有限元分析第4章平面问题有限单元法.ppt

李建宇李建宇天津科技大学天津科技大学有限元分析有限元分析Finite Element Analysis 内容内容 Chp.4 平面问题的有限元法平面问题的有限元法 2 4.3 形函数的性质形函数的性质 4.4 整体刚度矩阵的组装及其性质整体刚度矩阵的组装及其性质 4.5 等效节点载荷向量等效节点载荷向量要求要求 理解：连续体有限元理解：连续体有限元分片插值分片插值的含义；的含义；形函数形函数的功能及其性质；的功能及其性质；基于虚功方程的基于虚功方程的整体刚度矩阵整体刚度矩阵的组装；的组装；基于虚功方程的基于虚功方程的等效节点载荷向量等效节点载荷向量的生成的生成 掌握：掌握：常应变三角形常应变三角形单元组装单元组装技术；技术；常应变三角形常应变三角形单元单元等效节点载荷向量等效节点载荷向量的生成的生成 课后作业课后作业 推导常应变三角形单元总刚和等效载荷向量推导常应变三角形单元总刚和等效载荷向量有限元分析有限元分析43,4,5回顾回顾连续体有限元分析的基本流程连续体有限元分析的基本流程 整体离散单元分析单元组装整体解算连续体结构人工节点人工节点逼近离散逼近离散vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo单元节点位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo单元等效节点力单元刚度方程单元刚度方程 离散化方法 回顾回顾几何实体的逼近性离散几何实体的逼近性离散三角形单元分析回顾回顾 目标目标：对三角形单元，建立节点位移与等效节点力之间的转换关系。：对三角形单元，建立节点位移与等效节点力之间的转换关系。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo单元节点位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo单元等效节点力？回顾回顾三角形单元分析单元分析的流程单元分析的流程（1）节点位移节点位移内部节点位移内部节点位移vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo解决办法：插值(分片插值的提法)形函数形函数矩阵矩阵形函数（shape function）及其性质回顾回顾下标下标i,j,m 轮换轮换性质：性质：其中：其中：（a）Ni(x,y)在在i点的节点位移为点的节点位移为1，其它节点为，其它节点为0。（b）单元中任一点各形函数的和为）单元中任一点各形函数的和为1。力学意义力学意义：固定：固定 j，m节点，使节点，使i节点发生位移节点发生位移1，则单元内各点的位移，则单元内各点的位移场为场为Ni(x,y)。力学意义力学意义：令单元发生刚体位移：令单元发生刚体位移u0，则单元内各点的位移均为，则单元内各点的位移均为u0，即，即单元分析流程（2）内部节点位移内部节点位移应变应变回顾回顾解决办法：弹性力学几何方程B矩阵称为应变矩阵 得得代入代入该单元为常应变单元该单元为常应变单元单元分析流程（3）应变应变应力应力回顾回顾解决办法：弹性力学物理方程得得代入代入S矩阵称为应力矩阵。例：对于平面应力问题代入代入得得其中其中单元分析流程（4）应力等效节点内力回顾回顾解决办法：单元平衡分析平面问题虚功原理代入代入得得内力虚功内力虚功外力虚功外力虚功外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功单元刚度方程单元刚度方程 单元刚度方程单元刚度方程建立了单元的节点力与节点位移之建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，间的关系，称为称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵。它是。它是6666矩矩阵，阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。不随单元或坐标轴的平行移动而改变。一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 已经求出了下列关系已经求出了下列关系一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 结点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例)平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。节点力和节点位移的关系为单元刚度方程：一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：将将 写成分块矩阵写成分块矩阵 写成普通方程写成普通方程 其中其中 表示节点表示节点s(s=i,j,m)s(s=i,j,m)产生单位位移时，在节点产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上所需要施加的节点力的大小。上所需要施加的节点力的大小。一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：将节点力列向量将节点力列向量 与节点位移列向量与节点位移列向量 均扩展成均扩展成(61)(61)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(66)(66)阶方阵：阶方阵：元素元素K K的脚码，标有的脚码，标有“-”“-”的表示水平方向，没有标的表示水平方向，没有标“-”“-”的表示垂直方向。