概率论与数理统计(柴中林)第5讲.ppt
概率论与数理统计概率论与数理统计第五讲第五讲主讲教师：柴中林副教授主讲教师：柴中林副教授中国计量学院理学院中国计量学院理学院 设设X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，其其可可能能取取值为值为 x1,x2,。为描述随机变量为描述随机变量 X，我们不仅要知道其，我们不仅要知道其所有可能的取值，还应知道取各值的概率。所有可能的取值，还应知道取各值的概率。2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X 这个取值的概率分布。这个取值的概率分布。例例1：盒子中有盒子中有2个白球，个白球，3个红球，个红球，从中任取从中任取3 球，球，记记 X 为取到白球数。为取到白球数。则则 X 是一随机变量。是一随机变量。X 可能取的值为可能取的值为:0,1,2。取各值的概率为取各值的概率为且且用这两条性质判断用这两条性质判断一个数列是否是概一个数列是否是概率分布。率分布。2.2.1 离散型随机变量概率分布的定义离散型随机变量概率分布的定义 定义定义1：设离散型随机变量设离散型随机变量 X 所有可能取所有可能取的值为的值为 且有且有则称上式为离散型随机变量则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分的概率分布或分布律，也称概率函数。其中布律，也称概率函数。其中 p1,p2,满足满足概率分布也可用下面表格的形式给出：概率分布也可用下面表格的形式给出：分布律体现了随机变量取各个可能值及其概率分布情况（相当于列出了一个随机现象的所有基本事件及其概率分布）。解：解：依据概率分布的性质依据概率分布的性质欲使上述数列为概率分布，应有欲使上述数列为概率分布，应有 例例2 2：设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为确定常数确定常数 a。从中解得从中解得这里用到了幂级数展开式这里用到了幂级数展开式例例3：某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其，求其两次独立投篮后，投中次数两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。的概率分布。解：解：X 可取的值为可取的值为：0,1,2，且，且 P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01，P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18,P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81.易见：易见：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.例例 4：如上图所示如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为独立。已知各电器接通的概率为0.8，记，记X为线为线路中接通的继电器的个数。路中接通的继电器的个数。求求 (1).X 的概率分布；的概率分布；(2).线路接通的概率。线路接通的概率。解：解：(1).记记 Ai=第第 i 个继电器接通个继电器接通,i=1,2.因因两个继电器是否接通是相互独立的两个继电器是否接通是相互独立的,所以所以A1和和A2相互独立，且相互独立，且 P(A1 1)=)=P(A2 2)=)=0.8.下面求下面求 X 的概率分布的概率分布:首先，首先，X 可能取的值为可能取的值为:0,1,2.P X=0=0 =P 表示两个继电器都没接通表示两个继电器都没接通 P X=1=1 =P 恰有一个继电器接通恰有一个继电器接通 P X=2=2 =P 两个继电器都接通两个继电器都接通 所以，所以，X的分布律为的分布律为(2).因线路因线路是并联电路，所以是并联电路，所以 P(线路接通线路接通)=P(只要一个继电器接通只要一个继电器接通)=P X11 =P X=1+=1+P X=2=2 =0.32+0.64 =0.96.2.2.2 常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布1.1.两点分布两点分布 P(X=0)=1-p,P(X=1)=p 其中其中0 p M,n-kN-M时有时有P(X=k)=0.当然，当然，它也满足概率非负，总概率为它也满足概率非负，总概率为1的公理。的公理。