方之一，每年阳光照射时最干燥的地方之一，每年阳光照射时间平均达到间平均达到1500小时。这里准备建设小时。这里准备建设欧洲最大的太阳能发电站，预计欧洲最大的太阳能发电站，预计2013年竣工以后，可以满足年竣工以后，可以满足18万个家庭的万个家庭的用电需要，相当于每年减排用电需要，相当于每年减排60万吨温万吨温室气体。室气体。太阳能集热塔共有超过太阳能集热塔共有超过1000块镜板，块镜板，每块约为每块约为120平方米，它们就像向日葵平方米，它们就像向日葵一样，总是面朝太阳方向。这些镜板一样，总是面朝太阳方向。这些镜板将阳光聚集到两座高塔之上，每座塔将阳光聚集到两座高塔之上，每座塔高高165米。高塔顶端的水被加热，产生米。高塔顶端的水被加热，产生水蒸气，驱动涡轮机发电。水蒸气，驱动涡轮机发电。问题：这笔投资划算吗？问题：这笔投资划算吗？算算环保经济帐算算环保经济帐