的表示垂直方向。一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的各元素的物理意义：表示节点s(s=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在节点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平节点力和垂直节点力的大小。例如 表示节点j在垂直方向产生单位位移时，在节点i所需要施加的水平节点力的大小。一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的性质：1)1)对称性：对称性：是对称矩阵是对称矩阵 2)2)奇异性：奇异性：是奇异矩阵是奇异矩阵 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。一、一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的性质：例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设1 1、求、求BB2 2、求求DD3 3、求、求SS4 4、求、求 回顾回顾连续体有限元分析的基本流程连续体有限元分析的基本流程 整体离散单元分析单元组装整体解算连续体结构人工节点人工节点逼近离散逼近离散vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo单元节点位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo单元等效节点力单元刚度方程单元刚度方程二、单元组装技术组装原理：组装原理：组装原理：组装原理：节点位移协调条件节点位移协调条件节点位移协调条件节点位移协调条件节点平衡条件节点平衡条件节点平衡条件节点平衡条件ijmiiii)1(iVyiPxiP)e(iU)3(iV)3(iU)1(iU)4(iV)4(iU)e(iV(a)(b)(c)位移协调条件位移协调条件：各单元共享节点的位移相等：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件节点平衡条件：各单元内力与节点外力构成平衡力系：各单元内力与节点外力构成平衡力系二、单元组装技术ijmiiii)1(iVyiPxiP)e(iU)3(iV)3(iU)1(iU)4(iV)4(iU)e(iV(a)(b)(c)以i点为例，利用虚功原理建立平衡方程，设虚位移各单元i节点等效内力的虚功为:各单元i节点等效外力的虚功为:i节点平衡方程：二、单元组装技术由单元刚度方程：对每一个单元，将i节点虚位移扩展到单元全部节点，如，则则Te表示节点位移提取矩阵表示节点位移提取矩阵对对i节点，有节点，有同理，可建立其它节点的平衡方程。二、单元组装技术对对i节点，有节点，有将每一个单元的节点位移（包括虚位移）扩展到全部节点位移向量，如则，Te表示单元节点位移提取矩阵表示单元节点位移提取矩阵二、单元组装技术对所有节点，有对所有节点，有由虚位移的任意性，整理得由虚位移的任意性，整理得总体刚度矩阵总体刚度矩阵总体刚度方程总体刚度方程二、单元组装技术总体刚度方程等效节点外载荷向量。等效节点外载荷向量。三、单元等效节点外载荷向量 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置任意分布的载荷都向节点移置(分解分解)，而成为，而成为节点载荷节点载荷。将载荷移置到节点上，必须遵循将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则静力等效的原则。静力等效是指原载荷。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。是唯一的，且总能符合静力等效原则。等效公式：等效公式：注：单元边界内力相互抵消三、单元等效节点外载荷向量 在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。均质等厚度的三角形单元所受的重力，把均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/31/3的重力移到每个节点的重力移到每个节点三、单元等效节点外载荷向量 例：例：总载荷的总载荷的2/32/3移置到节点移置到节点i i，1/31/3移置到节点移置到节点j j，与原载荷同向与原载荷同向三、单元等效节点外载荷向量 载荷向节点的移置，可载荷向节点的移置，可以用普遍公式来表示。以用普遍公式来表示。体力的移置体力的移置分布面力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公性模式下，要用普遍公式计算。式计算。课后作业课后作业如图（如图（a）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模作用，材料弹性模量量E、泊松比、泊松比v1/3，悬臂梁的厚度（板厚）为，悬臂梁的厚度（板厚）为t，如图（，如图（b）所示有限）所示有限元模型，试按平面应力问题，求结构总体刚度矩阵和总体载荷向量。元模型，试按平面应力问题，求结构总体刚度矩阵和总体载荷向量。再再 见见