线性代数第五章(第一节内积).ppt
第第 五五 章章 相似矩阵相似矩阵讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.本章讨论在理论上和实际应用上都非常重本章讨论在理论上和实际应用上都非常重要的矩阵特征值问题要的矩阵特征值问题,并利用特征值的有关理论并利用特征值的有关理论,内积定义内积定义内积定义内积定义主要内容主要内容内积的性质内积的性质内积的性质内积的性质n n 维向量的长度（范数）和夹角维向量的长度（范数）和夹角维向量的长度（范数）和夹角维向量的长度（范数）和夹角第第 一一 节节 向量的内积向量的内积向量夹角，正交向量组的性质向量夹角，正交向量组的性质向量夹角，正交向量组的性质向量夹角，正交向量组的性质正交基与规范正交基正交基与规范正交基正交基与规范正交基正交基与规范正交基施密特正交化方法施密特正交化方法施密特正交化方法施密特正交化方法 定义定义1 设有设有设有设有 n n 维向量维向量维向量维向量令令令令 =x x1 1y y1 1+x x2 2y y2 2+x xn ny yn n,称为向称为向称为向称为向量量量量 x x 与与与与 y y 的的的的内积内积.一、内积的定义一、内积的定义内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩阵记号表示阵记号表示.当当 x 与与 y 都是列向量时，有都是列向量时，有 =xTy.（1 1）=;（2 2）=;（3 3）=+;（4 4）0,且当且当 x 0 时有时有 0.下列性质：下列性质：二、内积的性质二、内积的性质设设 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，为实数，则内积有为实数，则内积有 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积在解析几何中，我们曾引进向量的数量积度和夹角：度和夹角：广广.并且反过来，利用内积来定义并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长维向量的长念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推维向量没有维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概维向量那样直观的长度和夹角的概所以所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广维向量的内积是数量积的一种推广.但但 n(x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.且在直角坐标系中，有且在直角坐标系中，有 x y=|x|y|cos ,三、向量的长度和夹角三、向量的长度和夹角 1.向量的长度向量的长度定义定义2 令令令令 x x 称为称为称为称为 n n 维向量维向量维向量维向量 x x 的的的的长度长度(或范数或范数).特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当 x=1 x=1 时时时时,则称则称则称则称 x x 为单位向量为单位向量为单位向量为单位向量.显然显然,当当=0时时,=0;当当0时时,则则 0,单位向量单位向量 称为向量称为向量的单位化的单位化.2.向量的夹角向量的夹角 向量的内积满足向量的内积满足施瓦茨不等式施瓦茨不等式 2 ,由此可得由此可得(当当|x|y|0 时时),于是有下面的定义于是有下面的定义:定义定义3 当当当当|x x|0,|0,|y y|0 0 时时时时,称为称为称为称为 n n 维向量维向量维向量维向量 x x 与与与与 y y 的的的的夹角夹角.量正交量正交.x=0,则则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交,即零向量与任何向即零向量与任何向当当 =0 时时,称向量称向量 x 与与 y 正交正交.显然显然,若若1.正交向量组的定义正交向量组的定义 定义定义4 由两两正交的非零向量构成的向量由两两正交的非零向量构成的向量由两两正交的非零向量构成的向量由两两正交的非零向量构成的向量两两正交的非零向量两两正交的非零向量两两正交的非零向量两两正交的非零向量,则则则则 a a1 1,a a2 2,a ar r 线性无关线性无关线性无关线性无关.定理定理1 若若若若 n n 维向量维向量维向量维向量 a a1 1,a a2 2,a ar r 是一组是一组是一组是一组2.