解：令解：令X 表示表示 8名代表中女生的人数，则名代表中女生的人数，则X H(n;15,40),从而所求概率为例：班级中有例：班级中有40个学生，其中女生个学生，其中女生15名，今从名，今从中任意选取中任意选取8人出席一个会议，求其中恰有人出席一个会议，求其中恰有3名名女生的概率女生的概率.超几何分布适用的情况是总的元素分成超几何分布适用的情况是总的元素分成两类，从中抽出若干，这其中抽到属于第一两类，从中抽出若干，这其中抽到属于第一类的元素数目的概率。类的元素数目的概率。例例6：某射手每次射击时命中某射手每次射击时命中10环的概率为环的概率为 p,现进行现进行 4 次独立射击，求次独立射击，求 恰有恰有 k 次命中次命中10环环的概率。的概率。3.贝努里概型与二项分布贝努里概型与二项分布解：解：用用X 表示表示 4 次射击后次射击后,命中命中10环的次数环的次数,则则其中其中“”“”表示未中，表示未中，“”表示命中。表示命中。易见：易见：X 的概率分布为的概率分布为例例7：将一枚匀称的骰子掷将一枚匀称的骰子掷 3 次，令次，令X 表示表示 3 次次中出现中出现“4”点的次数。点的次数。不难求得，不难求得，X 的概率分布是为的概率分布是为 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”射击：射击：“中中1010环环”，“未中未中1010环环”抽验产品：抽验产品：“抽到正品抽到正品”,“,“抽到次品抽到次品”设重复地进行设重复地进行 n 次独立试验，次独立试验，每次试验每次试验“成功成功”的概率都是的概率都是 p,“失败失败”的概率是的概率是 q=1-p。一般地，设在一次试验中只有两个互逆一般地，设在一次试验中只有两个互逆的结果：的结果：,形象地把两个互逆结果叫形象地把两个互逆结果叫做做“成功成功”和和“失败失败”。如：。如：这样的这样的 n 次独立重复试验称作次独立重复试验称作 n 重贝努里重贝努里试验，简称贝努里试验或试验，简称贝努里试验或贝努里概型贝努里概型(也称独也称独立实验序列立实验序列)。用用X 表示表示 n 重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的次数，则次数，则称随机变量称随机变量 X 服从参数为服从参数为(n,p)的二项分布的二项分布,记成记成 X B(n,p)。贝努里概型对试验结果有下述要求：贝努里概型对试验结果有下述要求：(1).每次试验条件相同；每次试验条件相同；二项分布描述的是：二项分布描述的是：n 重贝努里试验中重贝努里试验中,事件事件A发生的次数发生的次数 X 的概率分布。的概率分布。(3).各各次试验相互独立。次试验相互独立。(2).每次试验只考虑两个互逆结果每次试验只考虑两个互逆结果 A 或或 ,例例8：某类灯泡使用某类灯泡使用2000小时以上视为正品。小时以上视为正品。已知有一大批这类的灯泡已知有一大批这类的灯泡,次品率是次品率是0.2。随机。随机抽出抽出20只灯泡做寿命试验只灯泡做寿命试验,求这求这2020只灯泡中恰只灯泡中恰有有3只是次品的概率。只是次品的概率。解解:设设X为为20只灯泡中次品的个只灯泡中次品的个数，则数，则X B(20,0.2)，则有则有 注：这是一个不重复抽样问题，故严格的讲属于注：这是一个不重复抽样问题，故严格的讲属于超几何分布，不属于二项分布。但因为灯泡数量巨大，超几何分布，不属于二项分布。但因为灯泡数量巨大，抽出的灯泡数量相对较小，故可看作重复抽样，用抽出的灯泡数量相对较小，故可看作重复抽样，用二二项分布予以解决。这样做产生的误差很小，但问题却项分布予以解决。这样做产生的误差很小，但问题却大大的简化了。大大的简化了。命题：设命题：设X H(n;M,N)，则当，则当N时，时，X近似服从二项分布近似服从二项分布B(n;p)，即下面的近似，即下面的近似等式成立等式成立 其中其中p=M/N,q=1-p。该命题的意义是：当总的元素很多，而抽该命题的意义是：当总的元素很多，而抽取的元素很少时，每次抽到第一类元素的机会取的元素很少时，每次抽到第一类元素的机会几乎都是几乎都是M/N，从而从中抽取若干元素就近似，从而从中抽取若干元素就近似于于二项分布。二项分布。下面我们研究二项分布下面我们研究二项分布 B(n,p)和两点分布和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系。之间的一个重要关系。设试验设试验 E 只有两个结果只有两个结果:A 和和 。将试验将试验 E 在相同条件下独立地进行在相同条件下独立地进行 n 次，次，记记 X 为为 n 次独立试验中次独立试验中A出现的次数。描述第出现的次数。