正交向量组的性质正交向量组的性质组称为组称为组称为组称为正交向量组正交向量组.四、正交向量组四、正交向量组 设有设有 k1,k2,kr 使使 k1a a1+k2a a2+kra ar=0,那么那么证明证明:对任意的对任意的i (1ir),因因 0,从而必有从而必有ki=0.证毕证毕证毕证毕.例例 1 已知已知 4 维向量空间维向量空间 R4 中三个向量中三个向量正交正交,试求一个非零向量试求一个非零向量 a a4,使使 a a1,a a2,a a3,a a4两两正交两两正交.令令解解解解则则 a a4 应满足齐次线性方程应满足齐次线性方程 Ax=0,即即解之得解之得1.定义定义5 设设设设 a a1 1,a a2 2,a ar r 是向量空间是向量空间是向量空间是向量空间 V V(V V R Rn n )单位向量单位向量单位向量单位向量,则称则称则称则称 1 1,r r 是是是是 V V 的一个的一个的一个的一个正交正交规范规范基基.(V V R Rn n)的一个基的一个基的一个基的一个基,如果如果如果如果 1 1,r r 两两正交两两正交两两正交两两正交,且都是且都是且都是且都是定义定义 6 设设设设 n n 维向量维向量维向量维向量 1 1,2 2,r r 是向量空是向量空是向量空是向量空间间间间V V a a1 1,a a2 2,a ar r 是是是是 V V 的一个的一个的一个的一个正交基正交基.的一个基的一个基的一个基的一个基,如果如果如果如果 a a1 1,a a2 2,a ar r 两两正交两两正交两两正交两两正交,则称则称则称则称五、正交规范基五、正交规范基 2.用正交规范基表示向量用正交规范基表示向量即即 ki=.得得 =ki=ki,分别用分别用 i 与与做内积做内积 a a=k11+k2 2+krr.示示,设表示式为设表示式为么么 V 中任一向量中任一向量 a a 应能由应能由 1,2,r 线线 性性 表表 若若 1,2,r 是是 V 的一个正交规范基的一个正交规范基,那那六六规范正交基的求法规范正交基的求法 设设 a a1,a a2,a ar 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基,要要正交化正交化:我们可以用以下方法把我们可以用以下方法把 a a1,a a2,a ar 规范规范,a ar 这个基规范正交化这个基规范正交化.a a1,a a2,a ar 等价这样一个问题等价这样一个问题,称为称为把把 a a1,a a2,正交的单位向量正交的单位向量 1,2,r,使使 1,r 与与求求 V 的一个正交规范基的一个正交规范基.这也就是要找一组两两这也就是要找一组两两取取 b1=a1;容易验证容易验证 b1,br 两两正交两两正交,且且 b1,br 与与 然后只要把它们单位化然后只要把它们单位化,即取即取a1,ar 等价等价.就得就得 V 的一个正交规范基的一个正交规范基.bk 与与 a1,ak 等价等价.等价等价,还满足对任何还满足对任何 k(1 k r),向量组向量组 b1,正交化过程正交化过程.它不仅满足它不仅满足 b1,br 与与 a1,ar向量组向量组 b1,br 的过程称为的过程称为施密特施密特(Schimidt)上述从线性无关向量组上述从线性无关向量组 a1,ar 导出正交导出正交 综上所述综上所述,求向量空间求向量空间 V 的一个规范正交基的一个规范正交基 的的的的 一个规范正交基一个规范正交基一个规范正交基一个规范正交基.Step 3:把把把把 正交基正交基正交基正交基 b b1 1,b br r 单位化即得单位化即得单位化即得单位化即得 V V 得正交基得正交基得正交基得正交基 b b1 1,b br r;Step 2:用施密特过程把用施密特过程把用施密特过程把用施密特过程把 a a1 1,a ar r 正交化正交化正交化正交化,Step 1:求求求求 V V 的任意一个基的任意一个基的任意一个基的任意一个基 a a1 1,a ar r;可归为以下三步可归为以下三步:例例 2 设设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.取取 b1=a1;解解再把它们单位化再把它们单位化,取取则则 1,2,3 即为所求即为所求.例例 3 已知已知求一组非零向量求一组非零向量a2,a3 使使 a1,a2,a3 两两正交两两正交.a2,a3 应满足方程应满足方程 =0,即即它的基础解系为它的基础解系为:解解把基础解系正交化，即为所求把基础解系正交化，即为所求.其中其中于是得于是得亦即取亦即取