描述第i 次试验的随机变量记作次试验的随机变量记作 Xi,则则 Xi B(1,p)，且且 X1,X2,Xn相互独立相互独立(随机变量相互随机变量相互独立的严格定义将在第三章讲述独立的严格定义将在第三章讲述)。则有。则有X=X1+X2+Xn.设随机变量设随机变量 X 所有可能取的值为所有可能取的值为:0,1,2,概率分布为：概率分布为：4.泊松分布泊松分布其中其中0 是常数，是常数，则称则称 X 服从参数为服从参数为的泊松的泊松分布分布,记作记作 X P()。易见易见例例9：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数数X服从参数服从参数 =3 的泊松分布。的泊松分布。求：求：(1).一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次寻次寻呼呼的概率；的概率；(2).一分钟内收到一分钟内收到2至至5次寻呼的概率。次寻呼的概率。.解解:(1).PX=3=p(3;3)=(33/3!)e-3 0.2240；(2).P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169.解解:例例 10:某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参服从参数为数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生的泊松分布。求该城市一天内发生 3 次次以上火灾的概率。以上火灾的概率。P X33=1-PX3 =1-PX=0+PX=1+PX=2 =1-(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474.泊松分布的图形泊松分布的图形 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的。二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系 定理定理1(1(泊松定理泊松定理):):对二项分布对二项分布 B(n,p),当当 n充分大充分大,p又又很小时很小时,对对任意固定的非负整数任意固定的非负整数 k，有近似公式，有近似公式 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。出现的次数近似地服从泊松分布。我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。件称作稀有事件。如：地震、火山爆发、特如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等。大洪水、意外事故等。设事件设事件A在每次实验中发生的概率为在每次实验中发生的概率为p，现，现独立的重复进行该实验，直到独立的重复进行该实验，直到A发生为止。用发生为止。用X表示进行实验的次数，则表示进行实验的次数，则X的分布律为：的分布律为：5.几何分布几何分布并称并称X服从参数为服从参数为p的几何分布，记为的几何分布，记为 X G()。例例11：某出租汽车公司共有出租车某出租汽车公司共有出租车400辆，设每辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为天每辆出租车出现故障的概率为0.02，求求:一天一天内没有出租车出现故障的概率。内没有出租车出现故障的概率。解解:将观察一辆车一天内是否出现故障看成一将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车。因为每辆车是否出现故障与其它车无关无关,于是于是,观察观察400辆出租车是否出现故障辆出租车是否出现故障就是做就是做 400 次贝努利试验。设次贝努利试验。设 X 表示一天内出表示一天内出现故障的出租车数现故障的出租车数,则则 X B(400,0.02)。令令 =np=4000.02=8，于是，于是,P一天内没有出租车出现故障一天内没有出租车出现故障 =PX=0=b(0;400,0.02)(80/0!)e-8=0.0003355.小结小结 本节首先介本节首先介绍离散型随机变量及其概率绍离散型随机变量及其概率分布；然后介绍几种常见的离散型概率分布：分布；然后介绍几种常见的离散型概率分布：两点分布、超几何分布、二项分布、泊松分两点分布、超几何分布、二项分布、泊松分布和几何分布布和几何分布及其关系。及其关系。对于离散型随机变量，如果知道了其概对于离散型随机变量，如果知道了其概率分布，也就知道了它取各个可能值的概率。率分布，也就知道了它取各个可能值的概率。
